Mechanical Engineering - estione Industriale delle Qualità con Elementi di Statistica

Full exam

1 Gestione industriale della qualità con elementi di statistica 2022/09/05 Matricola Cognome Nome Note: • Indicare sempre le ipotesi assunte, le formule di calcolo usate e i risultati numerici/grafici ottenuti. • Per la consegna scrivere manualmente, sintetizzando qualitativamente i grafici riportando solo numeri significativi • Evitare sviluppi teorici se non espressamente richiesti QUESITO 1 (Punti 10) A valle di un processo di produzione, le schede elettroniche sono verificate a campione e l’esito della valutazione è buono/non buono. Di seguito i risultati di 30 campioni (n: Dimensione del campione; D: Numero di pezzi difettosi). n 100 120 200 150 170 80 100 200 250 100 150 97 110 15 230 189 165 200 205 230 125 178 190 145 138 110 120 167 165 200 D 6 8 12 9 10 1 4 11 14 9 10 6 5 0 15 14 11 11 15 9 7 9 6 11 8 11 10 10 4 13 a) Progettare la carta di controllo adeguata. b) Calcolare manualmente i limiti di controllo per il campione 15 c) Supponendo che in futuro si riesca a prendere campioni di numerosità costante pari a 400, calcolare i limiti ipotizzando che il processo rimanga in controllo d) Calcolare il valore di ARL nel caso la difettosità percentuale sia il 6% Soluzione Guardiamo i dati. Essendo il campione a dimensione variabile, conviene passare dalla quantità D i alla quantità i i iD p n = = = Guardiamo graficamente i risultati= = = Non sembrano esserci pattern particolare e l�autocorrelazione non evidenzia problemi= 2 Non vale la pena fare un test di normalità perché i valori D sono binomiali (anche se la Gaussiana, in certe condizioni, approssima bene la Binomiale) 2 punti La carta adeguata è la carta P Tutti i campioni sono all’interno dei limiti di controllo e non appaiono pattern particolari: possiamo ritenere che il processo sia in controllo statistico. 2 punti Calcoliamo manualmente i limiti per il dato 15 1, 30 1, 30 2690.0585 4599 i i i iD pn = = = = = ∑∑ = I limiti di controllo con K=3 =sono:= = ( ) ( ) ( ) ( ) { } 15 15 10.0585 1 0.0585 0.0585 30.1049 230 0.0585 10.0585 1 0.0585 0;0; 0.0585 30; 0.0121 0.0121 230 pp LCS p K n LC pp LCI Max p KMaxMax n −− =+=+ = =  −−   =−= − = =      = 2 punti Se il processo rimane in controllo la non conformità percentuale media non cambia e le relazioni rimangono le stesse con il solo cambiamento della dimensione del campione. 3 ( ) ( ) ( ) ( ) { } 10.0585 1 0.0585 0.0585 30.0937 400400 0.0585 10.0585 1 0.0585 0;0; 0.0585 30; 0.0233 0.0233 400400 pp LCS p K LC pp LCI Max p KMaxMax −− =+=+ = =  −−   =−= − = =      = 2 punti La formula per il calcolo di ARL(0.06) è: [ ] () () () () [ ] ( ) () ( ) ( ) Pr * Pr * Pr [400 * 0.0937] Pr 400 * 0.0233 Pr 37.48 Pr 9.32 Pr 37 Pr 9 0.99617 0.0003136 0.9959D n LCS D n LCI D D D D DD β = ≤ − ≤< > = ≤ − ≤ = = ≤ −≤= ≤−≤= − = Quindi= 11 (0.06)243.9 1 1 0.9959 ARL = = = −β − = 2 punti QUESITO 2 (Punti 7) Un’azienda specializzata in microlavorazioni deve dimostrare di avere la capacità di produrre un componente di cui è critica una quota. Il cliente chiede che sia costruito un campione di 50 pezzi, sulla base delle misure in mm, si valuti: a) la Capacità del processo considerando che i limiti di specifica sono [4.010mm; 4.040mm] b) La non conformità attesa e se il processo è adeguato I dati sono riportati di seguito, nell’ordine di fabbricazione (per riga): Quota[mm] 4.022 4.012 4.011 4.009 4.014 4.018 4.017 4.012 4.016 4.002 4.013 4.016 4.007 4.009 4.006 4.013 4.007 4.009 4.014 4.016 4.006 4.010 4 4.006 4.012 4.005 4.022 4.007 4.003 4.017 4.001 4.013 4.011 4.009 4.012 4.015 4.007 4.011 4.015 4.008 4.009 4.003 4.007 4 4.017 4.009 4.014 4.009 4.009 4.007 Soluzione Per prima cosa facciamo delle analisi esplorative per capire se ci sono dati strani, se possiamo assumere la normalità e se ci sono autocorrelazioni (è dato l’ordine di fabbricazione) 4 Non ci sono evidenze statistiche per rifiutare le ipotesi di normalità e di assenza di autocorrelazione. 2 punti La deviazione standard è 0.005204 quindi la Capability è 4.040 4.0100.961 6 * 0.005204 pC− == =cui corrisponde una difettosit� attesa di poco meno di=6934=PPM se il processo fosse centrato.=La capacit� � piuttosto scadente.= 2 punti Se poi si calcola la difettosità attesa la situazione peggiora. Infatti: ( ) ( ) ˆˆ 4.040 4.0103 4.010 4.0103 11 ˆˆ0.0052040.005204 1 5.7 0.058 0.477 476870 sI LSS LSI ppm −µ −µ −−       γ = γ +γ = −Φ +Φ = −Φ+Φ=       σσ       = −Φ +Φ − = → = Come si vede la difettosit� attesa � molto pi� alta perch� il processo non � centrato come si vede= dall�istogramma che segue dove sono riportate anche i limiti di specifica.= = 3 punti QUESITO 3 (Punti 8) Due catalizzatori, A e B, sono stati usati per una reazione chimica. Si ripete l’esperimento 30 volte per ogni catalizzatore facendo reagire le stesse quantità di componenti. A fine reazione si misura la quantità finale di composto risultato dalla reazione. 5 Durante la sperimentazione del catalizzatore B, l’operatore si era dimenticato di tarare la bilancia e lo ha fatto solo prima del secondo esperimento. Di seguito i valori ottenuti. Se si vuole individuare il catalizzatore che riesce ad ottenere una maggiore quantità di reazione quale si dovrebbe scegliere? (usare test al 5%) A: 40.27 40.78 39.19 38.79 39.01 39.69 38.06 38.72 41.17 40.37 39.82 39.88 38.76 40.05 39.96 38.38 40.67 41.25 40.45 39.50 40.13 40.89 41.11 38.92 40.12 39.96 39.55 38.57 40.20 39.52 B: 47.29 39.42 41.11 39.23 39.81 41.03 37.84 37.05 38.64 39.03 38.57 37.81 40.56 40.08 38.72 37.65 38.38 40.10 38.34 38.10 38.27 36.40 38.17 39.05 38.19 37.69 38.84 40.39 37.17 38.68 Soluzione Per prima cosa costruiamo i BoxPlot Vediamo che è segnalato un punto strano che corrisponde esattamente al primo dato del catalizzatore B Vediamo il test di Normalità Anche in questo caso vediamo che il primo dato del catalizzatore B è fuori scala. Sapendo del problema della taratura del peso, eliminiamo il primo dato dalla serie dei dati del catalizzatore B. 2 punti 6 Verificata la normalità vediamo l’autocorrelazione (nel caso si ipotizzi la presa dato ordinata temporalmente per riga): Non è segnalato nessun problema. 2 punti Possiamo fare un test di differenza della varianza e poi della media. Test sulle Varianze Method σ₁: standard deviation of A [g] σ₂: standard deviation of B* [g] Ratio: σ₁/σ₂ F method was used. This method is accurate for normal data only. Descriptive Statistics Variable N StDev Variance 95% CI for σ² A [g] 30 0.869 0.755 (0.479; 1.365) B* [g] 29 1.179 1.389 (0.875; 2.542) Ratio of Variances Estimated Ratio 95% CI for Ratio using F 0.543423 (0.256; 1.147) Test Null hypothesis H₀: σ₁² / σ₂² = 1 Alternative hypothesis H₁: σ₁² / σ₂² ≠ 1 Significance level α = 0.05 Method Test Statistic DF1 DF2 P-Value F 0.54 29 28 0.108 La conclusione è che non vi è evidenza statistica per rifiutare l’eguaglianza delle varianze. 2 punti 7 Test della media Method μ₁: population mean of A [g] µ₂: population mean of B* [g] Difference: μ₁ - µ₂ Equal variances are assumed for this analysis. Descriptive Statistics Sample N Mean StDev SE Mean A [g] 30 39.791 0.869 0.16 B* [g] 29 38.77 1.18 0.22 Estimation for Difference Difference Pooled StDev 95% CI for Difference 1.022 1.033 (0.483; 1.560) Test Null hypothesis H₀: μ₁ - µ₂ = 0 Alternative hypothesis H₁: μ₁ - µ₂ ≠ 0 T-Value DF P-Value 3.80 57 0.000 In conclusione, in media il catalizzatore A è migliore del catalizzatore B. 2 punti QUESITO 4 (Punti 5) L’urna U 1 contiene 2 palline arancioni e 4 palline di altro colore. L’urna U 2 invece contiene una pallina arancione e una di altro colore. Estraiamo una pallina a caso dalla prima urna e la mettiamo nella seconda, poi estraiamo una pallina dalla seconda urna. a) Con che probabilità la pallina estratta da U 2 è arancione? b) Sapendo che la pallina estratta da U 2 è arancione, con che probabilità quella trasferita dalla prima alla seconda urna è arancione? Soluzione Indichiamo i seguenti due eventi: A 1: La pallina estratta dalla urna U 1 e trasferita è arancione A 2: La pallina estratta dalla urna U 2 è arancione ( ) ( ) 2121 21 Pr Pr 33 c AA AA== Considerando la composizione iniziale dell�urna U1 abbiamo che ( ) ( ) 11 21 2 63 3 c PA PA= == a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 1 21 1 21 12 4 Pr Pr | Pr Pr | Pr * * 33 33 9 cc A AA A AA A=+= += 2.5 punti b) 8 ( )( ) ( ) ( ) 21 1 12 2 21* Pr | Pr33 Pr |0.5 4 Pr 9 AA A AA A = = = = 2.5 punti