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Mechanical Engineering - estione Industriale delle Qualità con Elementi di Statistica
Test/Intervallo
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Distribuzione Esponenziale - DISTRIB.EXP.N (X; Lambda; Cumulativo) Definizione : Una variabile aleatoria continua X ha una distribuzione esponenziale con parametro λ ( > 0), se le sua densità è: ()= { 0 < 0 ∙−������������ ≥ 0 Teorema : Una variabile aleatoria X a distribuzione esponenziale con parametro λ ha media e varianza pari a ������������ ()= 1 ������ ������������������������ (������2)= 1 ������2 Solitamente le variabili aleatorie con distribuzione esponenziale rappresentano i tempi d’attesa affinchè un dato evento si verifichi. Una proprietà delle variabili esponenziali è che non hanno “memoria”, ovvero la distribuzione di probabilità non dipende dall’istante iniziale. Se “X” è il tempo d’attesa fino al primo guasto di una data apparecchiatura, questo tempo non dipende dal fatto che l’apparecchiatura abbia già funzionato per un dato tempo s. ( > + | > )= ( > ) ������ ù ������ ������ :( > 1| > 0 )= ( > 1− 0), 1 > 0 Procedura generale per la verifica di ipotesi 1. =dentificare dal contesto del problema il parametro di interesse; 2. Formulare l’ipotesi nulla (: 0); 3. Specificare una opportuna ipotesi alternativa (: 1); 4. Scegliere un livello di significatività ( α); 5. Precisare, se lo si ritiene opportuno, il massimo rischio di seconda specie per un’ipotesi alternativa ( β); 6. Scegliere un’appropriata statistica test; 7. Stabilire la regione di rifiuto per tale statistica; 8. Calcolare ogni quantità del campione necessaria, sostituire i valori ricavati nell’equazione per la statistica test e calcolarne il valore; 9. Decidere se : 0 dovrebbe o meno essere rifiutata e riportare tale decisione nel contesto del problema. ~ (������������ ,������2) ~ ������ (������ .������������ ,������������ ������ ) Test - Media di una popolazione normale Varianza Nota → 1−������ = ̅− 0 ( ������ √) Varianza =ncognita → 1−������,−1 = ̅− 0 ( √) Test - Varianza di una popolazione normale Media Nota ������ → ������1−������, 2 = ∙2 ������2 Media =ncognita ������ → ������1−������,−1 2 = ( − 1)∙2 ������2 Test – Varianz e di due popolazion i normal i Deviazioni Standard Note → 1−������,1−1,2−1 = 12 22 Test - Differenza delle medie di due popolazioni normali Varianze entrambe note → 1−������ = (̅− ̅)− (1− 2) √ ������12 1 + ������22 2 Varianze entrambe ignote ma supposte uguali → 1−������,−1 = (̅− ̅)− (1− 2) √ 2(1 1+ 1 2) 12 = 1 1− 1 ∙∑ (������− ̅)2 ������=1 22 = 1 2− 1 ∙∑ (������− ̅)2 ������=1 ������������ ������2 → 2 = (1− 1)∙12+ (2− 1)∙22 1+ 2− 2 Varianze entrambe ignote ma supposte diverse → 1−������,−1 = (̅− ̅)− (1− 2) √ (12 1+ 22 2) → ������ 12 22 ������ = . . = . . Regione di Rifiuto ������ ������ ������������������������������������ à (������)= 1− ������������ (%) 100 Distribuzione Normale – Bilatera = {|0|> 1−������2}→ . .(1− ������ 2) Distribuzione Normale – Singola = {0> 1−������}→ . .(1− ������) Distribuzione t -Student – Bilatera = {|0|> 1−������2,−1}→ ..2(������;− 1) Distribuzione t -Student – Singola = {0> 1−������,−1}→ (1− ������;− 1) Distribuzione Chi -Quadro – Singola = {������02> ������1−������,−1 2 }→ . . (1− ������;− 1) Distribuzione Chi -Quadro – Limite Superiore = {0< ������������2,−1 2 ∨ 0> ������1−������2,−1 2 } ������������ 2,−1 2 . . (������ 2;− 1) Distribuzione Chi -Quadro – Limite Inferiore ������1−������ 2,−1 2 . . (1− ������ 2;− 1) Distribuzione di Probabilità F – Bilatera = {0< ������2,1−1,2−1 ∨ 0> 1−������2,1−1,2−1} → ������ (������ 2;1− 1;2− 1) ������ (1− ������ 2;1− 1;2− 1) Distribuzione di Probabilità F – Singola = {0> 1−������,1−1,2−1}→ ������ (������;1− 1;2− 1) Intervallo di Confidenza Bilate ro Media – Varianza Nota − 1−������2∙ ������ √ ≤ ≤ + 1−������2∙ ������ √ Bilater o Media – Varianza Non Nota − 1−������2,−1∙ √ ≤ ≤ + 1−������2,−1∙ √ Bilater o Varianza – Media Nota ∙2 ������1−������2, 2 ≤ ������2≤ ∙2 ������������2, 2 Bilater o Varianza – Media Non Nota ( − 1)∙2 ������1−������2,−1 2 ≤ ������2≤ ( − 1)∙2 ������������2,−1 2 Bilater o Differenza Media – Varianza Nota 1− 2− 1−������2∙√������12 1 + ������22 2 ≤ 1− 2≤ 1− 2+ 1−������2∙√������12 1 + ������22 2 Bilater o Differenza Media – Varianza Non Nota 1−2−1−������2,(1+2−2)∙√1 1+ 1 2≤ 1−2≤ 1−2+1−������2,(1+2−2)∙√1 1+ 1 2 Bilatero Rapporto Varianze 12 22∙������2,2−1,1−1≤ ������12 ������22≤ 12 22∙1−������2,2−1,1−1 ̂= ������������������������ ������ ������������������ ������������������ Bin (Dim.Campione, ̂) ������������ = × ̂ ������ = × ̂× (1 − ̂) 0 = ̂− √ ̂× (1 − ̂) Bilatero sul parametro p di una variabile bernulliana ̂− 1−������2 √̂(1 − ̂) ≤ ≤ ̂+ 1−������2 √̂(1 − ̂) 0 = 1̂ − 2̂ √ ̂× (1 − ̂)× (1 1+ 1 2) Bilatero sul la differenza dei parametri p di due variabili bernulliane ̂− 1−������2 √̂(1 − ̂) ≤ ≤ ̂+ 1−������2 √̂(1 − ̂)