Mechanical Engineering - Impianti di Produzione e Organizzazione di Impresa

Formulario impianti di produzione

Etc

IPOI Formulario Parte di Impianti industriali 1 Indice 1 Decisioni di breve4 1.1 Analisi di Break-Even. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.1.1 Percentuale di saturazione %s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.1.2 Margine di sicurezza MS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.2 Decisioni di Make or BUY. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.3 Scelta di Mix Ottimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.3.1 Assenza di vincoli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.3.2 Vincoli di risorse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.3.3 Vincoli di produzione minima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.3.4 Vincoli di produzione massima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 2 Investimenti6 2.1 Matematica finanziaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 2.1.1 Valore attuale di una somma posticipata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 2.1.2 Valore attuale di una rendita (o annualit`a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 2.1.3 Tassi di interesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72.1.3.1 Tassi periodali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 2.1.3.2 TAE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 2.1.3.3 Tassi reali e Relazione di Fisher. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 2.2 Analisi degli investimenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 2.2.1 VAN - Valore Attuale Netto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 2.2.2 PI - Profitability Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 2.2.3 TIR - Tasso Interno di Rendimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 2.2.4 PBT - Pay Back Time. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 3 Affidabilit`a e Disponibilit`a103.1 Affidabilit`a/Reliability -R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 3.2 Disponibilit`a/Availability -A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 3.3 Affidabilit`a e Disponibilit`a dei sistemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113.3.1 Sistemi in serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 3.3.2 Sistemi in parallelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 3.3.3 Sistemi ridondantik/n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 3.3.4 Servizio parzializzabile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 4 Centralizzazione e Frazionamento124.1 Economia di scala - Costo impianto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 4.2 Dimensionamento accumulatore polmone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 2 5 Material Handling e Sistemi di Stoccaggio13 5.1 Unit`a di Carico (UdC). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135.1.1 Europallet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 5.1.2 Autotrasportatori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 5.2 Carrelli Trasportatori (movimentazione discontinua). . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 5.3 Linee Tranfer (movimentazione continua). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 5.4 Sistemi di stoccaggio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165.4.1 Cella di stoccaggio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 5.4.2 Modulo unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 5.4.3 Parametri di progetto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 6 Programmazione Lineare196.1 Progettazione generica di un impianto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 6.2 Progettazione lineare di un impianto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196.2.1 Notazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 6.2.2 Funzioni obiettivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 6.2.3 Vincoli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 6.2.4 Analisi di sensitivit`a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 3 Capitolo 1 Decisioni di breve Per le decisioni di breve periodo teniamo in considerazione questa formula generale:M ON=M−C F(1.1) M=m·Q(1.2) m=p−c(1.3) •M ON: Margine Operativo Netto •M: Margine di contribuzione totale •C F: Costi Fissi •m: Margine di contribuzione unitario• Q: Quantit`a •p: Prezzo di vendita unitario •c: Costi variabili (o unitari) 1.1Analisi di Break-Even L’analisi di Break-Even consiste nel calcolare la quantit`a di prodotto necessaria per chiudere in pareggio, ovvero ottenere unM ON= 0 Qbe=C Fm (1.4) •Q be: quantit`a di Break-Even in generale, il calcolo di una quantit`a necessaria per ottenere unM ONspecifico `e: Qatt=C F +M ON attm (1.5) •M ON att: margine operativo netto atteso •Q att: quantit`a necessaria per ottenere il M ONatteso 1.1.1Percentuale di saturazione %s La percentuale di saturazione %s il rapporto tra il numero effettivo di unit`a che si stanno producendo (Q ef f) rispetto al numero massimo di unit`a che l’impianto `e in grado di gestire ( Q max): %s=Q ef fQ max· 100% (1.6) 4 1.1.2Margine di sicurezza MS Il margine di sicurezza, espresso in percentuale, `e il complemento a 1 della percentuale di saturazione. Indica il rapporto di quante unit`a posso ancora produrre prima di portare a saturazione l’impianto: M S= 1−%s= 1−Q ef fQ max= Q max− Q ef fQ max(1.7) 1.2Decisioni di Make or BUY Consiste nel valutare la convenienza nello scegliere se produrre intenamente un prodotto (Make) o se aquistare dall’esterno (Buy). Per effettuare tale valutazione si sceglie uno caso base, che pu`o essere Make o Buy, e si crea un conto economicodifferenzialeper valutare la convenienza. In poche parole bisogna determinare se: M ONM AK E⋛ M ON BU Y(1.8) 1.3Scelta di Mix Ottimo Data una variet`a di prodotti o di servizi che l’impresa pu`o produrre, bisogna scegliere la quantit`a di ciascuno di essi. Intanto bisogna considerare i margini di contribuzione unitari di ciascun prodotto. I prodotto con margine di contribuzione unitario negativoNONvanno prodotti. Vediamo i criteri di scelta in funzione della configurazione (solitamente siamo in presenza di una combinazione delle ultime 3 configurazioni): 1.3.1Assenza di vincoli Si sceglie il prodotto con margine di contribuzione unitario maggiore 1.3.2Vincoli di risorse Il vincolo di risorse potrebbe essere tempo, materie prime, energia,... . Bisogna calcolare il margine di contribuzione unitario per risorsa scarsa (m rs) e il criterio `e quello di scegliere il prodotto dal valore dim rsmaggiore al minore 1.3.3Vincoli di produzione minima Questo tipo di vincolo stabilisce la quantit`a minima necessaria da produrre di ciascun prodotto. Il criterio `e quello di produrre prima tutti i prodotti con vincoli di produzione minima e poi produrre il resto seguendo i criteri1.3.1e1.3.2 1.3.4Vincoli di produzione massima Questo vincolo stabilisce la quantit`a massima di ciascun prodotto che il mercato `e in grado di assorbire. Non influenza i criteri decisionali di1.3.1e1.3.2 5 Capitolo 2 Investimenti 2.1Matematica finanziaria Il valore del denaro cambia nel tempo. Verr`a considerata solamente la capitalizzazione composta. 2.1.1Valore attuale di una somma posticipata Il valore attuale (V 0) di una somma ( S) posticipata dinanni con un tasso di capitalizzazioner P=S(1 + r)n= S·P V S,PP V S,P=1(1 + r)n(2.1) Il coefficienteP V S,P( n, r) pu`o essere calcolato o estratto da tabelle 2.1.2Valore attuale di una rendita (o annualit`a) Il valore attuale (P) di una rendita (o annualit`a) (S) costante pernanni con un tasso di capitalizzazione rcostante V0=n X k=1S(1 + r)k= S·n X k=11(1 + r)k= S·P V a(2.2) P Va=n X k=11(1 + r)k=1 −1(1 + r)nr (2.3) Il coefficienteP V a( n, r) pu`o essere calcolato o estratto da tabelle 6 2.1.3Tassi di interesse 2.1.3.1Tassi periodali Generalmente indichiamo conril tasso annuale, ma pu`o essere indicato anche con TAN (Tasso Annuo Nominale). Esistono anche tassi infra-annuali o periodali, ovvero tassi di interesse su periodo pi`u corti di un anno. Introduciamo la nuova simbologia: •r=T AN: Tasso annuo nominale •m: numero di periodi in un anno •r m: tasso periodale Le relazioni per passare da un tasso annuale ad uno periodale e viceversa sono: r=T AN=r m· m r m=rm = T ANm (2.4) 2.1.3.2TAE Se la composizione degli interessi avviene pi`u volte l’anno, allora non `e possibile comparare diversi TAN per scegliere il pi`u conveniente. Bisogna introdurre il TAE o Tasso Annuo Effettivo. La relazione per passare da TAN e TAE e viceversa `e: T AE= 1 +T ANm  m −1T AN=m· m√T AE + 1−1 (2.5) 2.1.3.3Tassi reali e Relazione di Fisher Il tasso reale e il tasso nominale sono legati dal tasso di inflazione secondo la Relazione di Fisher: •r n: tasso di interesse nominale •p: tasso di inflazione •r r: tasso di interesse reale (1 +r n) = (1 + r r) ·(1 +p) (2.6) Le formule inverse sono: Tasso nominaler n= (1 + r r) ·(1 +p)−1 (2.7) Tasso realer r=(1 + r n)(1 + p)− 1 (2.8) Tasso di inflazionep=(1 + r n)(1 + r r)− 1 (2.9) 7 2.2Analisi degli investimenti 2.2.1VAN - Valore Attuale Netto Il VAN o Valore Attuale Netto rappresenta la somma di tutti i flussi di cassa netti attualizzati con un tassokche prende il nome di costo opportunit`a V AN=T X t=t 0C F (t)(1 + k)t(2.10) Per giudicare un investimento profittevole `e necessario che il VAN sia positivo. Tra investimenti alternativi, il criterio di ordinamento `e quello di scegliere l’investimento con il VAN maggiore. Nel caso bisogna stimare il VAN dati dei scenari probabilistici, `e possibile calcolare ilV AN′ di ogni scenario tenendo conto della probabilit`apche accada tale scenario: V AN′ =N X n=1p n· V AN n(2.11) 2.2.2PI - Profitability Index Il PI o Profitability Index molto simile al VAN, ma con lo scopo di valutare l’alternativa di investimento che genera maggior ritorno per ogni risorsa investita. Questo indice `e preferibile al VAN nel caso di investimenti con risorse limitate. Il PI non va applicato da solo, ma viene usato a supporto di altri criteri. P I=T X t=0C F (t)(1 + k)tT X t=0I (t)(1 + k)t= V ANT X t=0I (t)(1 + k)t+ 1 (2.12) L’investimento `e vantaggioso seP I >1 e il criterio di ordinamento va dal PI maggiore al minore 2.2.3TIR - Tasso Interno di Rendimento Il TIR o Tasso Interno di Rendimento `e pari il tasso di attualizzazione necessario per ottenere un VAN nullo: T X t=t 0C F (t)(1 + T I R)t= 0 (2.13) Il criterio di accettazione `e avereT I R≥ke il criterio di ordinamento va dal TIR maggiore al minore. Non `e sempre possibile il calcolo del TIR, ma `e necessario che siano valide le seguenti ipotesi: •Il grafico dei flussi di cassa nel tempo deve attraversare il valore VAN=0 solo una volta •` E necessario che l’investimento si ripaghi Il TIR e il VAN possono dare due conclusioni contrastanti sulla scelta dell’investimento. Il VAN tende a valorizzare i flussi di cassa concentrati all’inizio dell’investimento mentre, il TIR quelli che sono concentrati verso la fine del periodo 8 2.2.4PBT - Pay Back Time Il PBT o Pay Back Time `e un criterio di valutazione di un investimento per valutare il tempo necessario all’impresa per ripagare l’investimento: P B X t=t 0C F (t)(1 + k)t= 0 (2.14) Il criterio di accettazione `e quello di avere un PBT minore di una soglia fissata dall’impresa. Il criterio di ordinamento prevede di scegliere investimenti con PBT minori. Come il TIR questo criterio non `e applicabile sempre, per esempio non si pu`o calcolare il PBT di un investimento che prevede investimenti multipli distribuiti nel tempo. Per il calcolo del PBT `e necessario calcolare i flussi di cassa attualizzati cumulati ed osservare quando avviene il cambio di segno. Non `e un criterio da applicare ad investimenti di troppo lungo termine, ma `e utile per valutare investimenti in caso di liquidit`a limitata 9 Capitolo 3 Affidabilit`a e Disponibilit`a 3.1Affidabilit`a/Reliability -R Data una tabella con indicati i numero di guastiN gche avvengono in ogni periodo di tempo, `e possibile definire una serie di grandezze: •fodensit`a di guasto: `e la probabilit`a che un componente si guasti in un determinato intervallo di tempo f(t i+1− t i) =N g( t i+1− t i)N g,tot(3.1) •Foprobabilit`a cumulata di guasto: `e la probabilit`a che un componente si guasti entro un determinato istante F(t i+1) = F(t i) + f(t i+1− t i) =X if (t i+1− t i) (3.2) •Roaffidabilit`a: `e la probabilit`a che un componente funzioni entro un certo istante R=R(C, A, t) = 1−F(3.3) dove le variabili sono:C: criterio di corretto funzionamento,A: condizioni ambientali et: tempo. Se le variabiliCeAsono determinate e non cambiano nel tempo (ipotesi valida in periodo di vita utiledel componente), alloraR=R(t) •zotasso di guasto: `e la probabilit`a che un componente che abbia funzionato entro un certo istante, si guasti nel periodo successivo: z(t i+1− t i) =f (t i+1− t i)R (t i)(3.4) Nel periodo divita utiledel componente `e lecito affermare che il tassozrimanga costante e assume il simbolo: z(t) =cost=λ=1M T T F  guastih  (3.5) esistono delle relazioni tra tutte queste grandezze: R(t) =e− t R 0z (t)dt f(t) =z(t)·R(t)F(t) = 1−R(t) = 1−e− t R 0z (t)dt (3.6) se il tasso di guasto `e costantez(t) =cost=λ, allora le relazioni3.6si semplificano R(t) =e− λt f(t) =λ·R(t) =λ·e− λt F(t) = 1−R(t) = 1−e− λt (3.7) 10 3.2Disponibilit`a/Availability - A La disponibilit`a `e pari al rapporto tra il tempo in cui il componente funziona correttamente e il tempo totale fi funzionamento dell’impianto: A≜UpTimeUpTime +DownTime(3.8) Nel medio-lungo periodo, la disponibilit`a pu`o essere anche calcolata come:A≈MTTFMTTF +MTTR= µλ +µ(3.9) •MTTF: Mean Time To Failure = 1/λconλ: tasso di guasto •MTTR: Mean Time To Repair = 1/µconµ: tasso di manutenzione Se non viene fornito come dato, ilMTTFpu`o essere calcolato da una tabella di dati: M T T F=X i f(t i+1− t i) ·t i+1+ t i2  (3.10) NB: la disponibilit`a `e un rapporto, mentre l’affidabilit`a `e una probabilit`a 3.3Affidabilit`a e Disponibilit`a dei sistemi 3.3.1Sistemi in serie DatiR i( t) eA i( t) come l’affidabilit`a e la disponibilit`a dell’i-esimocomponente. Il valore della affidabilit`a/disponibilit`a del sistema di blocchi in serie `e: Rserie( t) =Y iR i( t)A serie( t) =Y iA i( t) (3.11) Questo sistema `e poco robusto, ovvero `e molto sensibile ai guasti come lalinea transfer 3.3.2Sistemi in parallelo DatiR i( t) eA i( t) come l’affidabilit`a e la disponibilit`a dell’i-esimocomponente. Il valore della affidabilit`a/disponibilit`a del sistema di blocchi in parallelo `e: Rpar( t) = 1−Y i[1 −R i( t)]A par( t) = 1−Y i[1 −A i( t)] (3.12) Questo sistema `e molto robusto ed `e tipico delJob Shop 3.3.3Sistemi ridondantik/n ` E un caso generale di un sistema in parallelo, ovvero `e necessario che almenokdeglinelementi del sistema funzionino affinch`e il sistema complessivo funzioni. Non `e accettata una produzione inferiore alla richiesta. Bisogna calcolare le probabilit`a di ogni singolo stato. Se i componenti sono identici, le probabilit`a di stato sono raggruppabili con il triangolo di Tartaglia, altrimenti bisogna calcolare distintamente le probabilit`a di tutti gli stati 3.3.4Servizio parzializzabile` E possibile accettare un livello produttivo inferiore alla richiesta, ma bisogna considerare la mancata produzione ed i relativi costi. Se i componenti sono identici, le probabilit`a di stato sono raggruppabili con il triangolo di Tartaglia, altrimenti bisogna calcolare distintamente le probabilit`a di tutti gli stati 11 Capitolo 4 Centralizzazione e Frazionamento 4.1Economia di scala - Costo impiantoC=C 0· PP 0 m (4.1) •P: potenzialit`a del nuovo impianto •P 0: potenzialit`a dell’impianto di riferimento •C: costo del nuovo impianto •C 0: costo dell’impianto di riferimento •m∈[0; 1]: fattore di scala 4.2Dimensionamento accumulatore polmone Procedura per il dimensionamento di un accumulatore polmone su potenzialit`a produttiva media:1.Rappresentare la richiestaR(t) 2.Calcolare la richiesta cumulataR cum( t) 3.Calcolare la potenzialit`a del sistemaP(t) come: Pmedia=R cum( t F)P t(4.2) 4.Calcolare la potenzialit`a cumulata del sistemaP cum( t) 5.Calcolare la variazione di giacenza a magazzino (∆V(t)) ∆V(t) =P cum( t)−R cum( t) (4.3) 6.Il volume del serbatoioV serbsi calcola come: Vserb= ∆ V max− ∆V min(4.4) 7.Si calcola la giacenza effettiva nel serbatoio:Giacenzaserb( t) =V serb+ ∆ V(t) (4.5) Procedura per il dimensionamento di un accumulatore polmone con minimo accumulo. Se la poten- zialit`a della macchina `e regolabile, allora bisogna massimizzare la potenzialit`a nel picco, dopo di che si procede a ritroso nel tempo fino a saturare la richiesta. Infine, si produce seguendo la richiesta. Bisogna tenere conto di eventuali extracosti di produzione. 12 Capitolo 5 Material Handling e Sistemi di Stoccaggio 5.1Unit`a di Carico (UdC) 5.1.1EuropalletFigura 5.1: Pallet EUR 800 ×1200mm Le misure standard degli Europallet sono:Tipoa[mm]b[mm]h[mm] 18001200144 212001000144 310001200144 6800600144 Tabella 5.1: Dimensioni standard degli Europallet Caratteristiche Europallet tipo 1:•peso: 25kg •carico: 1500kg (dinamico) e 4000kg (statico) •materiale: legno, metallo e plastica riciclata 13 5.1.2Autotrasportatori Figura 5.2: layout carico per autotrasportatori per Europallet 1 5.2Carrelli Trasportatori (movimentazione discontinua) La formula della potenzialit`a di movimentazione per un sistema discontinuo generico `e: P U dCt ciclo =Q U dCciclo T c unit`a di tempociclo  (5.1) Per i carrelli trasportatori si pu`o considerare due tipi di cicli di movimentazione: semplice o combinato. Analiticamente `e possibile risolvere solo i cicli semplici. Il tempo di ciclo semplice `e: TC Sh sciclo i =L o· 1V o,s+ 1V o,c +H v· 1V v,s+ 1V v,c |{z} TV ,C S+ T F,C S(5.2) I temini di5.2sono:•T V ,C S: tempi variabili che dipendono dalla distanza percorsa –L o[ m]: lunghezza del percorso orizzontale (con il ciclo semplice si effettua una corsa di andata con carico e un ritorno a vuoto) –V o,ce V o,s[ m/s]: sono rispettivamente le velocit`a orizzontaliconesenzacarico –H v[ m]: altezza verticale di sollevamento –V v,ce V v,s[ m/s]: sono rispettivamente le velocit`a verticaliconesenzacarico •T F,C S: tempi fissi caratteristici del mezzo di movimentazione (curve di 90 °, carico, scarico,...). 14 La potenzialit`a di movimentazione dei carrelli P M carrdipende dal fattore di utilizzazione F U≤1, un parametro adimensionale che dipende dalla disponibilit`a del carrello, e dal tempo di ciclo semplice TC S: P Mcarr ciclih  =F U·3600h sh iT C Sh sciclo i (5.3) Il numero di carrelliN carrsi calcola arrotondando per eccesso il rapporto tra la potenzialit`a di movimentazione richiestaP M riche quella dei carrelli P M carr: Ncarr= P MrichP M carr (5.4)Tipologia carrelliLarghezzaAltezza corridoiosollevamento forche Carrello a contrappeso con ≥ 3m≤ 6mcaricamento frontale Carrello a montante retrattile ≥ 2.5m≤ 9mcon sedile trasversale Carrello trilaterale≥ 1.6m≤ 15mTrasloelevatore≥ 1.4m≤ 35m5.3Linee Tranfer (movimentazione continua) Figura 5.3: Schema di una linea transfer La potenzialit`aP`e calcolata: P U dCunit`a di tempo  =Q ·Vd =[ U dC]· munit`a di tempo [ m](5.5) i cui termini sono:•Q: `e il numero diU dCaffiancate che percorrono insieme il nastro •V: `e la velocit`a del nastro •d=L+a: `e l’interasse tra dueU dC –L[m]: luce o distanza tra dueU dC –a[m]: misura longitudinale delleU dC 15 5.4Sistemi di stoccaggio 5.4.1Cella di stoccaggioFigura 5.4: Cella di stoccaggio per 2 Europallet a singola profondit`a c=100÷150 mmd=75÷150 mme=200÷300 mmH=900-1200-1500-1800-2100-2400 mm 5.4.2Modulo unitarioFigura 5.5: Medulo unitario per celle di 2 Europallet a singola profondit`a Amodulo unitario m2  =L·(LC+ 2·P) (5.6) 16 5.4.3Parametri di progetto •Potenzialit`a ricettiva(PR[U dC]): numero massimo di UdC che possono essere stoccate (dimensioni prefissate) •Potenzialit`a di movimentazione(PM[U dC/unit`a di tempo]): flusso di UdC. Pu`o essere in ingresso, uscita e attraversamento •Coeff. di utilizzazione superficiale(CUS U dC/m2 ): rapporto tra potenzialit`a ricettiva e superficie del magazzino C U S U dC/m2  =P R [U dC]superficie in pianta zona di stoccaggio [m2 ](5.7) un magazzino che si sviluppa verticalmente `e definito a stoccaggio intensivo •Selettivit`a: rapporto tra il numero di UdC direttamente accessibili e il numero di articoli attualmente a deposito Selettivit`a=numero di UdC direttamente accessibili [U dC]numeroarticoliadeposito [U dC]≤ 1 (5.8) Con scaffalature a singola profondit`a, la selettivit`a `e pari a 1, ma se si utilizzano scaffalature a doppia profondit`a, la selettivit`a e pari a 0.5 •Coeff. di saturazione della PR: rapporto tra il numero di UdC effettivamente presenti nel deposito e il numero massimo Coeff. saturazione=Numero UdC a deposito [U dC]P R [U dC]≤ 1 (5.9) •Percorso attesoBisogna notare che queste formule perL 0considerano velocit`a orizzontali con(a) L 0= 2 · U4 + V2 + C A(b) L 0= 2 · U2 + V2 + C A(c) L 0= 2 · U3 + V2 + C A e senza carico ugualiLv=( N L−1)·H2 (5.10) 17 • Numero di livelli(NL): numero di livelli di stoccaggio             N L carr= Hmax,carrH + 1 − N Lstrutt= HsottotrabeH  −⇒ N L= min (N L carr; N L strutt) (5.11) •Numero di corridoi(NC) N C= U2 ·P+LC − ⇒LC=UN C − 2·P(5.12) •Numero di vani(NV) N V= P RN C ·N L·4 + ⇒P R=N C·N L·4 (5.13) •Lunghezza del corridoio(lung C) lungC= N V·L+ 0.1m(5.14) 18 Capitolo 6 Programmazione Lineare 6.1Progettazione generica di un impianto La funzione di produzione di un impiantoxj= φ(f 1, f 2, f 3, ...f n) (6.1) `e usata per determinare la quantit`a del prodottox jdipendente da nfattorif i. La funzione φdipende dalla tecnologia adottata. Le tipiche funzioni obiettivo sono: •Massimizzazione del margine di contribuzione totale: max [M C T=P i( p i− c i) ·x i] •Minimizzazione dei costi di produzione: min [C T=P ic i· x i] 6.2Progettazione lineare di un impianto` E definita laRegione Ammissibilecome il volume dell’iperpoligono che contiene tutte le soluzioni possibili. Questa regione `e delimitata dai vincoli e pu`o essere nulla, ovvero non ammettere alcuna soluzione. Questa regione `e un iperpoligono convesso e le soluzioni ottime si trovano sui vertici o sui lati. Il metodo di ricerca delle soluzioni `e chiamatoMetodo del Simplesso. 6.2.1Notazioni•x j: quantit`a del j−esimoprodottoj∈[1;n] •f i: consumo dell’ i−esimofattore produttivoi∈[1;m] •b i: quantit`a massima disponibile (o minima necessaria) del i−esimofattore produttivo •p j: prezzo unitario del j−esimoprodotto (deve rimanere costante) •c j: costo unitario del j−esimoprodotto (deve rimanere costante) •a i,j=∂ f i∂ x j: coefficiente di impiego (o tasso di assorbimento) dell’ i−esimofattore produttivo rispetto alj−esimoprodotto 6.2.2Funzioni obiettivo•Massimizzazione del margine di contribuzione totale: maxh M C T=P j( p j− c j) ·x ji •Minimizzazione dei costi di produzione: minh C T=P jc j· x ji Queste funzioni sono lineari sec je p jsono costanti 19 6.2.3Vincoli     a 1,1a 1,2a 1,3· · · a 1,n a2,1a 2,2a 2,3· · · a 2,n . . .. . .. . .· · ·. . . am,1a m,2a m,3· · · a m,n    ·      x 1 x2 x3 . . . xn      ≤      b 1 b2 b3 . . . bn      (6.2) Laj−esimacolonna di6.2rappresenta il consumo deglimfattori produttivi per ilj−esimoprodotto. L’i−esimariga di6.2rappresenta il limite di disponibilit`a delle risorse. Questi vincoli sono lineari sea i,j= cost Si devono considerare anche i vincoli di non-negativit`a: xj≥ 0∀j∈[1;n] (6.3) In generale, i vincoli possono essere espressi sia con disequazioni che con equazioni lineari. In pratica si cerca di utilizzare solo disequazioni perch`e le equazioni rappresentano un vincolo molto rigido e difficile da soddisfare. Nella formalizzazione del problema si definisconomulteriori variabili chiamate slacke rappresentano il quantitativo necessario per saturare la risorsab i. Le equazioni di vincolo diventano:     a 1,1a 1,2a 1,3· · · a 1,n a2,1a 2,2a 2,3· · · a 2,n . . .. . .. . .· · ·. . . am,1a m,2a m,3· · · a m,n    ·      x 1 x2 x3 . . . xn      +      S 1 S2 S3 . . . Sm      =      b 1 b2 b3 . . . bm      (6.4) 6.2.4Analisi di sensitivit`a Rappresenta l’analisi dellarobustezzadella soluzione trovata con una variazione nell’intorno dei para- metri del problema. Se per una variazione, anche cospiqua, dei parametri la soluzione del problema non cambia, allora la soluzione si dicerobusta. Ci sono due indicatori tipici della programmazione lineare: •Prezzo ombrao shadow price: rappresenta il massimo aumento del costo della risorsa affinch´e la soluzione ottimale non cambi (non cambiano le variabili della soluzione ottimale, ma pu`o cambiare la soluzione) •Costo ridottoo reduced cost: rappresenta il minimo aumento di marginalit`a di un prodotto, inizialmente non messo in produzione, affinch´e convenga essere prodotto 20