Mechanical Engineering - Dinamica e controllo delle macchine

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DINAMICA E CONTROLLO DELLE MACCHINE Prova di autovalutazione { 3 maggio 2017M d; J d; R O M kkEsercizio 1.Il sistema in gura, posto nel piano orizzontale, e costituito da un disco di massa M d e momento d'inerzia baricentrico Jd e raggio R, da una massa M e due elementi elastici di rigidezza k, collegati al telaio ad un estremo e alla massa M all'altro. Il disco e incernierato nel suo baricentro e rotola senza strisciare sulla massa. Si richiede di: 1.a)scrivere l'equazione di moto del sistema; 1.b)determinare la sua frequenza propria;1.c) determinare il valore del precarico P da applicare fra disco e massa perche sia garantita, in condizioni di moto libero, l'aderenza quando lo spostamento della massa e massimo e la sua velocita nulla.C (t)M ; R g kk k m; lEsercizio 2. Il sistema in gura, posto nel piano ver- ticale, e costituito da un disco uniforme di massa M e raggio R, vincolato a rotolare senza strisciare su di un piano orizzontale, e da un'asta di massa uniformemente distribuita m e lunghezza l. Il disco e collegato al telaio tramite due molle, scariche nella congurazione di equi- librio statico di gura, di rigidezza k. L'asta e vincolata ad una estremita al centro del disco, al quale e collegata tramite una molla rotazionale di rigidezza k . Si richiede di: 2.a) scrivere le equazioni di moto linearizzate nell'intorno della congurazione di equilibrio statico di gura; 2.b) scrivere l'espressione dell'ampiezza di vibrazione del sistema in risposta al forzamento indotto da una coppia armonicaC(t) =C 0ei t applicata al disco; 2.c) determinare la rigidezza k della molla rotazionale anche, in risposta al forzamento, l'asta rimanga ferma;N.B.: si denisca e si commenti opportunamente qualsivoglia dato ritenuto mancante. Traccia di soluzione Esercizio 2 Equazione di motoSia xlo spostamento della massa, positivo verso destra. Sia la rotazione del disco in senso orario, per cui x=R. Il sistema sia in equilibrio statico quandox= 0. Per la scrittura dell'equazione di moto del sistema e possibile utilizzare, per esempio, il formalismo di Lagrange (II tipo): ddt  @ Ec@ _ x E cx +@ V@ x = 0 (1) L'energia cinetica del sistema eEc=12 M _ x2 +12 J d_ 2 =12 ( J d+ M R2 )_ 2 (2) L'energia potenziale e Ep= 2
12 K x 2 = 2
12 K R 2 2 (3) Applicando la (1) si ottiene facilmente(J d+ M R2 ) + 2kR2 = 0 (4) Frequenza propria La frequenza caratteristica e !0=rk J =s2 kR2J d+ M R2(5) Verica di aderenza Il movimento libero e armonico, con frequenza !0 . Quindi, quando lo spostamento e massimo (ad esempio x=x max> 0), la velocita e nulla e l'accelerazione, negativa, e minima, x=!2 0x max. Perche si abbia aderenza deve valere la reazione P > f sj Tj , detta T la componente tangenziale della forza scambiata. Dall'equilibrio alla rotazione del disco rispetto al proprio centro, si ricava jTj = J dj j=R = J d!2 0x max=R2 , quindi P >J df sR2!2 0x max(6) Esercizio 2 Equazioni del moto Sia la rotazione del disco e  la rotazione dell'asta, entrambe positive in senso antiorario. La posizione del baricentro dell'asta e ~ PG= Rl=2 sin l=2 cos (7) L'allungamento della molla a sinistra e u1 = R , mentre quello della molla a destra R . La molla rotazionale fornisce un momento proporzionale alla rotazione relativa disco-asta,=. Si consideri, per esempio, il formalismo di Lagrange del secondo tipo. L'energia cinetica e Ec=12 J d_ 2 +12 M ~v T d~v d+12 J a_ 2 +12 m~v T G~v G(8) =12 M R22 _ 2 +M R2 _ 2 +112 ml 2 _ 2 +m  R_ l2 cos _  2 + l2 sin _  2!! (9) =12  32 M R 2 +mR2 _ 2 +12 13 ml 2 _ 2 12 mRl cos_ _ (10) L'energia potenziale eEp=12 ku 2 1+12 ku 2 2+12 k 2 +mgz G(11) = 2
k12 R 2 2 +12 k ( )2 mgl2 cos (12) il suo gradiente da@ Ep@  = 2 kR2 +k ( ) (13) @ Ep@  = k ( ) +mgl2 sin (14) si nota immediatamente che= 0 e= 0 e una congurazione di equilibrio. Il lavoro virtuale diCe L=C (15) Le equazioni di moto sono date daddt @ E c@ _  @ E c@  +@ E p@  =@ L@  (16) ddt @ E c@ _  @ E c@  +@ E p@  = 0 (17) Le derivate coinvolte nell'espressione di Lagrange sonoddt @ E c@ _ = 32 M R 2 +mR2!  12 mRl cos +12 mRl sin_ 2 (18) @ Ec@  = 0 (19) @L@  = C(t)(20) @ Ep@  = 2 kR2 +k ( ) (21) ddt @ E c@ _ = 13 ml 2  12 mRl cos +12 mRl sin_ _ (22) @ Ec@  = 12 mRl sin_ _ (23) @ Ep@  = k ( ) +mgl2 sin (24) Le equazioni di moto sono, quindi32 M R 2 +mR2  12 mRl cos +12 mRl sin_ 2 + 2kR2 +k ( ) =C(25) 13 ml 2  12 mRl cos +k ( ) +mgl2 sin = 0 (26) La quadraticizzazione dell'energia cinetica rispetto alla soluzione di equilibrio statico e Ec12  32 M R 2 +mR2 _ 2 +12 13 ml 2 _ 2 12 mRl _ _ (27) ovvero Ec=12      32 M R2 +mR2 12 mRl 12 mRl13 ml2      (28) Per cui la matrice di massa del sistema linearizzato saraM = 32 M R2 +mR2 12 mRl 12 mRl13 ml2 (29)Mentre per la matrice di rigidezza, dal momento che il sistema e conservativo, e possibile considerare la matrice Hessiana dell'energia potenziale: K =2 6 6 4@ 2 Ep@  2  0@ 2 Ep@ @    0 @2 Ep@ @    0@ 2 Ep@  2  03 7 7 5= kR2 +k  k  k k + mgl2  (30) 32 M R2 +mR2 12 mRl 12 mRl13 ml2      + kR2 +k  k  k k + mgl2     = C(t) 0 (31) Risposta al forzamento In risposta al forzamento armonico introdotto dalla coppia C(t) = C0ei t , il sistema a transitorio esaurito vibrera con la stessa frequenza della forzante: ~xP( t) = 0 0 ei t (32) Per determinare le ampiezze 0e  0si sostituisce la soluzione nelle equazioni di moto (31):  2 32 M R2 +mR2 12 mRl 12 mRl13 ml2 + kR2 +k  k  k k + mgl2   0 0 ei t = C0 0 ei t (33) Semplicando a destra e a sinistra la parte dipendente dal tempo e invertendo la matrice a primo membro si ottiene inne 0 0 = 2 32 M R2 +mR2 12 mRl 12 mRl13 ml2 + kR2 +k  k  k k + mgl2  1 C0 0 (34) Rigidezza rotazionale La condizione richiesta e che l'ampiezza di vibrazione dell'asta si annulli quando il sistema si trova nelle condizioni di moto del punto precedente, ovvero 0= 0. Chiamando  D la matrice al primo membro della (33) , si puo riscrivere formalmente la (34) nel seguente modo 0 0 =1det D d22 d 12 d 21d 11  C0 0 (35) ovvero0 0 =1det D C0d 22 C 0d 21 (36) Risulta quindi evidente che perche sia 0= C 0d 21det D= 0 deve essere k=12 2 mRl(37)