Mechanical Engineering - Dinamica e controllo delle macchine

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DINAMICA E CONTROLLO DELLE MACCHINE Prova d'esame { 27 giugno 2017M g k; r m; lf=F 0ei t Esercizio 1.Il sistema in gura, posto nel piano vertica- le, e costituito da un carrello di massa M e da un'asta di lunghezza le massa m uniformemente distribuita. Il carrello si muove su un piano inclinato rispetto all'orizzontale di un angolo , su ruote di massa trascurabile. L'asta e vincolata ad una sua estremita al centro del carrello, tramite una cerniera. Il carrello e vincolato a terra da una molla lineare di rigidez- za k e da uno smorzatore di costante r, che agiscono nella direzione del piano. La lunghezza indeformata della molla e nulla. All'estremita dell'asta e applicata una forza armonica f, agente in direzione orizzontale. Si richiede di 1.a) scrivere le equazioni non lineari del moto del sistema, considerando come coordinate libere lo spostamento xdel carrello lungo la direzione del piano inclinato e la rotazionedell'asta; 1.b)linearizzare le equazioni del moto nell'intorno della posizione di equilibrio statico;1.c)determinare la risposta a regime del sistema al forzamento introdotto dalla forzaf=F 0ei t ; 1.d) (opzionale ) determinare la costante di smorzamento rche fa s che la pulsazione propria del sistema smorzato, ad asta bloccata, sia pari ad un valore! d;M TJ m  ;  d Cm ! m ! u J e Cu Esercizio 2. Il sistema in gura e posto nel piano verticale ed e costituito da un motore erogante una coppia Cm = AB! m , collegato tramite una trasmissione T di rapporto di trasmissione e rendimento di moto diretto  d ad un'elica la cui coppia assorbita e funzione quadratica della velocita angolare: Cu = Cu0 +C u1!2 u . Si richiede di: 2.a)scrivere l'equazione di moto non lineare del sistema; 2.b) determinare la velocita di rotazione a regime in moto diretto del sistema e vericare la stabilita di tale soluzione; 2.c) considerando il sistema linearizzato, applicare un controllo proporzionale agente sull'alimentazione del motore (termine A della coppia motrice) che agisca in modo da inseguire una velocita di riferimento !rif, discutendo il suo eetto in termini di stabilita del sistema controllato ed errore a regime; 2.d) (opzionale ) aggiungere al controllo un termine derivativo e determinare il guadagno kD minimo necessario per ottenere un'accelerazione allo spunto del sistema durante l'avviamento inferiore ad un valore limite_! m.N.B.: si denisca e si commenti opportunamente qualsivoglia dato ritenuto mancante. Traccia di soluzione Esercizio 1 Equazioni del motoSi assuma un sistema di riferimento con origine nel punto in cui il sistema molla-smorzatore si collega al telaio, con asse xpositivo verso destra e parallelo al piano inclinato e zperpendicolare al piano, positivo verso l'alto. Come coordinate libere si scelgano lo spostamento xdella massa M e la rotazione dell'asta, positiva se antioraria, con= 0 corrispondente alla congurazione con asta parallela all'assez. Le equazioni di moto del sistema, utilizzando il formalismo di Lagrange, si scrivono come ddt  @ Ec@ _ x @ E c@ x + @ D@ _ x+ @ V@ x = @  L@ x (1) ddt  @ Ec@ _  @ E c@  + @ D@ _ + @ V@  = @  L@  (2) (3) L'energia cinetica del sistema in coordinate siche e Ec=12 M ~v T M~v M+12 m~v T G~v G+12  ml212  !2 (4) La funzione di dissipazione eD=12 r
_ l(5) mentre l'energia potenziale e V=12 k
l+mgh G+ M gh M(6) inne il lavoro virtuale dif, sempre in coordinate siche, sara L=xT ff (7) avendo indicato con v M la velocita della massa M , con G il baricentro dell'asta, con ! la velocita angolare di quest'ultima, con
le
_ ll'allungamento e la velocita di allungamento del sistema molla-smorzatore, con hG ehM le quote dei baricentri dell'asta e della massa M e con x f lo spostamento virtuale del punto di applicazione della forzaf. La posizione e la velocita del baricentro dell'asta sono ~pG=8 > < > :x +l2 sin  l2 cos 9 > = > ;~v G=8 > < > :_ x+l2 cos _  l2 sin _ 9 > = > ;(8) mentre per le altre quantita cinematiche valgono le semplici relazioni cinematiche che seguono (supponendo lunghezza di molla scarica nulla: !=_ 
l=x h M= xsin(9) xf= ( x+lcos) cos+lsinsin h G= xl2 sin  sinl2 cos cos(10) Le forme di energia nelle coordinate libere sono, quindi Ec=12 ( M+m) _x2 +12  ml212 + ml 24  _ 2 +12 ml cos_ x_ (11) D=12 r _ x2 (12) V=12 kx 2 +mg xsinl2 cos( ) +M g(xsin) (13) L=xT fcos+T f lcos() (14) Equazione di moto in x:le relative derivate coinvolte nelle (3) sono ddt  @ Ec@ _ x =ddt  (M+m) _x+12 ml cos_  = (M+m) x+12 ml cos 12 ml sin_ 2 (15) @ Ec@ x = 0 (16) @ D@ _ x= r_ x(17) @ V@ x = kx(M+m)gsin(18) @ L@ x = f(t) cos(19) quindi l'equazione di moto e (M+m) x+12 ml cos 12 ml sin_ 2 +r_ x+kx(M+m)gsin=f(t) cos(20) Equazione di moto in:le relative derivate coinvolte nelle (3) sono ddt  @ Ec@ _  =ddt  ml23 + 12 ml cos_ x =ml 23  +12 ml cos x12 ml sin_ x_ (21) @ Ec@  = 12 ml sin_ x_ (22) @ D@ _ = 0 (23) @ V@  = mgl2 sin ( ) (24) @ L@  = f(t)lcos() (25) quindi l'equazione di moto eml23  +12 ml cos x+mgl2 sin ( ) =f(t)lcos() (26) LinearizzazioneOccorre innanzitutto denire la posizione di equilibrio statico nell'intorno della quale le equazioni di moto verranno linearizzate.Le equazioni di equilibrio statico sono kx0= M gsin(27) mgl2 sin ( ) = 0(28) da cui si evince chex0 = x0 0 T = M gsink  T e una soluzione di equilibrio. Il sistema e conservativo, quindi K HV (29) ovvero la matrice di rigidezza del sistema linearizzato coincide con la matrice Hessiana dell'energia potenziale. Quest'ultima ha una forma molto semplice, essendo nulle le derivate seconde miste dell'energia potenziale HV = k0 0mgl=2 (30)  E immediato riconoscere cheHV e denita positiva, quindi l'equilibrio statico e stabile.Per ricavare la matrice di massa del sistema linearizzato e possibile rendere quadratica l'energia potenziale, ovvero cercare la matrice simmetrica Mche rende vera l'uguaglianza Ec=12 _ xT M_ x(31) ovvero Ec=12  _ x_   M+m ml=2 ml=2ml2 =3  _ x _  (32) La matrice di smorzamento ha anch'essa una forma estremamente sempliceR=  r0 0 0 (33) Per quanto riguarda i termini di forzamento, nel caso dell'equazione di moto in xil termine e gia lineare (si ricordi che  e costante), mentre per quanto riguarda il termine presente nell'equazione di moto in , dal momento che 0= , vale lcos()f(t)lcos( 0 )f(t) =lf(t) (34) Le equazioni di moto linearizzate sono quindiM+m ml=2 ml=2ml2 =3   x   + r0 0 0  _ x _  + k0 0mgl=2  x  = cos l f(t) (35) Risposta a regime al forzamento La risposta a regime al forzamento si ottiene come soluzione particolare delle equazioni di moto linearizzate. Dal momento chefe armonica di frequenza , anche la soluzione particolare dovra esserlo: xP ( t) =X0 Pei t (36) la soluzione sostituita nelle (35) porta a 2 M+ i R+ K
X0 Pei t =F0 ei t (37) con F0 = F0cos  lF0 (38) ovvero, semplicando la parte dipendente dal tempo in entrambi i membri 2 M+ i R+ K
X0 P= F0 (39) che risolta nel vettore di ampiezze di vibrazioneX0 porta inne a X0 P= 2 M+ i R+ K
1 F0 (40) Costante di smorzamento Se l'asta e bloccata, l'unico grado di liberta del sistema exe l'equazione di moto linearizzata si riduce a (M+m) x+r_ x+kx= cosf(t) (41) la cui omogenea associata regge il moto libero del sistema(M+m) x+r_ x+kx= 0 (42) l'equazione ha come integrale generale x G( t) =X 0et . L'associata equazione caratteristica e quindi (M+m)2 +r+k= 0 (43) con soluzioni 1;2= r2( M+m)s r2( M+m) 2 kM +m(44) che puo essere riscritta, al solito, come1;2= ip1 2 !0(45) con=r2( M+m)! 0e ! 0=rk M +m. La frequenza propria del sistema smorzato e quindi !d=p1 2 !0(46) quindi se si vuole! d=! dsara necessario uno smorzamento adimensionale pari a =s1 ! d! 0 2 (47) e quindi lo smorzamentorrichiesto sara r= 2s1 ! d! 0 2 (M+m)! 0(48) Esercizio 2 Equazione del moto Si consideri il bilancio di potenze applicato all'intero sistema m+  p+  u= 0 (49) In coordinate siche, in caso di moto diretto, le potenze coinvolte nel bilancio valgonom= C m! m J m_ ! m! m= ( AB! m) ! m J m_ ! m! m(50) p= (1 d) C m! m J m_ ! m! m(51) u= C u! u J e_ ! u! u= Cu0+ C u1!2 u
!u J e_ ! u! u(52) l'unico legame cinematico da considerare e! u=  ! m. L'equazione non lineare del moto (diretto) sara allora d( AB! m)  Cu0 + 2 Cu1!2 m
= Jm+ 2 Je
_ ! m(53) Soluzione di regime e stabilita La velocita richiesta si ottiene dall'equazione di moto a regime: d( A 0 B! m0)  Cu0 + 2 Cu1!2 m0
= 0 (54) la cui soluzione e !m0=  dB2 2 Cu1v u u t dB2 2 Cu1! 2 + dA 0+  C u0 2 Cu1(55) l'unica soluzione accettabile e quella positiva. L'unico termine non lineare nell'equazione di moto e!2 m, che linearizzato diventa !2 m !2 m0+ 2 ! m0
! m(56) sostituito nell'equazione di moto porta a d(
A(t)B
! m) + 23 Cu1! m0
! m= J
_! m(57)dove sono state eettuate le sostituzioni A = A 0 +
A(t), !m = !m0 +
! m ,J =  dJ m + 2 Je e si sono semplicati i termini contenuti nell'equazione di moto a regime. Riordinando i termini J
_!+ dB + 23 Cu1! m0

! m=  d
A(t) (58) La soluzione di moto libero della (58) e
! m (t) =
met , con
m costante dipendente dalle condizioni iniziali e radice del polinomio caratteristico J + dB + 23 Cu1! m0= 0 (59) ovvero = dB + 23 Cu1! m0J (60) la soluzione di moto a regime e quindi stabile seB >0 eC u1> 0. Controllo proporzionale Il controllore agira sull'alimentazione del motore in modo proporzionale all'errore fra il riferimento e la velocita angolare attuale:
A=k P =k P(
! rif
! m) (61) sostituendo l'espressione dell'alimentazione del motore controllato nell'equazione di moto del sistema si ottiene J
_! m+ dB + 23 Cu1! m0

! m=  dk P(
! rif
! m) (62) nel dominio di Laplace, valeJ s+ d( k PA +B) + 23 Cu1! m0

m( s) = dk P
rif( s) (63) la funzione di trasferimento di anello chiuso e quindi L(s) =
m( s)
rif( s)= dk PJ  s+ d( k PA +B) + 23 Cu1! m0(64) da cui si evince che l'unico polo del sistema (il valore dische annulla il denominatore) e s= d( k PA +B) + 23 Cu1! m0J (65) quindi il sistema controllato e sempre stabile a patto cheA >0 ek P> 01 . L'errore a regime del controllore e valutabile tramite il valore as= 0 diL(s): L(0) = dk P d( k PA +B) + 23 Cu1! m0(66) ovvero e sempre presente, anche per k p! 12 . Si noti che l'errore a regime (in termini relativi), a rigore, e dato da 1 L(0).1 N.B. Alla stessa conclusione si giunge se si valuta la risposta di moto libero del sistema controllato, ovvero ponendo
! rif= 0 e valutando il segno dell'esponente della soluzione tipo
! m( t) =
Get 2 N.B. Si puo arrivare allo stesso risultato considerando la risposta del sistema ad un ingresso constante, ovvero consi- derando
! rif=
! rif= const , tenendo conto che per il metodo di similitudine anche la soluzione particolare sara costante:
! m( t) =
! m= const Controllo proporzionale-derivativo e accelerazione allo spunto L'equazione di moto (53) allo spunto in avviamento si riduce a J _ ! m=  dA  C u0(67) equazione che risulta gia lineare. Il controllore agisce sull'alimentazione del motore, in questo caso, tramite un termine proporzionale e uno derivativo:
A=k P +k D_ =k P( ! rif ! m) + k D( _ ! rif _ ! m) (68) L'equazione del moto del sistema controllato e quindiJ _ ! m+  C u0=  d( k P! rif+ k D( _ ! rif _ ! m)) (69) riordinando i termini(J + dk D) _ ! m+  C u0=  d( k P! rif+ k D_ ! rif) (70) Quindi l'accelerazione allo spunto del sistema controllato e _ ! m= d( k P! rif+ k D_ ! rif)  C u0J  + dk D(71) si vuole che sia _! m d_ ! rif_ ! m 1 dk P! rif_ ! m  C u0_ ! m J (72)