Mechanical Engineering - Dinamica e controllo delle macchine

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SCHEMA DCM Barducci Alessandro arrabbi @↑pMkgg 1. INTRODUZIONE AL CORSO E SCRITTURA EQUAZIONI DI MOTO Analisi dinamica : studio del moto di un sistema volto alla definizione di spostamenti .velocità . accelerazioni ,deformazioni tenendo conto di : •vincoli cinematici interni (tra corpi ) ed esterni (tra corpi e terra ) •forze interne ed esterne Problemi di dinamica :•Dinamica di sistemi di corpi rigidi •Dinamica di sistemi corpi deformabili o con elementi deformabili (Vibrazioni ) step di un problema dinamico : 1) Modellazione partendo da un fenomeno fisico 2) Equazione di moto (Eq .dinamici ,Eq di Lagrange ,Bilancio potenze ) 3) Soluzione Esempi di modellazione 1) MTU A B M T U Meccanica applicata → Eq di moto in W A B studio le vibrazioni torsionale dell' albero e lo rappresento come 3 inerzie collegate da 2 molle : Utz Kta •Se l'albero e'considerato rigido mi interesso solo del flusso di Mr Mr potenza •Se non è rigido ho delle vibrazioni e devo studiare le velocita ' Jin Ji Ju critiche che portano il sistema in risonanza 2) AUTOMOBILE MODELLO % DI VEICOLO Definizione forze - > Studio smorzatore Mya 1% Modello VERTICALE /¨ Modello § w AMMORTIZZATORE Mr MASSA NON SOSPESA E ↓ ,↓ PNEUMATICO più " fà " yitirmmn MODELLO VEICOLO COMPLETO beccheggio •Per controllare angoli di beccheggio e / vdljo di rollio ÷ ->Dovrei passare agli elementi finiti ÷É¥ ¥ È ③ Soluzione eq moto (m ] + [R]è + [K]≤ = [ (f) + E /×. ) an :E'" =forze strettamente dipendenti dal tempo Ffxiii )=for te di campo la risoluzione dipende dal tipo di equazione : •Eq .non lineare : metodi numerici o linearizzazione rispetto ad una posizione di equilibrio •Eq .lineare : posso trovare soluzioni in forma chiusa per eq. a co # costanti Vibrazione : moto che si ripete per un certo tasso di tempo Ho vibrazioni in sistemi con : •Elementi che accumulano energia cinetica (mosse o inerzie ) •Elementi che accumulano energia potenziale (elastico o gravitazionale ) ◦Elementi che dissipano energia → Ho vibrazioni smorzate Ho un continuo scambio di energia cinetica e potenziale , ridotto gradualmente dagli elementi dissipatori Pendolo : vg Passando da un modello ideale ad uno reale .tengo conto dell' atrio del pendolo con l'aria che [punk dissipa energia F. p . m x 1 Ideale Ep =ma AX piede • f- ó°µµg Ec = ° È " / > e F-e=ma F-p=o 1- =periodo Un sistema vibra per due motivi : 1) È perturbato rispetto alla sua posizione di equilibrio ->Ho moto libera e una frequenza di vibrazione figlia delle caratteristiche del sistema chiamata frequenza propria del sistema : f- È [Hz ) e W .-Zitf dradis ] 2) È eccitato da forze esterne → Ho moto forzato → Se ftp.ante ≈ fproprio allora ho RISONANZA ed elevate ampiezze di vibrazione Elementi >× mi < E- = -MI 1) MASSA : E. = Invii . f. Joni >T "N>M 2) MOLLA :Accumula energia potenziale elastico -> se deformata torna alla posizione iniziale >× allora il blocco subisce una È = -Kx con K -costante di % UN • rigidezza U U \\\\\ "¥ Fd =-kbl con Il = allungamento degli estremi per lineari partendo dalla posizione di molto indottrinata Tipi di molle Considerando la convenzione secondo cui sono QUASI COSTANTE Fell Dimessi " LINEARE → No ,usiamo positivi gli spostamenti a trazione della molla molte lineari e viceversa per la compressione allora : PROGRESSIVA |? I % • UN • Al = Xz -✗1 > se Mentre l'energia potenziale vale : Ve l = { Kbè 3) SMORZATORE >✗1 OLIO Lavora con attriti viscosi velocità relativa ◦I← ;.. / È ◦ iii. È : ° Caratteristica : Fr = rlxi -is ) L coefficiente di smorzamento viscoso funzione dissipati va D= Irst - Ve l o c i t à relativa estremi Attrito colombiano >V MI mi v = -ITIH < ' l ' fa ' I. fin ^N Smorzamento strutturali : Scorrimento dei piani interni del materiale - >Viscoso equivalente MODELLAZIONE 1) Righello .. ._ massa concentrati Ve d o uno spostamento ✗ della massa : i • 'i >× in =dato i. I M " m ✓= approssimata ÷ . • ÷ . Determinazione K Proprietà mensola incastrata 6 [ ,.. (= lunghetto {= DEFORMATA STATICA ' F-= 20000µmol I pi ' " b- S- dati per l'area { = se ] J -2165 'Momento d'inerzia "" " " ' µ , d'area della sezione 3E] Tr o v o K = È → Key = Al = slotsldyn =/ lo -lindt (le -lo /= lf -lind Metto tutto in relazione di uno coordinato libero •Caso ✗ = Posizione assoluta della mossa in direzione verticale da molto scarico al --slot /lf -1.) = # +✗-o Al = ✗ "¥ Precarico tra la lunghezza indeformata e la lunghezza × di partenza [× → In questo caso Alo -o v9 • Caso g- Posizione assoluta della mossa in direzione verticale dall' equilibrio *0 Al = slot /la -e.) = solo +y SCRITTURA EQ . DI MOTO SISTEMI 1 GDL Due approcci per l'eq.di moto → Eq .dinamici ra "" " " → Lagrange %. È (Approccio energetico ) ottenuto dalla posizione Devo trovare il legame gi-gi , /9.9° ) - > Cerco yje-y.se (9) jk JACOBIANO → ig.pe = Y. s n / q l t l ) - - ◦ % " se ho Faith allora IÈ = ¥ .È il =/ 3¥ /ci yr.-- gr./9. ti → Ey ,= 3%-6*9 3) FORME ENERGETICHE IN 9 Definita mossa Energia cinetica | equivalente m# { { mesi :{ È:& / %FFi-f.my ); se "¥ 'Fanatico lineare allora % "=cost E. = ¥ "" ° 09 1 K-1 e non dipende da q 'ÈN DE DA 9 Definito smorzamento equivalente ✓* Funzione dissipata § , ride ? = ÈÈ r; /3¥42 = fr # 4) q ' se sente -lineare allora 2dL D= ¥ "" a = cost COMPONENTE LAGRANGIANA DELLE RIMANENTI SOLLECITAZIONI Energia potenziale lavoro virtuale ,ANNE Quadratici 27221 Che sviluppo di Ta y l o r : FK ) = fk.lt?f;-x.l+LI-.f.k-x.It...+nF%Ff.k-xd " 1° ordine Quadro attrazione flap )≈ fla ..A) + Flap . /a- ad + Estan HAH ... ftp.i.i.tl ≈ Hai . È ) + ¥1 ,.. IÌÌ .it?-l,..aoli-iA+!gh..aoli-fl.--sq---q-qocI=cij--j Esempio cosa -È≈ cosa .È -sin a.→◦(A-A) +cosa /a.→◦(È-Èo) " ≈ cosa ◦È Quadratici 2--222-1 Che 1) Forme quadratiche delle energie F-c. V. D 2) Linea rizzare componente lagrangiana 3) Applico Lagrange alle forme quadratiche •F-c.= È MINI quadratica in cj se m' (g) costante (Ta y l o r ordine 0) Ec,≈ 1mHz /È M¥91 =ÈÌ mi "FIFÌ → se y. s u / d lineare allora } cost j--1 K:1 _ DIPENDE pntlq )=cost DA 9 •D= { ✓*(9) È quadratica in & se ✓*(g) ≈ ✓(qo) Ec è quadratica Dqoi = ≤ v49 ./È g- 92 •V41 ≈ vuoi + ¥4.4 -9.1+13%1,4-9.12 ✓ >Te r m i n i cost comp lagrangiana Applico Lagrange ↓ /TÈ )- TÈ + , + È = mh !È + ◦ + HAI + Igh . + %!/g. g-= AH .tl K *= rigidezza generalizzata QYq.tl ≈ ☐ * Iqatlt 3*4.19-901 DIPENDE DA T → Anche questa è una rigidezza generalizzata K! M¥11.1 È + ✓ *(Hit ¥ . + HAI = È Hati +37*-1,7 ↓ SI ELIMINA CON ITERMINI COSI .COMP LAGRANGIANA in #(g) È + ✓* (g) È + 1k¥ -Keith g- = a*(go.tl Se kflt )=∅ ho un' eq .diff . di # ordine a Cock costanti Esempio ↓Fai E. = In /E ÀÌ + II. È = È /m È +Ja )È m.is ' Ems 3k ftp.?aI--lmE+H è & ,_~ ✓ = { K /slot lsina-lsin-ottmgl-zsindf-a-kldlotlsino-lsinodt.co sa -1mg È cosa Qa = -FL cosa (M¥+3 a) È + Klblotlsina _Lsinaollcosdtmg È cosa = - FAIL cosa K*generalizzata Quadrati citazione F-Q : Kalo K¥0 + mg È # = o se .= -1¥ " " ≈ NÉ :# la -al +13¥ /a. la .at In Lagrange sir ja = K /Lcos ? /Lcos tlblotls # testa )/-tesina )) - inglesina . È K [ cos' Ao -K -1¥ sina.mg#no---KL2cos2ao=k*QIt.Al=-FLcosd---F-llLcosAotFK- IL sina.la -ao ) (m È +Jo )È + Kltcosaoa = -Fallosa .+FAIL sina.la -ao ) (in ¥+3 /È+ (KÌCO 50 .-FAIL sina.la =-Fltllcosdo 2. SISTEMI VIBRANTI A 1 GDL k -> forze 1 T I M Flt .x-e-ë) bi campo I m s l - rrr ! Jr o l o sx - xix Eq moto : Fel = kx Eq . diff . del IIordine lineave coeff . costanti Fel Frtl Fr = re - smätretKx = Flt ) 5 Fi s s V Fi = mx Fr l jxixë Obiettivo . SOLUZIONE EQ . MOTO generale particolare associatalmätritke =o) mm omogenea xltlxxgIt ) txpIt ) completa Omogenea associata Tr a s c u v o lo smorzamento : mêtke =oMoro liberO non sMorzAzO - s mitritkx =o xHl = Xglt ) moro libero smorzazO - s mit ritke = Fit ) xple ) Moro forzazo Mozo libero : Interessa i 1 periods e la frequenza della vibrazine definita W =2 E -27 F vün FREQUENZA PROPRIA DEL SISTEMA : F .= moro liberO non smorzaTo MXtke =8-3 Wo = Em oI PULSAZIONE PROPRIA DEL SISZEM NON SMORtArO l zqwóloT Yo f t l e AcosIwot ) t Bsinluot )I vvr = Ci cosluat tet - FASE A t =8 s 1 ampienze mi + kx = 0 e" #o MIX.ch/tkX/e--- o IX. ✗1 Allora ✗ A) = Xieiw " + Xzèiw " ¥ > ↓. > ✗ a → ✗ (t)- Acoswot + Bsinwot =' Ccoslwotte ) Tr o v o A e. B considerando ✗ (a) = ×. e '✗ (a) = Ì. Moro libero non smorzarO poco Ta n t o s m o r z a m e n t e smorz . mätvxtKx = Ø w 7 soluzioe : xIt )= Xoett xitsXoe yt - iftladoett - s mptryak Hoettso ëlt )= kxoedt rIrlimk mPtrxtk =o-s de 2 = 2 zm W . nullo I l s =/ EnP - wo ' K positive regative =- Em * EmPEm rezle discrininante definisco smorzamenzo Critic 0 Ve r tale per cui S =0 mP - we =8 Vo r =2 mw . = 2 Km Defuisco FATZORE SMORZAMENTO he Er = Izmw . h =t FVersS =0 Casi : has - srarcr -- S3O hez - srever -s SxO tez --Em IT / EanFwe ? ma r -2 mhws - - hwot liwe ? - wo - hwot wo h ? - s ! dez -- hant wo hi -s CASO O Fo - theo -s tea - tiwo Pulsazine propria del sistema PARZE IMMAGINARIA CASO S : Veve r - shas î smorzato Wd xW . = DELLE RADICI to 2-- hws I wo h -L =- huot iws 1- h 2 vadici complesse coniugate in *- hwo tiwus ko twoiws It nwo - iws It = Ye e ' hwate iwsty Xze ' hwot e - iwst ert )= Ye e tyze I ehwot Izeiwstt Xzeiwst ) - s coscust A + Bsinwst = Ccostustze ) l thwot c cos whtte ) I - nwot e = e exponenzizle rm demodulail cosero CASO 2: r - vor h =s X 12=- hwo =- wo 2 radia veali negative coincidenti xit )= Xe etatt Xatedet : At Bt )e- wot öé Sistern che tendme a O uel minor H > to tempo possibile senza ibrorev CASO 3: rover -s has taa =- hwst hi -h w . 2 radics distinte reali negative = - as -- 22 ^ Te n d e ax in piútempo xft )= Xy e - astt Xze - azt y - tare Am -. Laso O ^ Alloumørn de @ tw @ I @ - - @Wy L 2 V i Coso - hwo Xe 2 T X - Wo @@@ * @ O z sRe xe Coso B r i l v - p V X 2 Wd Wo Caso L @ - Wo cosoo Metodi spevimentali per stima smorzamento L ) Decremento logarituico 2) forzante armonica Decremeto logaritnico ^ tz = ts + To iimts to te 7 Definisco I - In XE 2 Sperimentale Modello : xItl Cehwot cos wot tel - s I = ln CéhwotecosIwstztel = InIehwoTo ) = hwoTo CéhworthzllcoslwbltetToHteT To = 215 wo -- I = hw . 2 ws = hw . 2 I wntE -m 2 21 h Qs trascurable h = Ž spr r = Zhmw . ZTT forzanze armonica Metto in ammortizzatore in ma macchina diprova egliapplico un xft )= Xcoslr t ) - s Frere co X =- RXsmIst ) lfv @O Area sperimentale = ENERGIA DISSIPACa ettab - txvax = trax ? s x x x Aves sper . -> r = TRx ? ^ F Kx Considero anche la forza elastica F = FeltFr = Kx + Fr --7 3 x MOTO FOR A 7o k mätvétKx = FlEs i M pfouvier I m Fit ) lI Forzant :: costantic armriche - periodiche aeatorie r l > x SoluzineixCtJxxgltJxxplt ) Fortante costante Fit ) Fo d xlel = xotië =b da molla scarica Kxo = Fo -3 Xo = FOK DEFORMZ SCARICA xm s Inserisco ma nuova variable X =X- to ëfxë =ä mëtvetlele - xo ): Fo -3 mëtretke =o come moto libero Forzante armonica Pulsazione eccitazinne mIt ret Ke = Focoslata Jofase a t =8 Soluzioe : XHt )x Xoosfatze ) PARTE REAC DI FORZANe COUPESSA - s Meto do piú facile : Focosfratty )= IRelfoeilrttr ? ] XpIt ) = IRel XeikttelJ Prendo uno forzante complessa . ElEl = Foe ilrtar ): Focirteis B " mplesso I mätretkex = foeirt = Feirt XpIEl = Te i r t COMPESSA cm X = Xeie Eplt )= iß teirt ëpftl =- rteirt t - s- mr ł eirtt riRłeżrt ? K Ł eirtFoeire fmâtirktkJT = Es Fo I = = amplezza complessa f - maak ) tiar modulo mo X = Xeie x ? fase Modulo . Ixk Ifol fmrek { trr = lföl I =x kl ! co r =o-s KIro = rmtk = - Emmare ZONA L : QUASISZTICA -3 Simile a forza costante 1 F ? t - i - V0I Istata Ifo I II A s ZONA 2: RISONANzA - s Se Rawo ho grandissime Wo s ampiezze eaite ribrazini ZONA 3: SISUOGMAFICA -s Ampiezze basse Fase : e = Znom - kda f =o-s 4=- arcty foar mtre = j - oretg f rrm the ^ v =o Wo 10 za To l g o reg . mitke = Fo cosrt îz t - s xft )= Xcosfar tte ) per Rew . r roo - -IT v =o xlE )= Xtcoslrtaed per 2= wo jeb - s To r n a n d o alleq . ^ xft )= IRefXeirtJ o J = lel cos latte ) ,Wo ? f -Y z - -- - - -8 Se la F . é fosiniatij ) allora xrela IImlFeirtJ J - tT élälsisttel la fase bice che il massimo bella forzante no e ' in corrispondenza Nel massimo della risposta : Per 1 alte : CONCROFASE -3 Massimo forzante = minimo risposta Funzime di risposta in frequenza Fo -, FRF . risposta del sistema con forzante t = frmtrestinr ormnnica cnitaria FRF = E = tTIa 2)= t HT Fo frntrltirr H =lMleien tr Inserisco il parametro a : ? w. ' s so I zmwoh e CH S I . frxfeltivá 9 @ l sa -70 @ Folk = fe -22)- Ziah l 8ô LT = sk = E fo Funzime di trasferiment . HI 215 r .2) IL -a) +2 iah tra for tante e risposta armonica MItVetke = Fo coslorttJ ) - s xItl Ilcosfatze ) e = g - aretg imtse) elfur arctg f ta 2 simtrel éfãeist 7 Te i ß t jrtag îrtze erfögirtj J pre Basso frequenza Irexwel ^ fo 7 - - 7 x orety fntre 28- s Fortante e risposto smo infase 7 mo la for tante é Felt FrtEn ma Fel = KTpirt Fre rizteirt Fin -- msteirt Perció -s d Foeint A bassa frequezza 7 la forza elastica 7 Teërtk = Fel Gilancia la forzante Fv r 7 Lfim ^ Fo 7 2 ~ Wo - - orctgimtrel - arctgfreare ) =900 ux ) rFin ^ sfoeirt Finafel Fu In vismaza lavora s losmorzatore u Te i n t . p easowo oretgrinzie ) = eso ^ s Foeirt ? la forza diverzia Fin bilancia la forzante s L vFv Te i r t . K = Fel forzanti periodicKe ^ To Sviluppo in serie d Fourier come somma di funzion ormoriche con MÜïiï "ï frequenza multipla di quella fondamentale oo rmodulo rfase FlEl Ffor Fucosinrotard ? cm ro : ?* o - s Fu = Fueitn - inhot FuaEoÜFtse ot - sMitretKe=FrtlaFot Ş uzFucosInMottJuJ " fot Fa cos / rot + jult EcosIa rottja ) t ... of ternin Fe Faciratzas studio la rispoto deesing mn sorrapposizine efetti Xftl = Yo t kKeIcoslrotzeeJxlXzIcoslZrotteal - s Iu generale : xftl Xot åns IXulcosinootten ) con Tu a k n l e i e n Ora devo moltiplicare tutte le for tanti per HI 2I Fn - sI 1 Hr -. In cn Fna IFuleien . Xn -lknleien In - H . Fn E ? lEnkIHIlfuler Hleien . IEuletin eatyn ju ^ i i IFl Esempio ixl 1, l + O y î >=2 ^ î ' 2 IHI ^ ro 2 ro hoo Q 11 0 ^ sz ii "y" Modulo accelerazione : Knk slxul ^ lacd p risonanza MÜls jetred Tr a r e u t e 7 Fattore di amplificazine dinanica Fo t =frinarestivr - s A +) Estaf * ore ît ^ A r s ~ ^ Ą sz STABILITÀ E CAMPIDI FOREE U campodi forza í N rn Eqmoto : mëtretKx - FleJtFlxëië ) - m -- jflejtFlxxië ) r J di solito Flxxë ) non lineare - r r lincarizzazione Il Posizine di equilibrio : Xo . Ko =0. Xo =8. Frt 1 eo - s Kx .= Flxooo ) Nuova coordinato rispetto alla variazine di equilibric X =X- Xo : ë = xtë =x - Kf - rn - MF 2) Linearizzo : Fletë ) a Fleeooly aE axkaokx .), æfxleoolkxiltPfëkookël MITretkey - FEa Fkood - Hrt - Ke - matJu mëtrethx = Flts - Ket - veë - meë lmamalëtIvtvejetIKtKfE - FIE ) - s Modifica dee coefficienti Kir .m del sistema mtëtkEtKtx = Flt ) Se rtrfe 8- a Iustabilità KtKFx 8- s Instabilità Omogenea associata : Meët Ve e t ke t =8 - MeItrt + ke =o eq . carazzeristica dez =. F zmy Ifame ? . Km , 1 Fumagmnaria - stluozian w Reale -. Sstabilitó Cosi : re 5o. Ke 50. S 58 Vto - Dissipativo keso - reso L ) xßtJ koixo Js =- vs ^ Se lo perturbo tende o 8 La ) sto : d 2=-22 @@ Asintoticomente stabile sovrasuorzaTO st AB ) S =o- dez =- wo ^ smorz . critico r s Asintoticamente stabile ^ IC ) ssoider -- aliwd Mun Asintoticamente stabile sorrosmorzaro cn oscillazine 2) KE =8. VE 7O te 2=- BITS co ß =- VEzme S = IEme ? . KEmE -1 138 mo siccome Bßl erts allora te = an . d 2=- 22 REALI - azt ->8 @ xft )= Apazt tße divergenza stazica ( ooo st INSZaBICE : lax nel tempo tede o oo Ve 8. Instabilità LJKts 8. VtxO tez -. VEzmetIEzmz ) ? . mz Eft ) ^ LA ) 570 - o Par te rede 3 b i 4," te - on t 2z aa - s xft )= Ae ~ ty Beazt 7 reali Posizive t Pert che someto tade a to -s Divergenza statica e fustabilità LB ) s 8 = MeEj Juz = ta ziw will s t IIEJ = extlAcoswttBsinwtJ SOLUZIONE ESPANSIVA OSCILLANZE eføs 2) ve =o. Ke =o ^ î 8 . tea = j -0% t 22 ErE ): Aexit - Be azt Divergenza staticae instabilità " t conclusinne tez =3 PA R Z E LMMAGINARLA -s Se esiste ho sistema oscillante =3 PAR T E REALE - Informazion su stabilità IRely Ix 0 V . 2) SISTEMA SABICE : Asintoticamate stobile oscillante dez -- afiw . .Asintoticamente stabile - smorz critice X 1z =- wo .Asintoticamate stabilesorrasmorzato te - as da =- az 2) IReftiJso per almeo un i - SISTEMA INSABIE : Divergenza statica te - Bs dz = ßz Espansiva oscillante dez = tBIiw l 3) VE =O MIXtKe =8- s dez : IReftez ] =0 ur I = Iiwo stabIe nou asintoticAmeNtE LIAPUNOV se il sistema lincarizzato é stabile - s il sistema reale é stabile per piccole Profilo dore oscillazio Z -> F =U. 25 az pensitá Ls viscositó diwanica : l = p 2- suviscositó vovttttkfdtrwwz cinematica Eæevo --) @p Å Bordo î î r p r P Pressioe - 6 43-3-17 7" diatacco Integrado ottergo ma risultante foere applicata in un pusto di p pressioe - Cosidero il baricentre del profilo alove . Viel del verto efe uife pMa ditrasporto Sposto le forze d pressioe sul baricentro .1 ) CY- - - - -- - - - - ! I E = Ep Ve e . S . Cural S = DL Ed draG superficie Angdodi Fo = EpVree . S . Cora ) inciderza corda delída Ma = EpVetS . Cula ). D Profilo aore flessimae - modello CD . rL il sezime medalopportunax r velociti del fluido visto da profilo i --- --- - woro m -- - ---- rri BkrY + ifn I 7 trel krn y a } 4 =... tga = * vo Vo l u t o leffetto delle forze aerodinawche sull equazinne lincarizzata Eq moto lho grav .) direzione verticae mätretkx = ficosa - Fosina L ) Pos eq . KX .= Ficosoo - Fysinao Ma IV - tgro - sno =d Kx .= F 2= O perche Clbk 8 -> Xo = 0 2) Linearizzo sulla pos . Di en . Ecosa - Fosina : EpVrees cura ) cosa - Fasinz cosars Jcnearizzati ma sinaia tgr = froãa Ve x V ~~ Voo lincarizzo coefficiente di cze Co 8 KL çlolmçraoltØçlalaakaçaçokır Cola ) a Coloolt facolafa -a 1: co . 3) Eq . lincorizzata Vô Dkm . U .* ro Ir metritue = Ecosn - Fpsino WE - fua ho FizEpUrd Scifo )- EpDLeV fa = epvõscdo -" chiamo F IEpVOS i IKe - coo ) CdosØKçxd mëtit jetke = qçpVoslo - kél V ' effetto del profilo alare é 'm' aggunta di smorzamento ls 38 3. SISTEMI VIBRANTI A N GDL - I vettore delle coordinae libere . alDeternino s 9 -- N- I - J 2) scrivo le forme energetiche in coordinate 9 D Pi o Fisiche fVo .w. se . ha . se . sfyp ) Hll a\\\ 3) Introduco : legomi cinematio 4) Applicare lagrange løøfoEgl - faEaqJtfaçJtfaDqJeq Te n s o r e dinerzia Il En . cinetica in coord . fisiche ri rispetto ggli assicoordinati Ec = Ş j , Ec ; on Egj = ę msråx ę WçfJgJus .. * e W = Wxs JJçJ = Joe Jaty Joen Jaye Jagy Jag . JProvotti fimeuzis Jae = fpry ?? Jov - j Wys Jaxy =- dipxyov Wz 's Jozx Jozy Jyzz . In assi principali dinerzia ( Ju } dienta diagonAle - sEcj =EMjNoxjtVoggtVozjJxEJgxjWjxEJGjwjEJgjwjtsys +7 + ijmj vat voswe ? IMslyfanesasesassa ) FaFes - EBIJT IMsljw . Wy ; Wzs - EczŽjzEcs = ę gmfMJijm om ijux fgigmn .) lusafrue ? ... Sm ? Jamencon . Gucxs 2) legani cinematio ligmeig ) Jacoliao di qmzqnIq ) P massa gradvierte - s Gelyulgl .0 t= 299 -( )- î - s - fAmIq )J.à Elel ? feltermntul miternnntu ) -/ e )-fy .. 51sxn se ..' brn z .) jhtlAwlqDJÅ - sgmTtqTfAmioBsEctEälAmiqdlmJlamiiJq EczŞŞuİlmJym lMqJ 3) Riscrivo an cinetica eapplico lagrange - s Ec =E ? ' IM . 3%? 191 a = extfhje = eanfhjes 2 A aI = 2 afat 21 aIß -3 27 axp = ExåfLJ ãfp = Bil ę äTIM ,låkllM,T siccome éscalare a alova A =/ IâIHJesP - sA = blb ' shJI 2- sa 7 snElåfHJ * efaecglällmiqbtëteelmseqdj Cosiderando HH 3 simmetrica lH 3= fr 32) 2 f ax = IT /H] = älmoJtälèqs lffaeel '= imoahim ,];= vezzore colonna - - Hen uxe uxn nxs . q=RqIGQYIMLIL -. E ..... Fu ) vettare grodente solo MMq 3 bipende - IE ? GIMgI ? ..... E ? ' BoulMp ? ] do ? a q )': vettore colonna D =çêvjslj k = Esev (R} se cn se = pe , ; èm ! ( B )= I ": r ..] II - sel . - fAr ] ? en lar ) ase -. d= e ğ farterjlanJq -e ?? eril ? qj = era ] ? KEEYzKjslj + Ş imjghj = EsE / KJsetI 'I taçqJ '= QutQp energia energia elastica gravizazionace ec *l= ş êFjfyéè -sqzkj Equazine lagrange completa IMJI + IM .] ? TIRIT QRTQRIQ NON LINEARE PERCUE ? IMOJ DIPENDE DA 9 Lincarizzazine Ipotizzo : 1= qIq ) aQfEI I ) Colcolo la pos . eq . 1 o -- g .9=8. QHl =8 Ir I9 ot QpIq .) = QII .) - s Ricavo 1. 2) Quadraticizzazine - s valuto le forme quadraticle dell ' evergia ec = ejIlm ] åeeëlm]] ? d = eierb := E %/RIQD ; Vra goa ) - Wg l a Vrault of aplplq -q -1+ 10% oplplqq . ! -, Matrice essiona Vingo ) - VqlaViqb . ææløløqltklqgpfåçlakaø nir gradieste ofogilp : oV opon : = Ik *] fãv qla )= i i aW - oquagelq . .. 200 ogpl ], simmetrica - jaqJ : hJa / rejlqqel 3) Lagrange ( Componente Lagrangiona si linearizza ) MahëtlRolqhltfaqkJtekøJlqql - ø ha ø llaa ø el i TERMINI CHE ALC EQUILIBRIO SI SEMPLIFICANO Mhg . Dät lRolqB ? tlkhJlqq )1 Jqqltqrtı SISZEMA A 2 GDL LINEARE F 2 7 ofas rt ) Servono 2 coord . libere xeexz V Ky t > Kz K 3 I I V ms -- N- Mz - HE keoe xzo =8 V o - r N Loxs Lsxa EczęmzWoâtęmzVoź = ę mrxit ę mzx ź ? Ale = xs vçusslîtfKzSlztlKzSls Slz = Xz - XL Sl 3 = -X 3 èkkexêtkKzlkzxPxkÜsxê el *= Fslelskxe + flels * xa HIOE ziel -E zet 2 F 24 = EH I maëst Kexe - Kalz - tal = F 2 rE ) LfIaE )- tJFa = sE * zLmzxztHsxztHzKz - xaJ = FzrtJ l meëetxslKetKzJ - Kzxz = FzltJ I in forma matriciae DIVENZ JMzEzxxHztxzlKztHskErtI La simmetria delle matrici ! J :} tl je ]- jeeer me 8 m, ketkle - te uz kettln } é da verificare SIMMETRIC SIMMETRICA IUJETIKJI = EIE ) SISZEMA ACCOPPIATO In RIGIDEZZA K 2 exe compsion in entrambe le ) equazini j SISIEMA DISACCOPPIATO IN MASSA fL eXz comprine rispettivaneste solo vello prima esecondo eq . equazione omogeneA associaZA Moto libero no smorzato lMJëtfkJx =b } -. PPCM 3+ CkJ ) Xett =8 cm ette 8 It 8 sol . bande Iltl fett flmJtCkJxb - s det ( P/ UJ + IK ]18 altra possibile soluzine ll ru 3 afme m mzs ma ) ( he ]a fhee te kee kea ) " det If tmetkee Imethle Fmetke Kmth =8 e lPmetKeallBmaztHzzJ - lmeztHezIlPmzstKzJ = Ø - AX '+ Bf +C =8 equazione Biquadratica 2 - BIBLAC Se IM 3I 22 summetriche : Y 1 tE ? - WE ? Y ? :- WIP Z PULSAZIONT Soluzine : XI .I = proprie 2 A te 3- IiWe Ya n = IiWi Miricaro I 'I-WIIMI- IRJ ) I 'F ? 8 - X'f' amplezza a frequenza Wf fweemjterjjxflo - s Modi d vibrare s ' modo lwa ). I 'f' aftêxaiJ I )- we mat hre IE .F '+ F- WemeztHea ) X.F 1= o lincarmente zlf -wEmktHaDEAxf-wåMzatKezlX ? F ? oI detI .A ]) =8- a dipendenti - s Smo la stessa equazine perció he posso sceglieve ma We mest Ur ) EsF 't f - WåmeztKea ) X 2F )=8 Un ' equazine a 2 incognite - s no la risolvo ma posso trovare I rapporto téÁxs =- - WEM 12 tUR = MF RappORTO CarzERISTICO - WI Mest Kis I '' s fetbrasJafe ? J - s xe = ufxáe L . Pulsazione We 2' modo . fwelmJalkJllfleo -- WEMxtkeelxéFlxfwêmeztHralXá * ? = o IIwi ? ... Ee ' ELII ) = MIF 1 -1 IE =/ Xe '' xiiJ - fUE ) Tr o v o le soluzion co le condizion iniziali 11.3 = I NWI X ' ø s - - --> J 2. n= I NWII III ) Ift ) Iedt a anI F ' eiwat t ay '" - iwat , as I 'I' ę iwaty an X '' e- iwit e imodo 20 modo - Irt ) ( I '' cosIwattelt G . I " costWittei ) h incognite - smi servono h codizion iniziai lpos . evel . delle due masse ) xeft =o) Xho Ta l t e o a x e . Xaltro ) ay 2o Xilt = el = Xåo Ift )= Ehey CrE 'k ! coslurtt er ) co 2 n condizion iniziai Esempio EHH -- HE uo luJ = Ime om ) IrJ = far - kar ] CF . kk klsxe Lixz Ipotizzo : I 'f'a fet deraiJ- fetJ =/ GJ - s teo =y2o forzo il sistema ad masola frequenza Mez =8 Uez =- k - K k ME .WeMaztker ma Mi =M Ui =2 K -3 MF =-- WEMIZK =- WEMTZK L WEMesHeL il k z - - s WE = Wm -. KEmmtzk k = L analogamente WI =3 m Moto libero smorzato lmJëtfrJetIkJx =o xrtl fett - s B 1 IM 3+ XIRJ + IkJ ) lextsq -- DetIPMJ + IR 3+ IkJ )= o Ottergo Ax ' tBP 't CC + DXIE =O Ho h soluzio Se ruJ . IRJ .K] simmetriche . def positive . sistema sottosmorzato - s Ho radics complesse cmnigate di due in due X 13=- QFF IWE X 2.4=- QII IWII têcmjhxslRJ + lKTlx=8 attm : dz Yu m s x k 8 @ $ aWE WIT IRe P 2 II PLII Anche I .e I '" coiugati come I .e X " oXu P 3 Posso fare il rapporto caralteristice - s 1 } - comgly ) X 's I "= comngle "/ I '' s complecsi Mo : I +' fu ) I -s complesse - MF= luF / eiYf eM = luFleitz Soluzione : Ilt ) - as X ." edt t ... . Jn Ietat ) ma I '' fuTJ = plutlei 4e J aggingo responaziade negativo We r t ) - cr xc 1u"y eat a cosIwatt ea +4=) ait CosIWit tCa + 41) - ait Ixart )- c 25. cos . cosio witteil att eal modol Modo z 1 4 s l tz mym st ww > Motoforzato Fecoslatajel lmJëtIRJétTkJe = EIt = Eçoslattfe ) In complessi . Efth - s Eft ) = Feint cn Fo =Y Feeith Fzeirz Soluzine : Irt ) = Ieirt QBU ] tiRIRI + IKJ Heirt - FocirtI f =frzmjhirerjalkjjjfò No n Fo .... Tt f -- I MJM , 2 zme di rismanzo an wa uitMNa l WI stabilità lmJetIRJetIkJe = qehtqreë ) - b. IuJxo = qkad ? Io = IKJTQlo . QI ) 2 Qrtht QlIo .I.I) Ielenle -a .) - pale /k -] t jaljf -) forma quadmatica PJ =/ ... O 1 84...20 I VIe )= VeD + aalele -e .) t ę le - epJåwhelk -e ? "..-. f .= a )=-"ale .+le -e .)/ ae ? k .] B =J '= peleItfeexleJe - es F -IkL X kannumin çup - peële ] ëtperayeele ]) etfeR ? - I ]) I= qA lMt ] fre } lke } stabilità : Refltil ) e ø I = deilt j lTlMiJtxlReJtlksJ ) xext -o Zgdl det /H3 =8- s X 1 . Ngdl : Problema outovalori - autoveltori Definisco veltore delle voriabili di stato cn E - fEI veltore stato derivato z = fe ] - Matrice di stato laj métvitkx = Ø l ë =- Eni - Vmx l *J= ljfl = CAlE lé =è SISZEM IN FORMA DI stato Soluzine eq . di stato : EIt )= Eelt IIE )= Elert = la ) zett Matlab ID ) eigial - autoralore lAJE = XELautovettore Iv ) = matrice autorettori ID ) = diagnade : Ite ...%. ? (Mi ] + (Rite + [K .]≤ = ¢ / = - (M >l' INE - [MILK }≥ lei -- (III /¨ (ÈI E- È :| /¨ ( Mitri -MÌ e =/ A) ± hxn nxn [Il 10 ] non v'×" 2h ✗2h con : (V. D) = liga ) - > ottengo In autovalori tu e tu = - antiche Pulsazioni proprie : In /dita )) stabilita ': tre /ti /A) le ∅ Vi -1 ...-In RIDUZIONE VIBRAZIONI 11×-1 enigmi , 19dL E i efar.focosrtmiitvitk-OX-fsimtkli.in m Wo 33 Hz >^ ✓ 44 " " il "" riduzione : 1) Aumento smorzamento 2) Cambio K 3) Riduca le sorgenti della vibrazione → Quale forza genera la vibrazione 4) Assorbitore dinamico ( Tu n e d vibration absorber ) ✗2 ma Tu n e d mass damper tua ¥" nfocosrt Passo da 1 a 2 gdl È in -% % ×,/ =/ Foeirt " LÌ ? [ HÈ .lt/::I/ / + ( """ " µ " • I E- 1- intimistici ) " / %) è ' i ^ " " anse : i i i • > , i 1 i > a w. s e ×i > a È La massa ma vibra per attutire la vibrazione della massa in → Compensazione della forza Fo i i > I µ / " " + """ "" " "" " " "" " " a lm ≥ + "¥ ✗2- ∅ è,= :[ è cosrt ma Éric .sn/t-Fcs/rt-- ∅ d. =È , prendo poca massa solitamente TMD Ho anche un v2 Abbasso i picchi ma non ho ampiezza ∅ in R " ≤ = (E) 1 = È .9, + È -g. = ≤ È .9N '→ coord .modali * = (Hq e = HEI → (timing . + (timing = (ti Eei " DIAGONALE DIAGONALE ANNI A = Mating (Àvila ]-- lkqti , HÙRIN =/ Noi , → Ve ro se IR ] combinazione lineare di IMI e [K]: (R]= alm ]talk ] MATRICE DI SMORZAMENTO DI RAYLEIGH ? [ " m.tl?;.I+Fu..Il:I=l:::I:Iei:f.r:Iei " Ho due forze sulle coordinate modali → Diagonali reazione delle matrici → Due equazioni in due incognite / Mie % + Un 91 = Fa ,eirt | Ma cjztkzzqz = f-« eirt Due sistemi a 19dL invece di un sistema a 2gal 1) ortogonalità di vettori in senso stretto : VII. = ∅ 2) Ortogonalità di vettori in senso lato rispetto a matrice la ] : vi (A) 11 = ¢ "¥ è mi ' = ∅ 3) Ortogonalità matrici in senso stretto : (G) ' (G) = (I] 4) Ortogonalità matrici in senso lato : (GÌIAIIG /=/ D) dng Dimostrazione IMIIK ]- > % → È " (Hrithik -- ∅ ti . -wi → E '" ti = -cui 1- w :( MINNIE :$ mi ÌÌMI È = ÈÌK ]è → cnn.gs ) > =p > (A) è 1- w:( MINNIE → w; ÈIMII ! Èin ]è → wi ÈÌMIÈ = ÈÌKIÉ ← Tu t t a trasposta w; ÈIMII : èÈè → wiener -_ ai ÈÌM ]è Caso in cui : Ws =/ wr o ✓=/ s → È > (m ] è ≠ ∅ atonalità in senso lato 5- r → È IMIÈ = Mss =/ ∅ → Mss e mrr Quando scrivo : ANNA ] = (XIÈÌIM ](È .È ] Se i pedia dei modi che moltiplico sono uguali ho un ms ; se no ho ∅ → Esci " → mecistksqs = Fasci " wi-FI Maja tkz 92 = Fazli " Wz = FÉ ? Domanda da esame : W± # = Usa sono uguali perché la frequenza propria è una proprietà del sistema e non dipende dalle variabili risposta 1 : Mj , J, + Kj ,9, = Fj,è " con 9.>= Q. s .c i " i Q ,= È /01011 ; /Qzo /1 I -simjjtkjj i i i i i WI 'a w; % in coord .originali E- It ]? = È I' 9;= È,È @soci ? Iei " = [¥ /eirt ' ± ✗n= § ✗È .Qjo → ✗1= § XÉQ ;o=µs 1° gol - s ✗ 1--11101101-112020 ✗a= § È Qjo =L è gdl ^ Con WI e ne posso estrarre V11 .mu V22 ,MA ✗ 1 1×21 ①10µL ① 20 Nz We Wiz 'a 4. CONTROLLO Pongono forzate tale per cui lfln a ° ° o ◦ o >r ' fra 1 Ho tante freq . proprie 1 µU Sapendo Rnx ,prendo imodi che , rispondono alla forzate ora ,Wa i t s < 1 se > >se moltiplico la spa 2 WA Wa V3 , Un WS WG La risposta è data dai modi che sono sotto Zrmsx TRASFORMATA DI LAPLACE Tr a s f o r m a funzioni a variabili vedi in funz . a variabile complessa fa )- > FA con 5- ortiw t≥o e fitto per C-≤∅ co Fist Solfiti ]= [ flt ).e- "dt CAPACE 1 +• Tr a s f o r m a t a di Fourier : FM )= E- [ • fitte -init Esempio : funzione scalino ascolti f-Al = scale ) / 1 te e lo E- o ◦ > t co co Fisk [ scdtie-stdt-o-fte-stdt.ffe.tl?--o-(-1-s)=1s O Scott )- >% sinlwt ) - s Ftw Proprietà : Ffs ) = Lift )] 1) ftp.fitb-kfls ) 2) I /fitti .fr/tD--Fdsl+Fls ) card 3) LIÌIT )) = sfis ) - Flo ) in = SXIS ) - iniziale d) Iii /ti ]= s' Fls )- stro )- Flo ) → miitrritkx = Fit ) mi s' ✗ Is)-sxlo )- ilo ))+ ✓ (Sks )-✗ lol ) + KX (s)- Fis ) con ilo ) = ✗ (a) = ∅ → (msitrstk ) ✗ b) = Ffs ) ANCHE IN LINEARIZZAZIONE Pol 2º grado Funzione di trasferimento : Gts )= %÷Ì 1 zeri = radici del num " " = = - poli = radici del don poli del sist = " d'" del 9 """ MI trstk autovalori nast .stato FDT Armonico : 1 simile ma se è reale mentre ✗ = % sei complessa ↓ -simtinrrtk → È -simtirrtk amp .complesso CONTROLLO - Controllo di velocità Motore : eMin-Min Min-Min (Rm ,y) g- grandezza di regolazione : i Mr = Mr (Rr , Z) 2-=grandezza del carico i i>rm 100° 5000 1mm Mm = A -Bdm cambiando V , cambia la curva In corrente continua Condizione tipica o regime 1 U Se cambia qualcosa su motore o utilizzatore • cambiano le curve , avrà nuove velocita ' angolari ↑ I di regime ' M i > Vo g l i o un sistema di controllo che non alteri la velocità da logiche di controllo : Anello aperto Anello chiuso ANELLO APERTO STIMA --- - -fytfr DISTURBO Ruf ✓ → CTRL - > puntate Mm → SIST → 1 Anello aperto :NON HO MODO DI MISURARE controllo accelerazione LA VELOCITÀ SENZA ANELLO APERTO DISPOSITIVO FISICO EHE CAMBIA CONTACHILOMETRI LA COPPIA → Posso però stimare il carico in condizioni nominali ANELLO Chiuso - >Misura la velocita ' NODO DI DERIVAZIONE NODO somma >ore ↓ tu a Duff Mm → + > CTRL AT I U AT . - > SISTEMA • > ← RETROAZIONE SENSORE FEEDBACK Misuro la R con un sensore e la confronto con quella di riferimento . Il nodo seminatore modifica la 1 Somma la Arif e sottrae la r → Cr - Ruf -1 → Il controllore lavora sull' errore Procedimento : 1) F-g. moto 2) Stabilita ' 3) Prontezza 4) Errore a regime 1) F-g. moto 2. Mm -Tm r =/ piu + ÉJR )cin D- ☒ - Et [| considero Rose -1 Jm ↓ sr MI u Mm -Mr - (Jmisvhim Hit " . Ln 5=1+1 Mm /d- Y)- Mr laz ) = J.si , n Eg .dit .non lineare ! > lo Posso studiare la condizione di regime (so ,Ya z .) Mm /do ,yo )- Mr /lazo )= ¢ → Linea ritto intorno alla condizione di regime per poter studiare stabilità ,prontezza e errore Linearizzazione : da * I 1 Mmm .g) ≈ mmnay.LI#a.y.lr.r.)t3Yh..y.ly-yi Km kg Mrlrz )≈ Mr Haz .lt?j/r..y.H-ro)+3%1a.z.(z-z .) Kr ha kz AZ Sostituisco nell' eq . di moto Mulroy .) - Mr /lazo )+1km - kvlsrtkysy - Kzsz =] si ÀR = si = ∅ a regine Jia + (Kr -kun ) al = Kydy -tlzbz → EQ .LINEANIZZATA DELLE PERTURBAZIONI DRAKAR .IT )+ drplt ) Stabilità → Studio omogeneo associato Jin + ( krtknldr-0-s-t.ae#+lkr-kmIAeY=olJttlku-knHA-- ∅ → A- ∅ BANALE argilla Aett I= KYI STABIESE ) f- KYI (Kr -kun )B- kgdyo Arpal =cost -B (Kr -kun )D= - kzsz.kz D= KI syo costante perché agiti B=- a. penato kv -km = by .scorti costante errore di regime errore di stati sino -> %÷ "¥ % : 1