Aerospace Engineering - Meccanica Aerospaziale

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Meccanica Aerospaziale Prova scritta del 12 febbraio 2020 Tempo a disposizione:150′ Il punteggio massimo attribuibile a ciascuna domanda `e ind icato in parentesi quadrata Esercizio 1 In un piano verticale, un disco omogeneo di rag- O B AC D m, 4R Gm, R θ k y x gioRe massamrotola senza strisciare sul lato in- feriore di una lamina omogenea quadrata di lato l= 4Re massam, vincolata in A e B a scorrere lungo una guida verticale liscia. Una molla di co- stante elasticakcollega il centro G del disco con un punto fisso O posto sopra il punto medio del lato BC della lamina. Utilizzando come coordinate libere le coordinate car- tesianex Ge y Gdel disco, 1. Scrivere l’energia cinetica e il potenziale del sistema [4] 2. Scrivere le equazioni di Lagrange e risolverlecon la condizione inizialex(0) = 4R,y(0) = 5R, ˙x(0) = ˙y(0) = 0. [4] 3. Disegnare il diagramma di corpo libero delsistema [3] 4. Nelle condizioni del punto 2, determinarein funzione del tempo le reazioni vincolari scambiate tra il disco e la lamina. [5] Esercizio 2 Nel sistema rappresentato nella Figura 2, una piattaforma circolare di raggioRe massaM ha il proprio centroOfissato a terra, mediante una cerniera piana che ne mantiene l’asse di rotazione parallelo alla verticale. Un paletto di massa trascurabile `e saldato ortogonalmente alla piattaforma, nel centroOdi questa. Due identiche aste omogenee, di lunghezzaRe massa m, sono fissate ad un estremo in un puntoAdel paletto, posto ad una quota constantehal di sopra diO. Le due aste sono fissate al paletto mediante una cerniera piana che vincola la loro rotazione relativa alla piattaforma ad un piano verticale,solidale con la piattaforma e passante perO. Assumendo che durante il moto le aste formino un identico angoloφcon la verticale (si veda la Figura 2): 1. Scrivere le espressioni delle velocit`a angolari della piattaforma e delle aste in funzione degli angoliθeφ, rispettivamente associati alla rotazione della piattaforma ed alla rotazione delle aste nel piano solidale con la piattaforma [2]. 2. Scrivere l’espressione della funzione di Lagrange del sistema, utilizzando gli angoliθeφ descritti sopra. [6] 3. Scrivere le equazioni di Lagrange del sistema. [3] 4. Utilizzando le equazioni di Lagrange ottenute al punto (3), studiare le soluzioni in cui ˙ θ(t) =ω 0e φ(t) =φ 0(con ω 0e φ 0costanti) ed ottenere la relazione che deve sussistere fraω 0e φ 0. [5] m,R m,R φφ A B C M,Rθ O Figura 1: Esercizio 2 ZR O piano verticale c è i lamina quadrata m.GR disco omogeneo m R Btp c m GR carrelli in A B i puro rotolamento int Quesiti Alla tl 1 energia cinetica e potenziale a te G m R sistema 2 Equazioni di Lagrange e risolvere per c i a GR y a 512 3 Diagramma corpo libero 4 Reazioni in tt Analisicinematica i gole 2 xqygcoord.li bene lancia moto traslatorio con Ia area realta I disco Io io It io Lui Òe impongo puro rot in tl IN In dove IHI io I It Io t can CH G ioi.tn oItOerfRI xjtOR ityoI tir ity.gs i tiro È È E È e F Te t t o dove 2 TE 1 mio 2 t Invite ai.fm ÉTÉ ternari famigli.fm finite zmxftf my.fi 2 t.fm mio µ µ molla peso dove V KICK 2 YE trascuro f K XI 4 Rx the trascuro yes mgyg mgcyg 3 is 2mgYg kxf 2KRXgtfkyf 2 me Yg 2 Le T V È mio tmyf fkxfi 2KRxg tzkyftzmgyo.EE II o dove II f mio II kxgi zv.tl mio kg 2kt Noto che è già di saccoppiata posso integrare IIm 4kt definisco cut 2h3m 3M soluzione generale Xo A coscnttbsincnti 2 tt impongo c i a A 212 4 R A 212 i Ct ma sincutturbescent Ido 0 13 0 x f 2Rfa.net 1 7 Ezio dove ftp 2myo III Kyo 2mg 2mi Kyo 2mg kgm yo of definisco certezza soluzione generale yoctkccosuqttdsinwy.tt 2M impongo ai Yo C 2M 5 R c 5R 2m gkjoltk ueycsinuyttuydcos.net Yo l o 0 D O yoctt 5Reo.net 2M 1 campo 3 B C Va 3 Emi t.tt Ha mq H 6 fa A ja D Ha v my 4h t d.is y de DI E pied dove Q m Io mio It in I RI mogi K ZR Kyo RI Hai tra I mio K t 2 KR Ha my Kyo ht Ha mio K 2kt Va mio Kyo mg ma x de 2 cn sinwyt iig 2mfReoouyt 4kRcawt 3M io f 5 nyrsinueyt 2mjueysinmyti.io e srmfcos.nu tt2mo cnfcoocnyt 5 KRcoomytxqcooueyt2in the I KRcas.net 3 Un KRcoomyt.mg 1 cascine piattaforma M R nei aste Cm R cerniera piana in A A m R.im R cerniera piana in 0 c ti me l'if i e p III lista i l i i i sollecitazione interna i i Gon specificata e er Questi 1 velocità angolani a Funzione di Lagrange Eq di Lagrange 4 Imporre Ò me cost D e a trovare legame tra moe Ip Ò Ea near la È eo Ela È tolo a T V Energia cinetica F Tft tabi Ta e t 2T piattaforma T MIE È asta AB Ta f creato Ifans Gp nek ce lo calcolo in eo ed L i di AI È è p es AB m 3 Ed CIB celate Òe È la ma eri coolest simply IAB È cafes ideo tosino Ed PAB gag LAB ta I ai patti BÈqÉ Èra L infortunio t.fm mRIo7mgIio2sin2p testa peso ac z peso AB dove vpeso.tt mgyg mg h Rzcoso k.mg Read L t kfmritxmg.IO mfIotinftmgReoof D ÉLITE o dove II fritto Impedito ftp fm Eiti 2jmRiosinYtGmRoo sino easy DI O O Imitò Imitò sino Impietosirono 0 ÉLITE dove al jenny ftp.zjmtiosinoooo mgRsino zjmRI 2jmros.no caftmgRsinf 0 4 Impongo cu cost e Che cost Dalla equazione ottengo zjynptm.si cosofxm gRsino o notte