Aerospace Engineering - Calcolo Numerico ed Elementi di Analisi

Full exam

Test – 50pt – 1h – CN AER 23/06/20 1—2pt Si determini la distanza assoluta minima tra un numero positivo x2F(2,4,3,4) equelloimmediatamentesuccessivo. 27=0 .0078125 2—3pt Sia dato un sistema lineare Ax= b,dove A = 2 4 42 8 21 8 20 1 3 5eb=(128) T. Si risolva il sistema tramite il metodo della fattorizzazione LU con pivoting per righe. Si riportino gli elementi l21 =( L)21 eu33 =( U)33 dei fattori Led U della matrice pe r m u t a ta elasecondacomponente y2del vettore ausiliario yassociato alla soluzione del sistema triangolare inferiore che compare durante l’applicazione del metodo. l21 = 1 2 u33 =12 y2= 15 2 3—3pt Si consideri il metodo di Richardson stazionario precondizionato per risolvere il sistema lineare Ax= b,dove A = 2 4 8 10 15 1 0 12 3 5eb=(111) T.Postoil precondizionatore P = 2 4 600 050 004 3 5, si calcoli il valore ottimale del parametro ↵opt 2 R e lo si utilizzi per determinare l’iterata x(4) 2 R3del metodo usando opportunamente la funzione Matlab rrichardson.m eavendoscelto x(0) = 0.Si riporti x(4). (0.161628 0 .349156 0 .615368) T 1 4—3pt Sia data una matrice A= 2 4 8 5 5123 38 3 5dipendente da un parametro 2R. Si determinino i valori di tale parametro 2Rtali per cui la matrice Aammette un’unica fattorizzazione di Cholesky. 7.7995 1tale per cui la convergenza del metodo delle iterazioni di punto fisso ad ↵`e garantita per ogni iterata iniziale x(0) 2[1,b]. log(2) /2+1 = 1 .34657359 9—3pt Il metodo delle secanti approssima lo zero ↵di una funzione f(x)applicandola seguente iterata: x(k+1) =x(k) f(x(k)) qk per k0, dati x(0),q0eqk= f(x(k))f(x(k1)) x(k)x(k1) per k 1. Posti f(x)=log ✓x3 4 ◆ , x(0) =6e q0= 4, si riporti il valore dell’iterata x(3) ottenuta applicando il metodo. 6.98458301 10 — 2 pt Si consideri la funzione f(x)=( x4)2dotata dello zero ↵=4eilmetododi bisezione per la sua approssimazione. Quale delle seguenti a↵ermazioni `e vera ? A) Il metodo non pu`o essere applicato perch´e la funzione `e continua ma non cambia segno in ogni intervallo contenente lo zero. B) Il metodo converge in un’iterazione qualsiasi sia la scelta dell’intervallo in- iziale che contiene lo zero. C) Il metodo converge scegliendo l’iterata iniziale “sucientemente” vicina allo zero. D) L’ordine di convergenza atteso per il metodo `e pari ad uno. A 3 11 — 2 pt Si considerino le coppie di dati {(xi,yi)}ni=0 con n = 49 generate dai seguenti comandi Matlab r: x = linspace( 0, 1, 50 ); rng( 1 ); y = 2 * x.^2 + 0.2 * sin( 100 * pi * x ) + 0.2 * randn( 1, 50 ); Si determini l’espressione del polinomio ef2(x) di grado 2 approssimante nel senso dei minimi quadrati le coppie di dati {(xi,yi)}ni=0. Si valuti e si riporti ef2(0.5). 0.54770956 12 — 2 pt Assegnati i nodi equispaziati x0,x1,...x 5nell’intervallo [0 ,10] e la funzione f(x)= (x+2) 2, si consideri l’interpolante composito lineare⇧ H1(x) della funzione f(x) nei precedenti nodi. Si valuti e si riporti il valore di⇧ H1(1). 10 13 — 3 pt Si consideri l’interpolante polinomiale lineare a tratti⇧ H1f(x) della funzione f(x)= sin(10 x)7xnell’intervallo I=[0 ,3]. Senza costruire esplicitamente⇧ H1f(x), si stimi il numero ndi sottointervalli equispaziati di [0 ,3] tali per cui l’errore di interpolazione `e inferiore alla tolleranza tol =10 4. 1061 14 — 3 pt Si consideri il polinomio nodale !n(x)=⇧ ni=0(x xi) costruito a partire da n+1 nodi di Chebyshev–Gauss–Lobatto {xi}ni=0 definiti sull’intervallo [ 1,1], es- sendo n= 6. Si approssimi l’integrale I(!n)= Z1 1!n(x)dx tramite la la formula del punto medio (semplice) e se riporti il valore. 0 4 15 — 2 pt Si consideri la formula dei trapezi composita per l’approssimazione dell’integraleZ2 2exdx. Senza applicare esplicitamente la formula, si stimi il numero M di sottointervalli equispaziati di [ 2,2] tali per cui l’errore di quadratura `e inferiore alla tolleranza tol =10 1. 20 16 — 2 pt Si consideri il generico problema di Cauchy ⇢ y0(t)= f(t, y (t)) t2(t0,+1), y(t0)= y0. Quale delle seguenti a↵ermazioni inerenti la sua approssimazione numerica `e falsa ? A) `E possibile garantire l’assoluta stabilit`a di un metodo numerico condizion- atamente assolutamente stabile scegliendo un passo di discretizzazione h “sucientemente” piccolo. B) Il metodo di Eulero all’indietro `e implicito e accurato di ordine 1 se la soluzione del problema di Cauchy `e “sucientemente” regolare. C) Se un metodo numerico `e consistente e convergente, allora `e anche zero– stabile. D) Tutti i metodi di Runge–Kutta applicati al problema modello sono incon- dizionatamente assolutamente stabili. D 5 17 — 3 pt Per l’approssimazione numerica del generico problema di Cauchy ⇢ y0(t)= f(t, y (t)) t2(t0,tf], y(t0)= y0, si consideri il metodo di Runge–Kutta corrispondente alla seguente tabella di Butcher 0 00 3/4 3/40 1/32 /3 Posti f(t, y )= 2(t+1) y2,t0=0, tf=+ 1 ey0= 3, si approssimi il problema con il metodo precedentemente descritto e si riporti il valore dell’approssimazione u1di y(t1), dove ti=t0+ih per i=0 ,1,... , essendo il passo h=0 .1. 2.009775 18 — 3 pt Dato il seguente problema di Cauchy ⇢ y0(t)= 5(t+1) y(t) t2(0,100) , y(t0)=8 , si consideri la sua approssimazione tramite il metodo di Crank–Nicolson con passo h=0 .2. Si riporti il valore u1dell’approssimazione di y(t1), essendo t1=h. 2.5 19 — 3 pt Si consideri il seguente problema di Cauchy: 8>< >: y0(t)= 3 4 10 y(t) t2(0,+1), y(0) = (7 1) T. Si riporti la condizione sul passo di discretizzazione hper l’assoluta stabilit`a del metodo di Eulero in avanti per il precedente problema. 0 0. Qual `e la condizione sul passo di discretizzazione hche garantisce l’assenza di oscillazioni (instabilit`a) numeriche per la soluzione approssimata del problema? 0