Aerospace Engineering - Calcolo Numerico ed Elementi di Analisi

Full exam

Appello – Parte 1 03/09/2021 — versione 1 — }|~}~|| 32 pt – durata 1h 30’ – MS Forms Gli studenti aventi diritto a svolgere la prova ridotta del 30% secondo la L.170/2010 (indicazioni Multichance team) NON svolgono i quesiti contrassegnati con (***) TEST – 15 pt 1 — 1 pt Dato l’insieme dei numeri floating point F(2,6,4,U ), con il parametro U4, si stimi l’errore relativo |xfl(x)| |x| commesso tra il numero reale xe la sua rappre- sentazione fl(x) in artimetica floating point. 26=0 .0156 2 — 1 pt Si consideri il seguente algoritmo: dati a1eb12Rpositivi si pongano a2n= 2anbn an+bn e b2n=pa2nbn per n=1 ,2,4,8,... Il valore a2nfornisce un’approssimazione (dall’alto) di ⇡per n“grande”. Posti a1=4e b1=2 p2, si riporti il valore approssimato a16 ottenuto applicando l’algoritmo precedente. 3.1441 3 — 2 pt Dato il sistema lineare Ax = b,con A = 2 4 93 3 31 4 22 1 3 5 eb =(345) T,si consideri la sua risoluzione tramite il metodo della fattorizzazione LU con pivot- ing per righe (permutazione della seconda e terza riga). Si riportino gli elementi l21 =( L)21 eu33 =( U)33 dei fattori L ed U della matrice pe r m u t a t a elasec- onda componente y3del vettore ausiliario yassociato alla soluzione del sistema triangolare inferiore che compare durante l’applicazione del metodo. l21 = 2 9 u33 =5 y3=3 1 4 — 2 pt (***) No Multichance Sia data una matrice A = 2 4 4 10 1 1 001 3 5dipendente da un parametro 2R con 6= 1 4. Si determinino i valori di tale parametro per cui il metodo di Jacobi applicato alla soluzione di un sistema lineare Ax= bconverge per ogni scelta dell’iterata iniziale. ||> 1 4 5 — 2 pt Dato il sistema lineare Ax = b,dove A = 2 664 9 2 2 1 27 1 1 2 17 1 1 1 15 3 775 eb = (1,1,1,1)T, si consideri il metodo del gradiente coniugato precondizionato con precondizionatore P = tridiag( 1,2,1) per l’approssimazione di x.Siutilizzi opportunamente la funzione Matlab rpcg e si riporti il valore di x(2) avendo p osto l’iterata iniziale x(0) =0. (0.3209 , 0.3240 , 0.3406 , 0.3705) T 6 — 1 pt Si consideri un sistema lineare Ax= b,dove A 2Rn⇥n`e una matrice simmet- rica e definita positiva con numero di condizionamento K2(A)=50. Perlasua risoluzione si consideri il metodo del gradiente e, sapendo che l’errore iniziale `e kx(0) xkA= 1, si fornisca una stima dell’errore commesso all’iterata k=100, ovvero kx(100) xkA. 0.0183 7 — 1 pt Si consideri la matrice A =  5 3 , dipendente dal parametro > 0. As- sumendo che x=(1 1) Tsia un’approssimazione di uno dei suoi autovettori, si riporti l’approssimazione dell’autovalore corrispondente in termini di . 4+ 8 — 2 pt Si consideri la matrice A= 2 4 3 1 1 14 1 1 15 3 5.Siapplichiilmetododellepotenze (dirette) per l’approssimazione di 1(A) a partire dal vettore iniziale x(0) =1.Si riportino i valori delle approssimazioni (0) e(3) di tale autovalore. 2, 5 .2873 2 9 — 2 pt (***) No Multichance Si consideri la matrice A = 2 4 2( p10 1) 0 (p10 + 1) 2 0 006 3 5. Per quali valori dello shift s2R`e possibile applicare il metodo delle potenze inverse con shift per l’approssimazione dell’autovalore 6 di A? s> 23 8 =2 .8750 e s6=6 10 — 1 pt (***) No Multichance Si consideri la funzione f(x)=sin( x+p2) e il metodo di bisezione per l’approssimazione dello zero ↵2[2,0]. Si riporti il valore dell’iterata x(2) ottenuta applicando il metodo. 1.2500 ESERCIZIO – 17 pt Si consideri la funzione f(x)=cos( ⇡x ) ✓ x 1 2 ◆ (1) e, tra gli altri, in particolare il suo zero ↵= 1 2. Punto 1) — 2 pt Si applichino i metodi di Newton e Newton modificato all’approssimazione di ↵con tolleranza sul criterio d’arresto basato sulla di↵erenza tra iterate successive tol =10 6e iterata iniziale x(0) =0 .9. Si riportino i numeri delle iterazioni e↵ettuate dai due metodi e si giustifichi il risultato ottenuto. Si riportino inoltre i comandi Matlab rutilizzati. Spazio per risposta lunga (num. it. Newton: 18 , num. it. Newton modificato: 4 ) Punto 2) — 1 pt Si discuta l’adabilit`a del criterio d’arresto basato sulla di↵ererenza tra iterate successive per il metodo di Newton applicandolo allo zero ↵della funzione f(x)di Eq. (1). Spazio per risposta lunga 3 Punto 3) — 3 pt Il metodo delle secanti approssima lo zero ↵di f(x) tramite una sequenza di iterate nx(k)oottenute come segue: x(k+1) =x(k) f⇣x(k)⌘ qk per k=1 ,2,..., con qk= f⇣x(k)⌘f⇣x(k1)⌘ x(k)x(k1) , dove le iterate iniziali x(0) ex(1) sono entrambe assegnate. Si applichi tale metodo alla funzione f(x) di Eq. (1) precedentemente assegnata fino ad ottenere l’iterata x(10) , a partire da x(0) =0 .9e x(1) =0 .7. Si riportino i valori di x(2),x(3) ex(10) . Si stimi inoltre l’ordine di convergenza pdel metodo ad ↵, illustrando la pro- cedura seguita. Si riportino i comandi Matlab rusati. Spazio per risposta lunga (x(2) =0 .6106, x(3) =0 .5684, x(10) =0 .5023, p=1) Punto 4) — 3 pt Si consideri ora la funzione di iterazione (x)= x+ µ 2⇡cos ( ⇡x )(2) dipendente dal parametro µ2Redotatadelpuntofisso ↵= 1 2coincidente con lo zero di f(x). Si determinino i valori di µtali per cui il metodo delle iterazioni di punto fisso converge ad ↵per x(0) “sucientemente” vicino ad ↵. Si determini inoltre per quale valore di µil metodo delle iterazioni di punto fisso converge con ordine palmeno pari a 2. Si giustifichino le risposte alla luce della teoria riportando il procedimento svolto. Spazio per risposta lunga (0 < >: un+1 =un+hv nµh2 2un vn+1 =vnµh 2(un+un+1) per n=0 ,1,..., con u0=y0ev0=w0,dove h> 0`eilpasso, un`e l’approssimazione di y(tn)e vn l’approssimazione di y0(tn), essendo tn=nh per n=0 ,1,... . Dopo aver posto µ=2, y0=10, w0=0e h=0 .1, si riportino i valori delle approssimazioni u1eu2cos`ı ottenute. u1=9 .9, u2=9 .6020 3 ESERCIZIO – 17 pt Si consideri il seguente problema ai limiti: 8< : u00(x)+ Vu 0(x)= f(x) x2(0,1), u(0) = 0 , u0(1) = cos(1) , (1) dove V> 0 `e un parametro. Punto 1) — 3 pt Si approssimi il problema (1) usando il metodo delle di↵erenze finite centrate, partizionando l’intervallo [ a, b ]in N + 1 sottointervalli di uguale ampiezza h= ba N +1 delimitati da N +2 nodi xj= a+jh per j=0 ,1,...,N,N +1. Per l’approssimazione di u0(1) si utilizzi lo schema delle di↵erenze finite all’indietro. Si riportino le equazioni del sistema risultante in forma esplicita definendo la notazione utilizzata e illustrando la procedura seguita. Spazio per risposta lunga Punto 2) — 2 pt Dopo aver risposto al Punto 1), si riportino le espressioni della controparte alge- brica del sistema di equazioni, ovvero del sistema lineare Auh=b, in forma con- densata, dove A2R(N+1) ⇥(N+1) ,uh,b2RN+1,essendo uh=( u1,u2,...,u N+1)T. Spazio per risposta lunga Punto 3) — 3 pt Si pongano per il problema (1) i seguenti dati: V=1e f(x)=sin( x)+cos( x). Si approssimi tale problema con il metodo di cui al Punto 1) per h=0 .1. Si riportino il valore di uN+1 con almeno 4 cifre decimali e i principali comandi Matlab rusati. Spazio per risposta lunga (uN+1 =0 .8148) Punto 4) — 2 pt (***) No Multichance Dopo aver risposto al Punto 3), si utilizzi opportunamente il vettore uhottenuto per approssimare I(u)= Z1 0u(x)dx attraverso la formula dei trapezi composita. Si riportino il valore ottenuto con almeno 4 cifre decimali e i comandi Matlab r usati. Spazio per risposta lunga (0.4483) 4 Punto 5) — 2 pt Con i dati di cui al Punto 3), si risolva il problema per h=0 .1,0.05,0.025 ,0.00125 e, sapendo che la soluzione esatta `e u(x)=sin( x), si calcolino gli errori corrispon- denti eh=maxj=0,...,N +1 |u(xj)uj|; si riportino i risultati con almeno 4 cifre decimali e i principali comandi Matlab rusati. Spazio per risposta lunga ( eh=0 .0267 ,0.0133 ,0.0067 ,0.0033) Punto 6) — 2 pt Si usino gli errori ehcalcolati al Punto 5) per stimare algebricamente l’ordine di convergenza pdel metodo di cui al punto 1 applicato al problema (1). Si illustri schematicamente la procedura seguita per la stima e si commenti il risultato ottenuto alla luce della teoria. Spazio per risposta lunga ( p=1 .0007) Punto 7) — 3 pt (***) No Multichance Si consideri nuovamente il problema (1), ma questa volta con V=100e f(x)=0. •Quale fenomeno numerico si pu`o verificare approssimando tale problema tramite le di↵erenze finite centrate di cui al Punto 1) con h=0 .1? Perch`e? •Come `e possibile eliminare tale fenomeno numerico sempre usando h=0 .1? •Si implementi in Matlab ril rimedio proposto. Si riportino il valore uN+1 dell’approssimazione cos`ı ottenuta con almeno 4 cifre decimali e i principali comandi Matlab rusati. Spazio per risposta lunga (0 .0594) 5