Aerospace Engineering - Calcolo Numerico ed Elementi di Analisi

Full exam

Appello – Parte 1 08/07/2021 — versione 1 — }~|}|~| 32 pt – durata 1h 30’ – MS Forms Gli studenti aventi diritto a svolgere la prova ridotta del 30% secondo la L.170/2010 (indicazioni Multichance team) NON svolgono i quesiti contrassegnati con (***) TEST – 15 pt 1 — 1 pt (***) No Multichance Sia dato l’insieme dei numeri floating point F(2,t, 2,3) dipendente dal parametro t2N. Sapendo che il valore dell’epsilon macchina (in base 10) con tale insieme `e ✏M = 1 16 , si determini il valore assunto da t. 5 2 — 1 pt Si consideri il seguente algoritmo: dati A 2 R,positivo,e x0= A,siponga xn+1 = 2 3xn+ A 3(xn)2per n=0 ,1,2,... . Il valore xnfornisce un’approssimazione di A1/3per n“grande”. Posto A= 17, si riporti il valore approssimato x6ottenuto applicando l’algoritmo precedente. 2.6000 3 — 1 pt Si consideri la matrice A =  5 3 dipendente da un parametro 2R.Per quali valori di `e possibile risolvere un generico sistema lineare Ax= btramite il metodo della fattorizzazione di Cholesky? p15 n(A), si stimi il numero di condizionamento spettrale K(A)di Ain funzione di nper n! +1. •Si utilizzi Matlab rper calcolare K(A) in funzione di n,con n=10 ,20,30,..., 100. Si riportino i valori calcolati per n=20 e n=100. •Si confrontino e si commentino i risultati precedenti. Spazio per risposta lunga (K(A)⇡ 4 ⇡2n2,K20(A)=178 .0643, K100 (A)=4 .1336 ·103) Punto 2) — 1 pt Quale metodo diretto utilizzereste per risolvere il sistema lineare Ax = b?Si motivi dettagliatamente la risposta data. Spazio per risposta lunga 3 Punto 3) — 3 pt Si intende risolvere il sistema lineare Ax= bcon b= Ax,sapendoche x= 2. Supponiamo che, a causa degli errori di arrotondamento, il vettore bsia a↵etto da una perturbazione b=10 6c,dove c2Rn`e t a l e c h e kck2= 1, e che si risolva dunque il sistema lineare perturbato A(x+x)= b+b. Si stimi l’errore relativo kxk2/kxk2commesso per n= 1000 e si verifichi con Matlab rla validit`a di tale stima commentando il risultato ottenuto. Per la verifica in Matlab r, si utilizzi il seguente vettore c: >> c = rand(size(b)); >> c = c./norm(c); e si risolva il sistema lineare con il comando \di Matlab r. Spazio per risposta lunga ( err stim =0 .1436, err vero =0 .0012) Punto 4) — 2 pt Si consideri il metodo del gradiente per la soluzione del sistema lineare con la matrice A per n= 1000. Senza applicare esplicitamente l’algoritmo, si stimi il fattore di abbattimento dell’errore in norma A, ovvero kx(k)xkA kx(0) xkA,dopo k=2000 iterazioni del metodo. Si giustifichi la risposta data definendo tutta la notazione utilizzata. Spazio per risposta lunga (0 .9902) Punto 5) — 3 pt (***) No Multichance Si consideri ora il metodo del gradiente precondizionato per risolvere il sistema lineare associato alla matrice A con n = 1000. In particolare, si consideri la seguente matrice di precondizionamento simmetrica e definita positiva: P=pentadiag(1 ,16,, 16,1) 2R1000 ⇥1000 , dipendente dal parametro > 0. Per quale valore del parametro a scelta tra 30, 45 e 60, il metodo del gradiente precondizionato converge pi`u rapidamente alla soluzione per ogni scelta dell’iterata iniziale? Si motivi dettagliatamente la risposta data. Spazio per risposta lunga ( =30) Punto 6) — 2 pt (***) No Multichance Si consideri ora il metodo del gradiente coniugato (non precondizionato) per ri- solvere il sistema lineare Ax = b,con b definito al Punto 3), usando oppor- tunamente la funzione Matlab r pcg con vettore iniziale x(0) = 0, tolleranza tol =10 3e un opportuno numero massimo di iterazioni. Si risolva il prob- lema per n=10 ,20,30,..., 100, e si riporti il numero di iterazioni e↵ettuato per n= 10, 20 e 100. Come si giustifica l’andamento del numero di iterazioni ottenuto rispetto a nalla luce della teoria? Spazio per risposta lunga (5, 10, 50) 4 Punto 7) — 3 pt Si consideri ora il seguente sistema di equazioni non lineari F(x)= Ax+sin( ⇡x)= 0, dove F :Rn! Rn, la matrice A = tridiag( 1,2,1) 2Rn⇥n`e s t a t a d e fi n i t a precedentemente. Posto n = 10, si approssimi lo zero ↵ = 0 2 R10 del precedente sistema di equazioni non lineari implementando opportunamente il metodo di Newton in Matlab r. Si riportino: •l’espressione della generica matrice Jacobiana JF(x); •i valori della decima componente della prima e seconda iterata, ovvero (x(1))10 e( x(2))10, ottenute applicando il metodo di Newton a partire dal vettore iniziale x(0) = 1 50 (1,2,..., 10) T. Spazio per risposta breve (JF(x)= A+⇡diag (cos( ⇡x)), ( x(1))10 =0.0220, ( x(2))10 =2 .6359 ·105) 5 Appello – Parte 2 08/07/2021 — versione 1 — }~|}|~| 32 pt – durata 1h 30’ – MS Forms Gli studenti aventi diritto a svolgere la prova ridotta del 30% secondo la L.170/2010 (indicazioni Multichance team) NON svolgono i quesiti contrassegnati con (***) TEST – 15 pt 1 — 2 pt Si consideri la funzione f(x)= e2xe il suo interpolante polinomiale⇧ 5f(x)su n+1 = 6 nodi equispaziati in [ 1,1]. Senza costruire l’interpolante⇧ 5f(x), si fornisca una stima dell’errore di interpolazione e5(f)= max x2[1,1]|f(x)⇧5f(x)|. 0.0807 2 — 1 pt (***) No Multichance Il numero dei nuovi casi di positivit`a al Covid19 in Italia nel periodo 29 Giugno – 6 Luglio 2021 `e riportato nel vettore seguente: >> giorni = [1:8]; >> casi = [679 776 882 794 932 808 480 907]; Si stimi il valore dei nuovi casi di positivit`a atteso per la giornata di oggi, 8 Luglio, utilizzando un polinomio di grado 2 che approssimi i dati nel senso dei minimi quadrati. 584 .6429 3 — 1 pt Si consideri la funzione f(x)= ex/2e il suo interpolante polinomiale quadratico a tratti⇧ H2f(x) su 3 sottointervalli equispaziati di [0 ,3] e con tutti i nodi equis- paziati. Si riporti il valore⇧ H2f(0.75). 1.4563 4 — 2 pt Si consideri la funzione f(x)= exnell’intervallo [ 1,2] e il suo interpolante polinomiale⇧ nf(x) di grado n 1su n+1 nodi equispaziati. Quanto vale l’approssimazione di Z2 1⇧nf(x)dx tramite la formula dei trapezi (semplice)? 11.6354 1 5 — 1 pt Si consideri l’approssimazione dell’integrale I(f)= Zb af(x)dx,dove f2C1([a, b ]), tramite una formula di quadratura composita accurata di ordine p=2. Sapendo che p er M1= 10 sottointervalli equispaziati di [ a, b ] si ha un errore pari a e1(f)= 101, si stimi l’errore e2(f)commessocon M2= 100 sottointervalli. 103 6 — 2 pt (***) No Multichance Si consideri l’approssimazione dell’integrale doppio I(f)= Zb a Zd cf(x, y )dydx tramite la formula del punto medio co m po s i t a , ovvero Icpm (f)= (ba)(dc) M MX k=1 f(xk,yk), dove M `e il numero dei rettangoli di uguale area in cui `e partizionato il rettangolo [a, b ]⇥[c, d ], mentre ( xk,yk) sono i corrispondenti punti medi. Posti a=c=0, b=d=1e f(x, y )= e(2x+y), si riporti il valore di Icpm (f)per M =4. 5.2124 7 — 1 pt Si consideri il seguente problema di Cauchy: 8< : y0(t)= r 17 y(t) 17 + t2 t2(0,10) , y(0) = 9 . Utilizzando il metodo di Eulero in avanti con passo h> 0, si riporti il valore calcolato di u1in termini di h, ovvero l’approssimazione di y(t1), essendo tn=nh per n=0 ,...,N t. 93h 8 — 1 pt Si consideri il seguente problema ai limiti: ⇢ u00(x)1000 u0(x)= x 2(0,1), u(0) = u(1) = 0 , dove 2R`e un parametro. Si supponga di approssimare tale problema utilizzando il metodo delle di↵erenze finite centrate e passo di discretizzazione h> 0, ottenendo cos`ı la soluzione numerica {uj}N+1j=0 nei corrispondenti nodi {xj}N+1j=0 .Assumendo che la soluzione esatta u2C4([0 ,1]) sia nota e che l’errore per h=h1=10 3sia Eh1=maxj=0,...,N +1 |u(xj)uj|=4 ·103, si riporti il valore stimato dell’errore Eh2 corrispondente alla scelta h=h2=5 ·104. 103 2 9 — 2 pt Si consideri il seguente problema ai limiti: ⇢ u00(x)+40 u0(x)=0 x2(0,1), u(0) = 3 ,u (1) = 0 . Si approssimi il problema utilizzando il metodo delle di↵erenze finite centrate con tecnica Upwind e passo di discretizzazione h=1 /10 ottenendo la soluzione nu- merica {uj}N+1j=0 nei corrispondenti nodi {xj}N+1j=0 per ( N + 1) = 10. Si risolva il problema e si riporti il valore della soluzione numerica u9, ovvero l’approssimazione di u(x9). 2.4 10 — 2 pt (***) No Multichance Si consideri il seguente problema ai limiti: ⇢ µ(x)u0(x)0=5 x2(0,1), u(0) = u(1) = 0 , dove µ(x)= ⇢ 1 x2(0,1/2), 2 x2[1/2,1), Dato il passo h> 0 e un generico nodo x, il termine µ(x)u0(x)0pu`o essere approssimato nel nodo xtramite il seguente schema alle di↵erenze finite 1 h2[µ(x+h/2) ( u(x+h)u(x))µ(xh/2) ( u(x)u(xh))] . Si approssimi il problema ai limiti utilizzando il metodo delle di↵erenze finite precedente con passo di discretizzazione h=1 /2 ottenendo la soluzione numerica {uj}N+1j=0 nei corrispondenti nodi {xj}N+1j=0 per ( N+ 1) = 2. Si risolva il problema e si riporti il valore della soluzione numerica u1, ovvero l’approssimazione di u(0.5). 5 12 =0 .4167 3 ESERCIZIO – 17 pt Si consideri il seguente sistema di Equazioni Di↵erenziali Ordinarie del primo or- dine nella forma 8< : dy dt (t)= Ay(t)+ g(t) t2(0,tf), y(0) = y0, (1) dove y(t)=( y1(t),y 2(t),...,y m(t))T,A2Rm⇥m,g(t):(0 ,tf)! Rmey02Rm, per m 1. In particolare, consideriamo m =9 e A= tridiag (5 /2,2,1/2). Punto 1) — 2 pt (***) No Multichance Con riferimento al generico sistema di Equazioni Di↵erenziali Ordinarie nella forma (1), si riporti la definizione di zero-stabilit`a in relazione al metodo di Eulero in avanti .Sidefiniscatuttalanotazioneutilizzata. Spazio per risposta lunga Punto 2) — 3 pt Per il problema (1) con tf=+ 1 eg=0si ricavi la condizione di assoluta stabilit`a per il metodo di Eulero in avanti. Si illustri la procedura seguita. 0