Aerospace Engineering - Calcolo Numerico ed Elementi di Analisi

Full exam

Appello – Parte 1 25/01/2022 — versione 1 — }~|}|~| 32 pt – durata 1h 30’ – MS Forms Gli studenti aventi diritto a svolgere la prova ridotta del 30% secondo la L.170/2010 (indicazioni Multichance team) NON svolgono i quesiti contrassegnati con (***) TEST – 15 pt 1 — 1 pt (***) No Multichance Sia dato l’insieme dei numeri floating point F(2,t, 5,5) dipendente dal parametro t2N. Per quali valori di t`e possibile garantire che il valore dell’epsilon macchina (in base 10) sia ✏M  1 64 ? t7 2 — 1 pt Dato A2R,con A> 1, la serie SN= NX n=1 1 n ✓ 1 1 A ◆n rappresenta, per N 2N “sucientemente” grande, un’approssimazione di log( A). Posti A=25e N =100, si riporti il valore dell’approssimazione di log( A)cos`ıottenuta. 3.2155 3 — 1 pt Si considerino 10 sistemi lineari Axj= bjper j=1 ,..., 10, dove la matrice A 2 R60⇥60 `e fissata e non singolare, mentre i vettori bj2 R60 rappresentano diversi termini noti. Qual `e il numero di operazioni stimato per la risoluzione di tali sistemi lineari per j=1 ,..., 10 attraverso un uso computazionalmente eciente del metodo della fattorizzazione LU? 216000 1 4 — 2 pt Si consideri un metodo diretto per risolvere il sistema lineare Ax= b,dove A2 R100 ⇥100 `e una matrice non singolare, b= 12R100 ex2R100 .Sapendocheil numero di condizionamento `e K2(A)=10 10 e che il residuo associato alla soluzione numerica bx`e t a l e c h e krk=kbAbxk=10 12, si stimi l’errore relativo commesso erel = kxbxk kxk . 103 5 — 2 pt Si consideri la matrice A = 2 4 3 1/20 1/210 128 3 5.Siapplichiilmetododelle potenze inverse per l’approssimazione di 3(A) a partire dal vettore iniziale x(0) = 1. Si riportino i valori delle approssimazioni (0),(1) e(2) di tale autovalore. 5.0000, 1 .3479, 1 .2278 6 — 2 pt (***) No Multichance Si considerino la matrice A=  73 13 e il metodo della fattorizzazione QR per l’approssimazione dei suoi autovalori 1e2. Si applichino 2 iterazioni del metodo e si riportino le approssimazioni (2)1 e(2)2 cos`ı ottenute. 6.4043, 3 .5957 7 — 1 pt Si consideri una funzione f2C1(R), dotata dello zero ↵. Si supponga di approssi- mare ↵tramite un metodo iterativo convergente con ordine p= 2 e che all’iterata k- esima sia associato l’errore x(k)↵ =0 .1. Assumendo che x(k+1) ↵ =0 .005, si riporti il valore stimato dell’errore x(k+2) ↵ . 1.25 ·105 8 — 2 pt Si consideri il metodo di Newton per l’approssimazione dello zero ↵ =2della funzione f(x)=( x2) log ( x1). Si riportino i valori delle iterate x(1) ex(2) ottenute applicando il metodo a partire da x(0) =4. 2.7553, 2 .3273 2 9 — 1 pt Si consideri la funzione di iterazione (x)= x+ 1 3 1e3x1. Qual `e l’ordine di convergenza patteso dal metodo delle iterazioni di punto fisso al punto fisso ↵= 1 3 partendo dall’iterata iniziale x(0) “sucientemente” vicino ad ↵? 2 10 — 2 pt (***) No Multichance Si considerino il sistema di funzioni non lineari F(x): R2! R2,dove x = (x1,x 2)T2R2eF(x)= x212x1x2+3 ,x 224x2+4 T2R2, e l’approssimazione dello zero ↵ =(1 ,2)T2Rdi F(x) tramite il metodo di Newton. Posta l’iterata iniziale x(0) =(3 ,3)T, si applichi un’iterazione del metodo e si riporti l’iterata x(1) cos`ı ottenuta. (17 /8,5/2)T ESERCIZIO – 17 pt Si consideri il sistema lineare Ax=b,dove A`e una matrice pentadiagonale A=pentadiag(1 ,2,6,2,1) 2Rn⇥n ex,b2Rnper n 1. Si considerino in particolare n= 300 e il termine noto b tale che la soluzione esatta sia x=1. Punto 1) — 3 pt I metodi di Jacobi e Gauss–Seidel, applicati al sistema lineare Ax= b, risultano convergenti per ogni scelta dell’iterata iniziale x(0)? Si motivi la risposta definendo tutta la notazione utilizzata e riportando i principali comandi Matlab rusati. Spazio per risposta lunga ( ⇢BJ =0 .9999 > temperatura = [6.0, 5.5, 6.0, 4.5, 4.0, 3.5, 4.0, 4.5, 5.0 ]; Si stimi la temperatura al giorno 10 utilizzando un polinomio di grado 2 che ap- prossimi i dati nel senso dei minimi quadrati. 5.4048 3 — 2 pt Si consideri la funzione f(x)= x, dipendente dal parametro 1, e il suo interpolante polinomiale lineare a tratti⇧ H1f(x) su 10 sottointervalli equispaziati di [0 ,1]. Si riporti il valore stimato dell’errore di interpolazione, ovvero eH1(f)= maxx2[0,1] f(x)⇧H1f(x) , in termini del parametro . (1)/800 4 — 1 pt Si approssimi l’integrale I(f)= Z3 1 p1+ xdx tramite la formula dei trapezi com- posita considerando M = 4 sottointervalli equispaziati di [ 1,3]. Si riporti il valore di Ict(f)cos`ıottenuto. 5.1463 1 5 — 1 pt Si consideri l’approssimazione dell’integrale I(f)= Zb af(x)dx,dove f2C1([a, b ]), tramite la formula di Simpson composita. Sapendo che per M1= 10 sottointer- va l l i e q u i s p a z i a t i d i [ a, b ] si ha un errore pari a e1(f)=10 1, si stimi l’errore e2(f) commesso con M2= 100 sottointervalli. 105 6 — 2 pt (***) No Multichance Si consideri l’approssimazione dell’integrale doppio I(f)= Zb a Zd cf(x, y )dydx tramite la formula di quadratura Gauss–Legendre di ordine 1, ovvero Iq(f)= (ba)(dc) 4 2X i=1 2X j=1 f(xi,yj), dove xi= a+b 2 + ba 2 ⇠i,yi= c+d 2 + dc 2 ⇠i,per i=1 ,2, ⇠1= 1p3 e ⇠2=+ 1p3.Posti a= c=0, b= d=1e f(x, y )= e(x+3y), si riporti il valore di Iq(f). 10.7713 7 — 1 pt Si consideri il seguente problema di Cauchy: ⇢ y0(t)= (1 + t)y(t) t2(0,10) , y(0) = 2 . Utilizzando il metodo di Heun con passo generico h> 0, si esprima u1in termini di h,dove u1`e l’approssimazione di y(t1), essendo tn=nh per n=0 ,...,N t. 22h+h3 8 — 2 pt Si consideri il seguente problema ai limiti: ⇢ u00(x)=(2+ x)2 x2(0,1), u(0) = 1 ,u (1) = 0 . Si approssimi il problema utilizzando il metodo delle di↵erenze finite centrate e passo di discretizzazione h=1 /10 ottenendo la soluzione numerica {uj}N+1j=0 nei corrispondenti nodi {xj}N+1j=0 per ( N + 1) = 10. Si risolva il problema e si riporti il valore della soluzione numerica u5, ovvero l’approssimazione di u(x5)= u(0.5). 1.2863 2 9 — 1 pt Si consideri il seguente problema ai limiti, dipendente dal parametro > 10: ⇢ u00(x)+ u 0(x)=7 x2(0,1), u(0) = u(1) = 0 . Si supponga di approssimare tale problema utilizzando il metodo delle di↵erenze finite centrate con tecnica Upwind e passo di discretizzazione h> 0, ottenendo cos`ı la soluzione numerica {uj}N+1j=0 nei corrispondenti nodi {xj}N+1j=0 .Assumendo che la soluzione esatta u2C4([0 ,1]) sia nota e che l’errore per h=h1=10 4sia Eh1=maxj=0,...,N +1 |u(xj)uj|=4 ·103, si riporti il valore stimato dell’errore Eh2 corrispondente alla scelta h=h2=5 ·103. 2·103 10 — 2 pt (***) No Multichance Si consideri il seguente problema ai limiti: ⇢ u00(x)+40 u0(x)=0 x2(0,1), u(0) = 7 ,u (1) = 0 . Si approssimi il problema utilizzando il metodo delle di↵erenze finite centrate con tecnica Upwind e passo di discretizzazione h=1 /10 ottenendo la soluzione nu- merica {uj}N+1j=0 nei corrispondenti nodi {xj}N+1j=0 per ( N + 1) = 10. Si risolva il problema e si riporti il valore della soluzione numerica u9, ovvero l’approssimazione di u(x9). 5.6 3 ESERCIZIO – 17 pt Si consideri il seguente sistema di Equazioni Di↵erenziali Ordinarie del primo or- dine nella forma 8< : dy dt (t)= Ay(t)+ g(t) t2(0,tf), y(0) = y0, (1) dove y(t)=( y1(t),y 2(t),...,y m(t))T,A2Rm⇥m,g(t):(0 ,tf)! Rmey02Rm, per m 1. In particolare, consideriamo m =9 e A= tridiag (3 ,2,1) 2R9⇥9. Punto 1) — 2 pt (***) No Multichance Con riferimento al generico sistema di Equazioni Di↵erenziali Ordinarie nella forma (1), si riporti la definizione di zero-stabilit`a in relazione al metodo di Eulero in avanti .Sidefiniscatuttalanotazioneutilizzata. Spazio per risposta lunga Punto 2) — 3 pt Per il problema (1) con tf=+ 1 eg=0si ricavi la condizione di assoluta stabilit`a per il metodo di Eulero in avanti. Si illustri la procedura seguita. 0