Aerospace Engineering - Calcolo Numerico ed Elementi di Analisi

Full exam

Appello – Parte 1 15/02/2022 — versione 1 — }~|}|~| 32 pt – durata 1h 30’ – MS Forms Gli studenti aventi diritto a svolgere la prova ridotta del 30% secondo la L.170/2010 (indicazioni Multichance team) NON svolgono i quesiti contrassegnati con (***) TEST – 15 pt 1 — 1 pt (***) No Multichance Sia dato l’insieme dei numeri floating point F(2,6,L,U ) dipendente dai parametri L< 0ed U> 0. Qual `e il valore di U 2 N tale per cui il pi`u grande numero rappresentabile (in base 10) nell’insieme F`exmax =252? 8 2 — 1 pt Il numero di Nepero esi pu`o ottenere come limn!+1 ✓ 1+ 1 n ◆n =e. Qual `e il minimo valore di n 2 N tale che l’approssimazione Sn= ✓ 1+ 1 n ◆n genera un’errore inferiore a 0 .05? 27 3 — 1 pt Si considerino 10 sistemi lineari Axj=bjper j=1 ,..., 10, dove la matrice A2 R30⇥30 `e simmetrica e definita positiva, mentre i vettori bj2R30 rappresentano diversi termini noti. Qual `e il numero di operazioni stimato per la risoluzione di tali sistemi lineari per j=1 ,..., 10 attraverso un uso computazionalmente eciente del metodo della fattorizzazione di Cholesky? 27000 1 4 — 2 pt (***) No Multichance Si consideri il metodo di Richardson stazionario precondizionato per risolvere il sistema lineare Ax= b,dove A = 2 4 2 10 15 1 0 18 3 5eb= 1. Posto il precon- dizionatore P= 2 4 400 050 006 3 5, si calcoli il valore ottimale del parametro ↵opt 2R e lo si utilizzi per determinare l’iterata x(4) 2R3del metodo usando opportuna- mente la funzione Matlab rrichardson.m eavendoscelto x(0) = 0. Si riportino ↵opt ex(4). ↵opt =1 .0909, x(4) =(0 .6154 0 .3492 0 .1616) T 5 — 2 pt Si consideri la matrice A = 2 4 3 1/20 1/23 2 028 3 5.Siapplichiilmetododelle potenze per l’approssimazione di 1(A) a partire dal vettore iniziale x(0) = 1.Si riportino i valori delle approssimazioni (0),(1) e(2) di tale autovalore. 4.6667, 7 .6083, 7 .8258 6 — 2 pt (***) No Multichance Si considerino la matrice A=  71 13 e il metodo della fattorizzazione QR per l’approssimazione dei suoi autovalori 1e2. Si applichino 2 iterazioni del metodo e si riportino le approssimazioni (2)1 e(2)2 cos`ı ottenute. 6.8336, 3 .1664 7 — 1 pt La convergenza del metodo della fattorizzazione QR per l’approssimazione degli autovalori reali e distinti {i}ni=1 di una matrice A2Rn⇥n`e tanto pi`u rapida, tanto minore `e il valore max i=2,...,n ⇢ i i1 .Posto n=3esapendoche A ha autovalori reali e distinti 1=8, 2e3= 3, si determini per quale valore di 22(3,8) la convergenza del metodo della fattorizzazione QR `e pi`u rapida. p24 = 4 .8990 8 — 1 pt Si consideri il metodo di Newton per l’approssimazione dello zero ↵ =7della funzione f(x)=(7 x)log( x6). Qual `e l’ordine di convergenza patteso dal metodo ad ↵= 7 partendo dall’iterata iniziale x(0) “sucientemente” vicino ad ↵? 1 2 9 — 2 pt Si considerino la funzione f(x)= x(ex1) dotata dello zero ↵ =0elasua approssimazione tramite il metodo delle secanti. Scelte le iterate iniziali x(0) =0 .8 ex(1) =0 .5, si riportino le iterate x(2) ex(3) ottenute applicando il metodo. 0.3517, 0 .2269 10 — 2 pt Si consideri la funzione di iterazione (x)= xµx log( x1) dipendente dal parametro µ2Redotatadelpuntofisso ↵= 2. Per quali valori di µil metodo delle iterazioni di punto fisso converge per ogni scelta di x(0) “sucientemente” vicino ad ↵? Per quale valore di µla convergenza del metodo `e di ordine p=2? µ2(0,1), µ=1 /2 ESERCIZIO – 17 pt Si consideri il sistema lineare Ax=b,dove A2Rn⇥n`e A= tridiag( 1,2,1) ex,b2Rnper n1. In particolare, consideriamo n=100 e x=1. Punto 1) — 3 pt Si intende risolvere il sistema lineare Ax= btramite un metodo diretto. Sup- poniamo che, a causa degli errori di arrotondamento, il vettore bsia a↵etto da una perturbazione b=10 6c,dove c2Rn`e t a l e c h e kck2= 1, e che si risolva dunque il sistema lineare perturbato A(x+x)= b+b. Si stimi l’errore relativo kxk2/kxk2e si verifichi con Matlab r la validit`a di tale stima commentando il risultato ottenuto. Per la verifica in Matlab r,siutilizzi il seguente vettore c: >> c = rand(size(b)); >> c = c./norm(c); e si risolva il sistema lineare con il comando \di Matlab r. Spazio per risposta lunga ( err stim =0 .0029, err vero =7 .6094 ·105) 3 Punto 2) — 2 pt Quale metodo diretto `e computazionalmente conveniente utilizzare per risolvere il sistema lineare Ax=bassegnato? Si motivi la risposta data riportando il numero di operazioni impiegate da tale metodo. Perch´e tale metodo `e computazionalmente pi`u conveniente rispetto al metodo della fattorizzazione LU? Spazio per risposta lunga (metodo di Thomas, 793) Punto 3) — 2 pt Sempre per la matrice A tridiagonale assegnata, si illustri un possibile algoritmo computazionalmente conveniente per il calcolo del determinante di A. Si riporti il numero di operazioni impiegate dall’algoritmo proposto. Spazio per risposta lunga (4( n1) operazioni = 396) Punto 4) — 2 pt I metodi di Jacobi e Gauss–Seidel, applicati alla soluzione del sistema lineare Ax= b, risultano convergenti per ogni scelta del dato iniziale x(0)?Simotivi dettagliatamente la risposta data, definendo tutta la notazione usata e riportando i principali comandi Matlab r. Spazio per risposta lunga (si ⇢BJ =0 .9995, ⇢BGS =⇢2BJ =0 .9990 0, si riporti il valore calcolato di u1in termini di h, ovvero l’approssimazione di y(t1), essendo tn=nh per n=0 ,...,N h. 1 1+ h3 7 — 1 pt Per l’approssimazione numerica del generico problema di Cauchy ⇢ y0(t)= f(t, y (t)) t2(t0,+1), y(t0)= y0, si consideri il metodo di Runge–Kutta corrispondente alla seguente tabella di Butcher 0 00 1/2 1/20 01 Posti f(t, y )= (t+1) y3,t0=0e y0= 1, si approssimi il problema con il metodo precedentemente descritto e si riporti il valore dell’approssimazione u1di y(t1), dove ti=t0+ih per i=0 ,1,... ,essendoilpasso h=0 .1. 0.9100 8 — 2 pt Si consideri il seguente sistema di equazioni di↵erenziali ordinarie del primo ordine ( dy dt =Ay t2(0,1), y(0) = y0, dove y(t)=( y1(t),y 2(t))T,A = 21 2 3 ey0=(1 ,3)TSi approssimi il problema utilizzando il metodo di Crank-Nicolson con passo h=0 .1. Si riporti l’approssimazione uNhcos`ı ottenuta, ovvero l’approssimazione di y(tNh), essendo tn=nh per n=0 ,...,N h. (0.6011 ,0.6357) T 2 9 — 2 pt Si consideri il seguente problema di Cauchy del secondo ordine: 8< : y00(t)+2 y0(t)+ y(t)=0 t2(0,+1), y(0) = 4 , y0(0) = 1 . Si riscriva il problema precedente come un sistema di equazioni di↵erenziali or- dinarie del primo ordine e lo si approssimi tramite il metodo di Eulero in avanti con passo h=0 .1. Si riporti u1, ovvero l’approssimazione di y(t1)cos`ıottenuta, essendo t1=h. u1=4 .1000 10 — 2 pt (***) No Multichance Si consideri il seguente problema di Cauchy del secondo ordine: 8< : y00(t)= y(t) t2(0,+1), y(0) = y0, y0(0) = w0. dove y0ew02R. La sua approssimazione tramite il metodo di Leap-Frog si scrive come 8>< >: un+1 =un+hv n h2 2un vn+1 =vn h 2(un+un+1) per n=0 ,1,..., con u0=y0ev0=w0,dove h> 0`eilpasso, un`e l’approssimazione di y(tn)e vn l’approssimazione di y0(tn), essendo tn=nh per n=0 ,1,... . Dopo aver posto y0=5, w0=0e h=0 .1, si riportino i valori delle approssi- mazioni u1,u2eu3cos`ı ottenute. u1=4 .9750, u2=4 .9002, u3=4 .7765 3 ESERCIZIO – 17 pt Si consideri il seguente problema ai limiti: 8< : u00(x)+ Vu 0(x)+ u (x)= f(x) x2(0,1), u(0) = 1 , u0(1) = e, (1) dove V> 0e > 0 sono due parametri. Punto 1) — 3 pt Si approssimi il problema (1) usando il metodo delle di↵erenze finite centrate, partizionando l’intervallo [ a, b ]in N + 1 sottointervalli di uguale ampiezza h= ba N +1 delimitati da N +2 nodi xj= a+jh per j=0 ,1,...,N,N +1. Per l’approssimazione di u0(1) si utilizzi lo schema delle di↵erenze finite all’indietro. Si riportino le equazioni del sistema risultante in forma esplicita definendo la notazione utilizzata e illustrando la procedura seguita. Spazio per risposta lunga Punto 2) — 2 pt Dopo aver risposto al Punto 1), si riportino le espressioni della controparte alge- brica del sistema di equazioni, ovvero del sistema lineare Auh=b, in forma con- densata, dove A2R(N+1) ⇥(N+1) ,uh,b2RN+1,essendo uh=( u1,u2,...,u N+1)T. Spazio per risposta lunga Punto 3) — 3 pt Si pongano per il problema (1) i seguenti dati: V = =1e f(x)= ex.Si approssimi tale problema con il metodo di cui al Punto 1) per h=0 .1. Si riportino: i valori di u1euN+1 con almeno 4 cifre decimali, oltre ai principali comandi Matlab rusati. Spazio per risposta lunga (u1=1 .1090, uN+1 =2 .7930) Punto 4) — 1 pt (***) No Multichance Dopo aver risposto al Punto 3), si utilizzi opportunamente il vettore uhottenuto per approssimare I(u)= Z1 0u(x)dx attraverso la formula dei trapezi composita. Si riportino il valore ottenuto con almeno 4 cifre decimali e i comandi Matlab r usati. Spazio per risposta lunga (1.7488) 4 Punto 5) — 2 pt Con i dati di cui al Punto 3), si risolva il problema per h=0 .1,0.05,0.025 ,0.0125 e, sapendo che la soluzione esatta `e u(x)= ex, si calcolino gli errori corrispondenti eh=maxj=0,...,N +1 |u(xj)uj|; si riportino i risultati con almeno 4 cifre decimali e i principali comandi Matlab rusati. Spazio per risposta lunga ( eh=0 .0747 ,0.0367 ,0.0182 ,0.0091) Punto 6) — 2 pt Si usino gli errori ehcalcolati al Punto 5) per stimare algebricamente l’ordine di convergenza pdel metodo di cui al punto 1 applicato al problema (1). Si illustri schematicamente la procedura seguita per la stima e si commenti il risultato ottenuto alla luce della teoria. Spazio per risposta lunga ( p=1 .0066) Punto 7) — 4 pt (***) No Multichance Si consideri nuovamente il problema (1), ma questa volta con V =1000, =0e f(x)=0. •Quale fenomeno numerico si pu`o verificare approssimando tale problema tramite le di↵erenze finite centrate di cui al Punto 1) con h=0 .1? Perch´e? •Come `e possibile eliminare tale fenomeno numerico sempre usando h=0 .1? •Si implementi in Matlab ril rimedio proposto. Si riportino il valore uN+1 dell’approssimazione cos`ı ottenuta con almeno 4 cifre decimali e i principali comandi Matlab rusati. Spazio per risposta lunga (1 .2745) 5