Aerospace Engineering - Fisica delle Onde

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Formulario Fisica delle Onde Nome Formula Formula Note Equazione di d’Alambert 2D ⧽ⵁ⧱ ⧽⥟ⵁ⽑ ╾ ⥝ⵁ ⧽ⵁ⧱ ⧽⥛ⵁ= ╽ ⥝ ⥝⥌⥓⥖⥊⥐⥛ ⊨ ⥋⥌⥓ ⥓′⥖⥕⥋⥈ ⧱= ⧱(⥟⽒ ⥝⥛ ) funzione che descrive il campo. + per onda regressiva, - per onda progressiva Equazione di d’Alambert 3D ⟚ⵁ⧱⽑ ╾ ⥝ⵁ ⧽ⵁ⧱ ⧽⥛ⵁ= ╽ ⟚ⵁ= ⧽ⵁ ⧽⥟ⵁ⽐ ⧽ⵁ ⧽⥠ⵁ⽐ ⧽ⵁ ⧽⥡ⵁ ⥖⥗⥌⥙⥈⥛⥖⥙⥌ ⥋⥐ ⤹⥈⥗⥓⥈⥊⥌ Onda armonica piana ⧱= ⧱ⴿ⊠⊖⊛ (⥒⥟ ⽑ ⧼⥛ ) ⥒ = ⵁ⸢ ⸝ numero d’onda ⧼ = ╿⧳⥍ = ⵁ⸢ ⷘ = ⥒⥝ pulsazione Lunghezza d’onda e numero d’onda ⧮= ╿⧳ ⥒ Frequenza ⥍ = ⧼ ╿⧳ = ╾ ⥁ T periodo dell’onda Frequenza, velocità e lunghezza d’onda ⧮⥍ = ⥝ Onda armonica piana 3D ⧱= ⧱ⴿ⊠⊖⊛ (⥒㐷✱ ⢏⥙✱⽑ ⧼⥛ ) Il vettore d’onda è diretto come la direzione di propagazione dell’onda Velocità di fase ⥝ⷤ= ⧼ ⥒ La velocità di fase è minore della velocità di gruppo tranne che nei conduttori ideali dove la velocità di gruppo è pari al doppio di quella di fase Un mezzo è non dispersivo s e ⥝ⷤ= ⥝ⷥ Onda in forma esponenziale ⧱= ⧱ⴿ⥌[ⷧ(ⷩⷰⵊ⸫ⷲ )] ⊒⊥⊝ (⥐⧤ )= ⊐⊜⊠ ⧤ ⽐ ⥐⊠⊖⊛ ⧤ Rappresentazione di una funzione mediante analisi di Fourier ⥅(⥟)= ⤮ⴿ⽐ ⿘ ⽯⤮ⷬ⊐⊜⊠ (╿⥕⧳⥟ ╿⤹ )⽐ ⤯ⷬ⊠⊖⊛ (╿⥕⧳⥟ ╿⤹ )⽳ ⵉⷁ ⷬⵋⵀ 2L periodo spaziale della funzione (se la funzione è funzione del tempo si sostituisce 2L con p, periodo temporale) e x con t Coefficienti dell’Analisi di Fourier ⤮ⴿ= ╾ ⤹⾼ ⥅(⥟)⥋⥟ ⷐ ⵊⷐ ⤮ⷬ= ╾ ⤹⾼ ⥅(⥟)⊐⊜⊠ (╿⥕⧳⥟ ╿⤹ )⥋⥟ ⷐ ⵊⷐ ⤯ⷬ= ╾ ⤹⾼ ⥅(⥟)⊠⊖⊛ (╿⥕⧳⥟ ╿⤹ )⥋⥟ ⷐ ⵊⷐ ⤮ⴿ corrisponde al valore medio della funzione sul periodo Serie di Fourier in forma esponenziale ⥅(⥟)= ⿘ ⤰ⷬ⊒⵲(ⵁ⵷ ⶫⶁ ⵁⵛ ) ⵉⷁ ⷬⵋⵊⷁ ⤰ⷬ= ╾ ╿⤹⾼ ⥅(⥟)⊒⊥⊝ (⥐⢏╿⧳⥕⥟ ╿⤹ )⥋⥟ ⷐ ⵊⷐ Integrale di Fourier per funzioni aperiodiche ⥅(⥟)= ╾ ◉╿⧳⾼ ⤸(⥒)⊒⊥⊝ (⥐⥒⥟ )⥋⥒ ⷁ ⵊⷁ ⤸(⥒) è la trasformata di Fourier di ⥅(⥟) e ⥒ = ⵁ⸢ ⸝ è la frequenza spaziale che varia con continuità Trasformata di Fourier di una funzione aperiodica ⤸(⥒)= ╾ ◉╿⧳⾼ ⥅(⥟)⊒⊥⊝ (⽑⥐⥒⥟ )⥋⥟ ⵉⷁ ⵊⷁ Relazione tra larghezza dell’impulso e banda di frequenze della trasformat a di Fourier ␪⧼␪⥛= ╿⧳ ␪⥒␪⥟= ╿⧳ Più stringo l’impulso, più si allarga la trasformata di Fourier e viceversa Laplaciano in coordinate sferiche ⟚ⵁ⠟ ╾ ⥙ⵁ ⧽ ⧽⥙ (⥙ⵁ⧽ ⧽⥙ ) Vale solo per problemi a simmetria sferica Onda sferica ⧱= ⧱ⴿ ⥙ ⊠⊖⊛ (⥒⥙ ⽑ ⧼⥛ ) A grandi distanze può essere approssimata da un’onda piana armonica perché la curvatura diminuisce all’aumentare della distanza e la sfera di può approssimare col suo piano tangente Somma di due onde piane con frequenza simile e stessa ampiezza ⧱= ⧱ⵀ⽐ ⧱ⵁ= = ╿⧱ⴿ⊐⊜⊠ (␪⥒ ╿ ⥟⽑ ␪⧼ ╿ ⥛)⊠⊖⊛ (⥒⥟ ⽑ ⧼⥛ ) ⥒ = ⥒ⵀ⽐ ⥒ⵁ ╿ ⏬⧼ = ⧼ⵀ⽐ ⧼ⵁ ╿ ␪⥒= ⥒ⵁ⽑ ⥒ⵀ⏬␪⧼ = ⧼ⵁ⽑ ⧼ⵀ Velocità di gruppo di un pacchetto d’onde ⥝ⷥ= ␪④ ␪⊘ = ⥋⧼ ⥋⥒ È diversa dalla velocità di fase se il mezzo è dispersivo, ovvero ⥝ⷤ= ⥝ⷤ(⥍) Velocità di un’onda trasversale in una corda ⥝= √⥁ ⧯ T tensione della corsa ⧯ densità lineare della corda Velocità di un’onda longitudinale in una barra solida ⥝ = √⥆ ⧴ Y modulo di Young [⤻␋⥔ ⵁ] ⧴ densità della barra Velocità di un’onda trasversale in una barra solida ⥝ = √⤴ ⧴ G modulo di taglio [⤻␋⥔ ⵁ] ⧴ densità della barra Velocità di un’onda longitudinale in un gas ⥝ = √ ⧥ ⧴ⴿ = √ ⥗⧦ ⧴ⴿ = √⧦⤿ ⤽ⷫ ⥁ ⧥ modulo di comprimi bilità adiabatica ⧦= ⷡ⻦ ⷡ⻬ (1.4 per aria) ⤿ costante universale dei gas ⤽ⷫ peso molecolare del gas T temperatura ⧴ⴿ densità iniziale ⥗ pressione La velocità in un gas perfetto dipende solo dalla temperatura Variazione della velocità del suono in un gas con la temperatura ⥝ ⥝ⴿ = √ ⥁ ⥁ⴿ Velocità di un’onda longitudinale in un fluido ⥝ = √⧥ ⧴ⴿ ⧥ modulo di elasticità del fluido In un fluido si possono propagare solo onde longitudinali Effetto Doppler per onde meccaniche supponendo ⥝ⷱ< ⥞ ⥍′= ⥞ ⽐ ⥝ⴿ⊐⊜⊠ ⧫ⴿ ⥞ ⽑ ⥝ⷱ⊐⊜⊠ ⧫ⷱ ⥍ w velocità dell’onda ⥝ⴿ velocità osservatore ⥝ⷱ velocità sorgente ⥍ frequenza reale ⥍✭ frequenza percepita ⧫ⴿ angolo tra la velocità dell’osservatore e la congiungente S –O ⧫ⷱ angolo tra la velocità della sorgente e la congiung ente S –O Se l’osservatore è fermo e ⧫ⷱ= ▆╽◄ allora ⥍ = ⥍✭ Semi -ampiezza del cono di Mach per effetto Doppler con ⥝ⷱ> ⥞ ⊠⊖⊛ ⧤ = ⥞ ⥝ⷱ ⧤ semi -angolo di apertura del cono di Mach (inviluppo dei fronti d’onda generati) Potenza istantanea di un’onda meccanica ⤽ = ⤮⧴⥝ ⧼ⵁ⧱ⴿⵁ⊐⊜⊠ ⵁ(⥒⥟ ⽑ ⧼⥛ ) A sezione del materiale attraversata ⧴ densità del materiale Potenza media di un’onda meccanica < ⤽ >= ╾ ⥁⾼ ⤽(⥛)⥋⥛ ⷘ ⴿ = ╾ ╿⤮⧴⥝ ⧼ⵁ⧱ⴿⵁ Densità di energia trasmessa da un’onda meccanica (energia per unità di volume) ⥌= ⣎⤽⣏ ⤮⥝ = ╾ ╿⧴⧼ⵁ⧱ⴿⵁ [⤷␋⥔ ⵂ] Intensità istantanea trasmessa da un’onda meccanica ⤶= ⤽ ⤮ = ⧴⥝ ⧼ⵁ⧱ⴿⵁ⊐⊜⊠ ⵁ(⥒⥟ ⽑ ⧼⥛ ) Potenza per unità di superficie attraversata Intensità media trasmessa da un’onda meccanica ⣎⤶⣏= ╾ ╿⧴⥝ ⧼ⵁ⧱ⴿⵁ [⥄ ␋⥔ ⵁ] Intensità in decibel ⤶ⷢⷠ = ╾╽ ⊙⊜⊔ ⵀⴿ ⤶ ⤶ⷱ ⤶ⷱ= ╾╽ ⵊⵀⵁ ⥄ ⥔ ⵊⵁ ⤶ⷢ= ╾ ⥄ ⥔ ⵊⵁ L’unità di misura è il decibel Valor medio della pressione sonora in un gas ⣎⥗ⵁ⣏= ╾ ╿⧴ⵁ⥝ⵁ⧼ⵁ⧱ⴿⵁ= ╾ ╿⧥ⵁ⥒ⵁ⧱ⴿⵁ ⥒ = ⧼␋⥝ Intensità media per le onde sonore in un gas ⣎⤶⣏= ⣎⥗ⵁ⣏ ⧴⥝ P è la pressione sonora, ovvero quella relativa (NON assoluta) alla pressione di equilibrio in un gas Pressione sonora in decibel per le onde di pressione nei gas ⤽ⷢⷠ = ╿╽ ⊙⊜⊔ ⵀⴿ ⥗ ⥗ⷫⷧⷬ ⥗ⷫⷧⷬ = ╿⢏╾╽ ⵊⵄ ⤽⥈ ⤽ⷢⷭⷪ = ╿╽ ⤽⥈ Anche qui p e ⥗ⷫⷧⷬ è la pressione sonora Impedenza associata ad un materiale attraversato da un’onda ⥡= ⤳ ⧽⧱ ⧽⥛ L’impedenza esprime il rappo rto tra l’agente esterno che opera sul sistema (forza) e la reazione del sistema a tale agente (velocità) Impedenza associata ad una corda ⥡= ⥁ ⥝ = ⧯⥝ = ⾰⥁⧯ ⥁ tensione della corda ⧯ densità lineare della corda Impedenza associata ad una barra solida attraversata da onde longitudinali ⥡= ⤮⧴⥝ = ⤮⥆ ⥝ = ⤮⾰⥆⧴ Y modulo di Young Impedenza per le onde sonore in un gas ⥡= ⧥ ⥝ = ⾰⧥⧴ = ⧴⥝ ⧥ modulo di comprimibilità adiabatica di un gas Intensità media e impedenza per le onde sonore in un gas ⣎⤶⣏= ╾ ╿⥡⧼ⵁ⧱ⴿⵁ= ⣎⥗ⵁ⣏ ⥡ Rapporti di ampiezze per onda meccanica riflessa e incidente ⤮ⷰ ⤮ⷧ = ⥒ⷧ⽑ ⥒ⷲ ⥒ⷧ⽐ ⥒ⷲ = ⥝ⵁ⽑ ⥝ⵀ ⥝ⵁ⽐ ⥝ⵀ = ⥡ⵀ⽑ ⥡ⵁ ⥡ⵀ⽐ ⥡ⵁ ⥒ⷧ= ⥒ⷰ (numeri d’onda) Se ⷅ⻨ ⷅ⻟< ╽, l’onda riflessa è sfasata di ⧳ rispetto all’onda incidente (sono in opposizione di fase) Rapporti di ampiezze per onda meccanica trasmessa e incidente ⤮ⷲ ⤮ⷧ = ╾⽐ ⤮ⷰ ⤮ⷧ = ╿⥒ⷧ ⥒ⷧ⽐ ⥒ⷲ = ╿⥝ⵁ ⥝ⵀ⽐ ⥝ⵁ = ╿⥡ⵀ ⥡ⵀ⽐ ⥡ⵁ ⷅ⻪ ⷅ⻟> ╽ SEMPRE Coefficiente di trasmissione per onde meccaniche ⥁ = ⤶ⷲ ⤶ⷧ = ⥡ⵁ⤮ⷲⵁ ⥡ⵀ⤮ⷧⵁ= ▁⥡ⵀ⥡ⵁ (⥡ⵀ⽐ ⥡ⵁ)ⵁ Coefficiente di riflessione per onde meccaniche ⤿ = ⤶ⷰ ⤶ⷧ = ⥡ⵀ⤮ⷰⵁ ⥡ⵀ⤮ⷧⵁ= (⥡ⵀ⽑ ⥡ⵁ ⥡ⵀ⽐ ⥡ⵁ ) ⵁ ⤶ⷧ= ⤶ⷰ⽐ ⤶ⷲ (Principio di conservazione dell’energia) ⤿ ⽐ ⥁ = ╾ (Principio di conservazione dell’energia) Onde stazionarie in una corda ⧱= ╿⧱ⴿ⊠⊖⊛ (⥒⥟ )⊐⊜⊠ (⧼⥛ ) Derivano dalla somma di un’onda progressiva e di una regressiva con uguale ampiezza e uguale frequenza mediante formule di prostaferesi Un’onda stazionaria non trasmette potenza (il valor medio della potenza è nullo in quanto ⥗⽕ ⊠⊖⊛ (⧼⥛ )⊐⊜⊠ (⧼⥛ )) Ventri di un’onda stazionaria ⥒⥟⚲= (╿⥔ ⽐ ╾)⧳ ╿ Punti di massima ampiezza Due ventri distano ⸝ ⵁ Nodi di un’onda stazionaria ⥒⥟⚲= ⥔⧳ Punti ad ampiezza nulla Due nodi distano ⸝ ⵁ Un nodo e un ventre distano ⸝ ⵃ Lunghezze d’onda discrete di un’onda stazionaria in una corda fissata agli estremi ⧮= ╿⤹ ⥕ ⥕ = ╾⏬╿⏬▀⏬⏰ Quella per n=1 è detta armonica fondamentale Frequenze discrete di un’onda stazionaria in una cord a fissata agli estremi ⥍ = ⥕⥝ ╿⤹ ⥕ = ╾⏬╿⏬▀⏬⏰ Lunghezze d’onda discrete di un’onda stazionaria in una corda con un estremo libero (o uno strumento a fiato) ⧮= ▁⤹ ╿⥕⽐ ╾ ⥕ = ╽⏬╾⏬╿⏰ Frequenze discrete di un’onda stazionaria in una corda con un estremo libero (o uno strumento a fiato) ⧮= (╿⥕⽐ ╾)⥝ ▁⤹ ⥕ = ╽⏬╾⏬╿⏬⏰ Le onde armoniche sono un sistema ortogonale completo: con una loro opportuna combinazione lineare si può ottenere un’onda viaggiante Riscrittura di un’onda viaggiante come combinazione di onde stazionarie ⧱= ⤮⊐⊜⊠ (⥒⥟ )⊐⊜⊠ (⧼⥛ ⽐ ⧤) ⽐ ⤯ ⊠⊖⊛ (⥒⥟ )⊠⊖⊛ (⧼⥛ ⽐ ⧥) Se ⤯ = ⽒⤮ si ottiene un’onda viaggiante del tipo ⧱= ⤮⊐⊜⊠ (⥒⥟ ⽒ ⧼⥛ ⽐ ⧹) Equazioni di Maxwell Legge di Gauss ⿆ ⤲㐷✱⢏⥕㐷✱⥋⥀ ⷗ = ⤾ ⧨ⴿ Q carica interna alla superficie chiusa considerata ⟚㐷㐷✱⢏⤲㐷✱= ⧴ ⧨ⴿ ⧴ densità di carica nel volume racchiuso dalla superficie Legge di Gauss per il campo magnetico ⿆⤯㐷✱⢏⥕㐷✱⥋⥀ ⷗ = ╽ Il flusso del campo magnetico è sempre nullo, ovvero non esistono monopoli magnetici ⟚㐷㐷✱⢏⤯㐷✱= ╽ Legge di Faraday - Neumann -Lentz ⿆ ⤲㐷✱⢏⥋⥓✱ ⶆ = ⽑ ⧽⨁ⷆ㐷✱ ⧽⥛ ⨁ⷆ㐷✱ è il flusso della superficie attraverso la linea chiusa su cui si calcola la circolazione La circolazione di E è anche detta forza elettromotrice ⟚㐷㐷✱⽓ ⤲㐷✱= ⽑ ⧽⤯㐷✱ ⧽⥛ Legge di Ampere - Maxwell ⿆ ⤯㐷✱⢏⥋⥓✱ ⶆ = ⧯ⴿ⤶⽐ ⧯ⴿ⧨ⴿ ⧽⧹ⷉ㐷✱ ⧽⥛ I è la somma algebrica delle correnti che attraversano la linea chiusa ␩ ⟚㐷㐷✱⽓ ⤯㐷✱= ⧯ⴿ⤷✱⽐ ⧯ⴿ⧨ⴿ ⧽⤲㐷✱ ⧽⥛ ⤷✱ è il vettore densità di corrente e si misura in [⤮⥔ ⵊⵁ] Equazioni delle onde elettromagnetiche ⟚ⵁ⤲㐷✱⽑ ⧯ⴿ⧨ⴿ ⧽ⵁ⤲㐷✱ ⧽⥛ⵁ= ⟚(⧴ ⧨ⴿ )⽐ ⧯ⴿ ⧽⤷✱ ⧽⥛ Si ricava dalla legge di Faraday ⟚ⵁ⤯㐷✱⽑ ⧯ⴿ⧨ⴿ ⧽ⵁ⤯㐷✱ ⧽⥛ⵁ= ⽑⧯ⴿ⟚㐷㐷✱⽓ ⤷✱ Deriva dalla legge di Ampere -Maxwell Velocità della luce ⥊= ╾ ⾰⧯ⴿ⧨ⴿ ⥕⥌⥓ ⥝⥜⥖⥛⥖ ⥝ = ╾ ⾰⧯ⴿ⧯ⷰ⧨ⴿ⧨ⷰ = ⥊ ◉⧨ⷰ Quindi l’indice di rifrazione dipende dalla frequenza in quanto ⥕ = ◉⧨ⷰ (dispers ione) Relazione tra campo elettrico e magnetico di un’onda piana che si propaga in un mezzo isolante ⤲㐷✱= ⥝⤯㐷✱⽓ ⥜㐷✱ ⥜㐷✱ è la direzione di propagazione dell’onda, diversa dalla direzione di oscillazione dei due campi La direzione di propagazione e i due campi formano una terna destra ⤯㐷✱= ⥜㐷✱⽓ ⤲㐷✱ ⥝ 〶⤯㐷✱〶= 〶⤲㐷✱〶 ⥝ Campo elettrico di un’onda elettromagnetica piana in un mezzo isolante ⤲㐷✱= ⤲㐷✱ⴿ⊐⊜⊠ [⥒⥟ ⽑ ⧼⥛ ] Densità di energia elettrica ⥜ⷉ= ╾ ╿⧨ⴿ⤲ⵁ [⤷⥔ ⵊⵂ] Densità di energia magnetica ⥜ⷠ= ╾ ╿ ⤯ⵁ ⧯ⴿ Energia Elettromagnetica in un volume di materia ⥄ = ⾼ (╾ ╿⧨ⴿ⤲ⵁ⽐ ╾ ╿ ⤯ⵁ ⧯ⴿ )⥋⥃ ⷚ Intensità del campo magnetico ⤵㐷㐷✱= ⤯㐷✱ ⧯ⴿ Potenza elettromagnetica totale in un volume di materia ⤽ = ⾼ ⤷✱⢏⤲㐷✱⥋⥃ ⷚ = ⽑ ⧽⥄ ⧽⥛ ⽑ ⾼ ⟚㐷㐷✱⢏(⤲㐷✱⽓ ⤵㐷㐷✱)⥋⥃ ⷚ Relazione tra energia e potenza elettromagnetica ⽑ ⧽⥄ ⧽⥛ = ⤽ ⽐ ⿆ (⤲㐷✱⽓ ⤵㐷㐷✱)⢏⥕㐷✱⥋␸ ⶕ Vettore di Poynting associato all’intensità di un’onda elettromagnetica ⥀✱= ⤲㐷✱⽓ ⤵㐷㐷✱= ⤲㐷✱⽓ ⤯㐷✱ ⧯ⴿ = ⤲ⴿⵁ ⥝⧯ⴿ ⊐⊜⊠ ⵁ[⥒⥡ ⽑ ⧼⥛ ]⥜⿧ⷸ È diretto lungo la direzione di propagazione [⥄ ⥔ ⵊⵁ] Intensità media di un’onda elettromagnetica ⣎⥀⣏= ╾ ╿␌⤲␌␌⤵␌= ╾ ╿ ⤲ⴿⵁ ⥝⧯ⴿ = ╾ ╿√ ⧨ⴿ ⧯ⴿ ⤲ⴿⵁ ⥝ = ⥊ ⥕ ⥐⥕ ⥜⥕ ⥔⥌ ⥡⥡⥖ Densità di quantità di moto di un’onda elettromagnetica ⥎✱= ⤱㐷㐷✱⽓ ⤯㐷✱ ⤱㐷㐷✱= ⧨ⴿ⧨ⷰ⤲㐷✱ ⥝⥌⥛⥛⥖⥙⥌ ⥚⥗⥖⥚⥛⥈⥔⥌⥕⥛⥖ ⥌⥓⥌⥛⥛⥙⥐⥊⥖ ⤯㐷✱= ⧯ⴿ⧯ⷰ⤵㐷㐷✱ Densità di quantità di moto di un’onda elettromagnetica nel vuoto ⥎✱= ⧨ⴿ⧯ⴿ⤲㐷✱⽓ ⤵㐷㐷✱= ⧨ⴿ⧯ⴿ⥀✱= ⥀✱ ⥊ⵁ Quantità di moto trasmessa da un’onda elettromagnetica ad una superficie A nel vuoto ⤴ = ⥎⥊ ␪⥛⤮ Forza media trasmessa da un’onda elettromagnetica ad una superficie A nel vuoto ⣎⤳⣏= ⤴ ␪⥛= ⥎⥊⤮ Pressione di radiazione per uno schermo assorbente per inc idenza normale ⧳⷟ⷱⷱ = ⣎⤳⣏ ⤮ = ⥎⥊ = ⥀ ⥊ Pressione di radiazione per uno schermo riflettente per incidenza normale ⧳ⷰⷧⷤⷪ = ╿⧳⷟ⷱⷱ = ╿⥀ ⥊ Pressione di radiazione per uno schermo assorbente nel caso di radiazione diffusa ⧳ⷢⷧⷤⷤ = ╾ ▀⧳⷟ⷱⷱ Pressione di radiazione e densità di energia nel caso di incidenza normale ⣎⥜⣏= ╾ ╿ ⧨ⴿ⤲ⴿⵁ= ⣎⥀⣏ ⥊ = ⧳⷟ⷱⷱ Legge di Snel ⥕ⵀ⊠⊖⊛ ⧫ⷧ= ⥕ⵁ⊠⊖⊛ ⧫ⷲ ⥝ⵁ⊠⊖⊛ ⧫ⷧ= ⥝ⵀ⊠⊖⊛ ⧫ⷲ ⥒ⷧ⊠⊖⊛ ⧫ⷧ= ⥒ⷲ⊠⊖⊛ ⧫ⷲ Angolo limite nel caso ⥕ⵁ< ⥕ⵀ ⊠⊖⊛ ⧫ⷧ= ⥕ⵁ ⥕ⵀ Al di là di questo angolo si ha riflessione totale Equazione del moto dell’elettrone eccitato da un’onda elettromagnetica ⥔ ⥋ⵁ⥟ ⥋⥛ ⽐ ⥔⧦ ⥋⥟ ⥋⥛ ⽐ ⥒⥟ = ⽑⥌⤲ⴿ⊒⊥⊝ [⥐(⧼⥛ ⽑ ⥒⥟ )] Frequenza di oscillazione dell’elettrone ⧼ⴿ= √ ⷩ ⷫ La sua soluzione a regime è ⥟ = ⥅ ⢏⊒⊥⊝ [⥐(⧼⥛ ⽑ ⥒⥟ )] Ampiezza di oscillazione dell’elettrone ⥅ = ⽑ ⥌⤲ⴿ ⥔ (⧼ⴿⵁ⽑ ⧼ⵁ⽐ ⥐⧦⧼ ) Il termine immaginario è legato all’assorbimento dell’onda elettromagnetica nel mezzo ⧼ è la frequenza dell’onda e.m. Momento di dipolo elettrico ⥗ = ⽑⥌⥟ = ⧤⤲ ⧤ polarizzabil ità Legge di Clausius -Mossotti ⧨ⷰ⽑ ╾ ⧨ⷰ⽐ ╿= ⥕ⵁ⽑ ╾ ⥕ⵁ⽐ ╿= ⤻⧤ ▀⧨ⴿ N è il numero di atomi per unità di volume Polarizzabilità e frequenza ⧤ = ⥌ⵁ ⥔ (⧼ⴿⵁ⽑ ⧼ⵁ⽐ ⥐⧦⧼ ) Indice di rifrazione e frequenza ⥕ⵁ⽑ ╾ ⥕ⵁ⽐ ╿= ⤻ ▀⧨ⴿ ⥌ⵁ ⥔ (⧼ⴿⵁ⽑ ⧼ⵁ⽐ ⥐⧦⧼ )ぅ ⥕ = ⥕ⷰ⽐ ⥐⥕ⷧ ⥕ⷧ< ╽ Onda elettromagnetica con numero d’onda immaginario ⤲ = ⤲ⴿ⥌ ⸫ⷡⷬ⻟ⷶ⥌ⷧ[⸫ⷲ ⵊ⸫ⷡⷬ⻨ⷶ] ⥌ ⼣⻙ⷬ⻟ⷶ rende conto dell’assorbimento Indice di rifrazione in condizioni lontane dalla risonanza (dispersione normale) ⥕ = ╾⽐ ⤻⥌ⵁ ╿⧨ⴿ⥔ ⧼ⴿⵁ(╾⽐ ⧼ⵁ ⧼ⴿⵁ)= ⤮ ⽐ ⤯⧼ⵁ Formule di Fresnel per un’onda elettromagnetica tra due mezzi Trasversale Magnetico ⥙⸢= ⤲ⷰ ⤲ⷧ = ⥕′⊐⊜⊠ ⧫⽑ ⥕⊐⊜⊠ ⧫′ ⥕′⊐⊜⊠ ⧫⽐ ⥕⊐⊜⊠ ⧫′ Apici indicano il secondo mezzo ⥛⸢= ⤲ⷰ ⤲ⷧ = ╿⥕⊐⊜⊠ ⧫ ⥕′⊐⊜⊠ ⧫⽐ ⥕⊐⊜⊠ ⧫′ Trasversale Elettrico ⥙⸤=ⷬ⵬⵸⵼ ⸚ⵊⷬ′⵬⵸⵼ ⸚′ ⷬ⵬⵸⵼ ⸚ⵉⷬ′⵬⵸⵼ ⸚′ Apici indicano il secondo mezzo ⥛⸤= ╿⥕⊐⊜⊠ ⧫ ⥕⊐⊜⊠ ⧫⽐ ⥕′⊐⊜⊠ ⧫′ Potenze onda incidente, riflessa, trasmessa ⤽ⷧ= ⤶ⷧ⤮⊐⊜⊠ ⧫ ⤽ⷰ= ⤶ⷰ⤮⊐⊜⊠ ⧫ ⤽ⷲ= ⤶ⷲ⤮⊐⊜⊠ ⧫✭ ⤶ⷧ= ⵀ ⵁ ⷉ⻟⸹ⷬ ⷡ⸞⸷ ecc. Coefficiente di Riflessione ⤿⸢= ⤽ⷰ ⤽ⷧ = ⤶ⷰ ⤶ⷧ = (⤲ⷰ ⤲ⷧ ) ⵁ = ⥙⸢ⵁ ⤿⸤≠ ⤿⸢ ⥁⸤≠ ⥁⸢ ⤿ ⽐ ⥁ = ╾ (⥊⥖⥕⥚⥌⥙⥝⥈⥡⥐⥖⥕⥌ ⥌⥕⥌⥙⥎⥐⥈ ) ⤿⸤= ⤽ⷰ ⤽ⷧ = ⤶ⷰ ⤶ⷧ = (⤲ⷰ ⤲ⷧ ) ⵁ = ⥙⸤ⵁ Coefficiente di Trasmissione ⥁⸢= ⤽ⷲ ⤽ⷧ = ⤶ⷲ⊐⊜⊠ ⧫′ ⤶ⷧ⊐⊜⊠ ⧫ = ⥕′⊐⊜⊠ ⧫′ ⥕⊐⊜⊠ ⧫ ⥛⸢ⵁ ⥁⸤= ⤽ⷲ ⤽ⷧ = ⤶ⷲ⊐⊜⊠ ⧫′ ⤶ⷧ⊐⊜⊠ ⧫ = ⥕′⊐⊜⊠ ⧫′ ⥕⊐⊜⊠ ⧫ ⥛⸤ⵁ Coefficiente di riflessione per incidenza normale ⤿ = ⤿⸤= ⤿⸢= (⥕′⽑ ⥕ ⥕′⽐ ⥕) ⵁ Coefficeinte di trasmissione per incidenza normale ⥁ = ⥁⸤= ⥁⸢= ▁⥕′⥕ (⥕′⽐ ⥕)ⵁ Angolo di Brewster ⊡⊎⊛ ⧫ⷆ= ⥕ⵁ ⥕ⵀ All’angolo di Brewster si ha ⥙⸢= ╽, ovvero non si ha riflessione della componente trasversale magnetica che viene trasmessa completamente, inoltre ⧫⽐ ⧫′= ▆╽◄ Coefficiente di riflessione per la componente trasversale elettrica all’angolo di Brewster ⤿⸤⏬ⷆⷰⷣⷵⷱⷲⷣⷰ = (⥕′ⵁ ⽑ ⥕ⵁ ⥕′ⵁ ⽐ ⥕ⵁ) ⵁ Il metodo ha scarsa efficienza per polarizzare la luce Legge di Fresnel e Snel ⥙⸢= ⊡⊎⊛ (⧫⽑ ⧫′) ⊡⊎⊛ (⧫⽐ ⧫′) Se n ╽ fino all’angolo di Brewster, lì si annulla e poi diventa negativo (opposto se n>n’) ⥙⸤= ⽑ ⊠⊖⊛ (⧫⽑ ⧫′) ⊠⊖⊛ (⧫⽐ ⧫′) Se nn’ ⥙⸤> ╽ Legge di Ohm in forma locale ⤷✱= ⧵⤲㐷✱ Equazione di Helmoltz per onde e.m. nei conduttori ⥋ⵁ⥍ ⥋⥡ⵁ⽐ (⧯⧨ ⧼ⵁ⽑ ⥐⧼⧯⧵ )⥍ = ╽ ⥋ⵁ⥍ ⥋⥡ⵁ⽐ ⧺ⵁ⥍ = ╽ Si è supposto ⤲(⥡⏬⥛)= ⥍(⥡)⥌ⷧ⸫ⷲ per risolvere l’equazione delle onde elettromagnetiche Campo elettrico nei conduttori ⤲(⥡⏬⥛)= ⤮⥌[ⷧ(⸫ⷲ ⵊ⸩ⷸ )] Il vettore d’onda è complesso Vettore d’onda complesso nei conduttori ⧺ⷰ= √⧯⧨ ╿ ⧼ [√╾⽐ (⧵ ⧨⧼ ) ⵁ ⽐ ╾] ⵀⵁ = ⥒ ⧺ⷧ= ⽑√⧯⧨ ╿ ⧼ [√╾⽐ (⧵ ⧨⧼ ) ⵁ ⽑ ╾] ⵀⵁ = ⽑⬈ Indice di rifrazione nei conduttori ⥕ = ⥊⧺ ⧼ ⥕ⷰ= ⥊ ⧼ ⧺ⷰ= √⧨ⷰ ╿ [√╾⽐ (⧵ ⧨⧼ ) ⵁ ⽐ ╾] ⵀⵁ Dato che n e ⧺ dipendono dalla frequenza, il conduttore è un mezzo dispersivo Dato che ⧯ⷰ≈ ╾⏬ allora ⧯ ≈ ⧯ⴿ ⥕ⷧ= ⥊ ⧼ ⧺ⷧ= ⽑√⧨ⷰ ╿ [√╾⽐ (⧵ ⧨⧼ ) ⵁ ⽑ ╾] ⵀⵁ Velocità di fase in un conduttore ⥝ⷤ= ⧼ ⥒ = ⧼ ⧺ⷰ = ⥊ √⧨ⷰ ╿ [√╾⽐ (⧵ ⧨⧼ ) ⵁ ⽐ ╾] ⵀⵁ Se si considera un isolante (⧵ ❧ ╽), si ritrova la nota relazione ⥝ⷤ= ⷡ ◉⸗⻨ Velocità di fase in un buon conduttore ⥝ⷤ❧ √ ╿⧼ ⧯ⴿ⧵ Un buon conduttore è tale che ⧵ ⠳ ⧨⧼ Si deduce che n in un buon conduttore decresce all’aumentare della frequenza e quindi siamo in DISPERSIONE ANOMALA Velocità di gruppo in un buon conduttore ⥝ⷥ= ╿√ ╿⧼ ⧯ⴿ⧵ = ╿⥝ⷤ Nei materiali isolanti invece ⥝ⷤ< ⥝ⷥ, è dovuto alla dispersione anomala Campo elettrico in un conduttore ⤲ = ⤮⥌[ⷧ(⸫ⷲ ⵊ⸩ⷸ )] = ⤮⥌ⵊ⬈ⷸ ⥌ⷧ[⸫ⷲ ⵊⷩⷸ ] ⤮⥌ⵊ⬈ⷸ fa riferimento all’assorbimento dell’onda nel mezzo Profondità di pelle nei conduttori ⥋ = ╾ ⬈ È la distanza entro il conduttore alla quale l’ampiezza del campo elettrico dell’onda e.m. si è ridotta di un fattore e Profondità di pelle per i buoni condutt ori ⥋ ❧ √ ╿ ⧯ⴿ⧵⧼ L’onda si esaurisce dopo ▁⥋⽕ ▂⥋ Sfasamento tra componente elettrica e componente magnetica in un conduttore ⊡⊎⊛ ⧹ = ⽑ ⬈ ⥒ = ⧺ⷧ ⧺ⷰ Potenza totale emessa da una sorgente oscillante in vuoto (irraggiamento) ⤽ = ▁⧳⥙ⵁ⣎⥀⣏= ⥊⥖⥚⥛ Vettore di Poynting decresce come ⵀ ⷰ⸹, mentre E e H come ⵀ ⷰ Campo elettrico causato da un dipolo oscillante in una propagazione radiale ⤲ = ⤲⸚= ⤮(⧼⏬⥊⏬⥗) ▁⧳⧨ⴿ⥙ ⥍(⧫)⊒⊥⊝ [⥐(⧼⥛ ⽑ ⥒⥙ )] p è il momento di dipolo elettrico Campo magnetico causato da un dipo lo oscillante in una propagazione radiale ⤵ = ⤵⸰ = ⧨ⴿ⥊⤲ = ⤲ ⥊⧯ⴿ = ⥊⢏⤮(⧼⏬⥊⏬⥗) ▁⧳⥙ ⥍(⧫)⊒⊥⊝ [⥐(⧼⥛ ⽑ ⥒⥙ )] Ampiezza nel caso di irraggiamento con propagazione radiale ⤮ = ⥗⧼ⵁ ⥊ⵁ Campo elettrico causato da un dipolo oscillante in una propagazione radial e ⤲ = ⤲⸚= ⽑ ⥗⧼ⵁ⊠⊖⊛ ⧫ ▁⧳⧨ⴿ⥊ⵁ⥙ ⊒⊥⊝ [⥐(⧼⥛ ⽑ ⥒⥙ )] Campo magnetico causato da un dipolo oscillante in una propagazione radiale ⤵ = ⤵⸰ = ⽑ ⥗⧼ⵁ⊠⊖⊛ ⧫ ▁⧳⥊⥙ ⊒⊥⊝ [⥐(⧼⥛ ⽑ ⥒⥙ )] Valor medio del vettore di Poynting per irraggiamento radiale ⣎⥀⣏= ╾ ╿␌⤲␌␌⤵␌= ⥗ⵁ⧼ⵃ⊠⊖⊛ ⵁ⧫ ▀╿ ⧳ⵁ⧨ⴿ⥊ⵂ⥙ⵁ Potenza media per irraggiamento radiale ⤽ = ⥗ⵁ⧼ⵃ ╾╿ ⧳⧨ⴿ⥊ⵂ Potenza irraggiata e accelerazione per un dipolo ruotante attorno al centro di massa su una circonferenza di diametro d ⤽ = ⥈ⵁ⥘ⵁ ▀⧳⧨ⴿ⥊ⵂ Formula di Larmor ⤽ = ⥈ⵁ⥘ⵁ ▃⧳⧨ⴿ⥊ⵂ Una carica in moto accelerato irraggia potenza elettromagnetica Effetto Doppler elettromagnetico nel vuoto ⥍′= ╾ ╾⽑ ⧥⊐⊜⊠ ⧫ⷱ ⥍ ⧥ = ⥝ⷱ ⥊ Variazione della frequenza emessa a causa di effetti relativistici ⥍ = ⾰╾⽑ ⧥ⵁ⥍ⴿ ⥍ⴿ frequenza emessa dalla sorgente quando essa è ferma Correzione al secondo ordine per tener conto dell’effetto doppler trasversale ⥍′= ⾰╾⽑ ⧥ⵁ ╾⽑ ⧥⊐⊜⊠ ⧫ⷱ ⥍ⴿ ≈ (╾⽐ ⧥⊐⊜⊠ ⧫ⷱ⽑ ╾ ╿⧥ⵁ)⥍ⴿ ⥍′≠ ⥍ⴿ anche se ⧫ⷱ= ▆╽◄ Interferenza tra due so rgenti distinte ⤶= ⤶ⵀ⽐ ⤶ⵁ⽐ ⤶ⵀⵁ = ⤶ⵀ⽐ ⤶ⵁ⽐ ╿⾰⤶ⵀ⤶ⵁ⊐⊜⊠ ⧤⊐⊜⊠ [⥒(⥙ⵁ⽑ ⥙ⵀ)⽐ ⧹] Condizioni per interferenza: • Frequenze uguali • Campi elettrici non ortogonali • Sorgenti coerenti (differenza di fase costante) Interferenza tra due sorgenti distinte con stessa intensità e vibranti nello stesso piano ⤶= ╿⤶ⴿ(╾⽐ ⊐⊜⊠ [⥒(⥙ⵁ⽑ ⥙ⵀ)⽐ ⧹]) L’intensità oscilla tra ▁⤶ⴿ ⥌ ╽ con valor medio ╿⤶ⴿ Per la formula generale basta moltiplicare il coseno per ⊐⊜⊠ ⧤ Condizione di interferenza costruttiva ⥒(⥙ⵁ⽑ ⥙ⵀ)= ╿⥔⧳ ⥙ⵁ⽑ ⥙ⵀ= ⥔⧮ L’intensità si ridistribuisce su degli iperboloidi Condizione di interferenza distruttiva ⥒(⥙ⵁ⽑ ⥙ⵀ)= (╿⥔ ⽐ ╾)⧳ ⥙ⵁ⽑ ⥙ⵀ= (╿⥔ ⽐ ╾)⧮ ╿ Condizione di interferenza costruttiva per l’esperimento di Young ⊠⊖⊛ ⧫ = ⥔ ⧮ ⥈ a è la distanza tra le fenditure Condizione di interferenza distruttiva per l’esperimento di Young ⊠⊖⊛ ⧫ = (╿⥔ ⽐ ╾) ⧮ ╿⥈ La distanza tra due frange scure è ⸝ ⷟ Lunghezza di coerenza di una sorgente ⥓ⷡ= ⧷ⷡ⥊ ⧷ⷡ è il tempo di coerenza della sorgente (durata media di un treno d’onda) La lunghezza di coerenza si misura con un interferometro Tempo di coerenza e banda di frequenza ⧷ⷡ= ╾ ␪⧰ Per onde monocromatiche piane ideali ␪⧰= ╽⏬⥘⥜⥐⥕⥋⥐ ⧷ⷡ⏬⥓ⷡ⏬❧ ⽐◆ Distribuzione di intensità per l’esperienza di Young ideale ⤶= ╿⤶ⴿ[╾⽐ ⊐⊜⊠ ⥒⥓ ] ⥓= ⥙ⵁ⽑ ⥙ⵀ differenza di cammino Distribuzione di intensità per l’esperienza di Young tenendo conto della probabilità di sovrapposizione incoerente ⤶= ╿⤶ⴿ ⥓ ⥓ⷡ ⽐ ╿⤶ⴿ(╾⽑ ⊐⊜⊠ ⥒⥓ )(╾⽑ ⥓ ⥓ⷡ ) = ╿⤶ⴿ(╾⽐ (╾⽑ ⥓ ⥓ⷡ )⊐⊜⊠ ⥒⥓ ) Visibilità o contrasto tra le frange ⥃ = ⤶ⷫ⷟ⷶ ⽑ ⤶ⷫⷧⷬ ⤶ⷫ⷟ⷶ ⽐ ⤶ⷫⷧⷬ = ╾⽑ ⥓ ⥓ⷡ ⤶ⷫ⷟ⷶ = ╿⤶ⴿ(╿⽑ ⥓ ⥓ⷡ ) ⤶ⷫⷧⷬ = ╿⤶ⴿ ⥓ ⥓ⷡ Nel caso ideale V=1 Misura dell’indice di rifrazione di un gas mediante interferometro ⥕ = ╾⽐ ⧷⧮ ⤹ L è il cammino geometrico percorso dalla luce emessa dalla sorgente ⧷ è la misura dello spostament o delle frange, una volta introdotto il gas, in unità di lunghezze d’onda (non è per forza intero) Variazione della lunghezza d’o nda passando dal vuoto ad un mezzo ⧮= ⧮ⴿ ⥕ Per completare lo stesso cammino geometrico in un mezzo servono più lunghezze d’onda Campo elettrico totale in un punto dello schermo dopo un reticolo ⤲ⷲⷭⷲ = ⤲ⴿ⊒⊥⊝ [⥐(⥒⥙ⵀ⽑ ⧼⥛ )]╾⽑ ⥌ⵊⷧⷒ⸖ ╾⽑ ⥌ⵊⷧ⸖ = ⧧ = ⥒⥈ ⊠⊖⊛ ⧫ N numero delle fenditure = ⤲ⴿ{⊒⊥⊝ [⥐(⥒⥙ⵀ⽑ ⧼⥛ )]⥌ⵊⷧⷒ⸖ⵁ ⥌ⵊⷧ⸖ⵁ }⥌ⵉⷧⷒ⸖ⵁ ⽑ ⥌ⵊⷧⷒ⸖ⵁ ⥌ⵉⷧ⸖ⵁ⽑ ⥌ⵊⷧ⸖ⵁ a passo del reticolo Distribuzione dell’intensità mediante reticolo con N fenditure ⤶= ⤶ⴿ⊠⊖⊛ ⵁ(⤻ ╿⥒⥈ ⊠⊖⊛ ⧫) ⊠⊖⊛ ⵁ(⥒ ╿⥈⊠⊖⊛ ⧫) = ⤶ⴿ ⊠⊖⊛ ⵁ(⤻ ⧮⧳⥈ ⊠⊖⊛ ⧫) ⊠⊖⊛ ⵁ(⧳ ⧮⥈⊠⊖⊛ ⧫) Posizione dei massimi principali di un reticolo ⊠⊖⊛ ⧫ = ⥔ ⧮ ⥈ ⥔ = ⽒╾⏬⽒╿⏬⽒▀⏰ ⥔ = ╽⏬ massimo centrale Posizione dei minimi di un reticolo ⊠⊖⊛ ⧫ = ⥔ ⧮ ⤻⥈ ⥔ = ⽒╾⏬⽒╿⏬⽒▀⏰ ⥔ ≠ ⤻⏬╿⤻⏬▀⤻⏬⏰ Tra due massimi principali vi sono N -1 minimi La larghezza del massimo principale centrale pu ò essere valutata come semilarghezza tra i due minimi adiacenti al massimo, approssimando la frangia a un triangolo : risulta ⸝ ⷒ⷟ Posizione dei massimi secondari di un reticolo ⊠⊖⊛ ⧫ = (╿⥔ ⽐ ╾) ⧮ ╿⤻⥈ ⥔ = ╾⏬╿⏬▀⏬⏰ Intensità dei massimi principali di un reticolo ⤶ⷑⷔ = ⤻ⵁ⤶ⴿ Differenza di cammino ottico in lamina sottile con incidenza non normale ␪ = ╿⥕ⵁ⥋⊐⊜⊠ ⧹✭ ⧹✭ angolo di incidenza del fascio alla superficie di separazione lamina –terzo mezzo Differenza di cammino ottico in lamina sottile con incidenza normale ␪ = ╿⥕ⵁ⥋ Se ⥕ⵀ< ⥕ⵁ ⥌ ⥕ⵁ> ⥕ⵂ va tolta mezza lunghezza d’onda a tale cammino Rapporto tra le ampiezze per incidenza normale in lamina sottile ⤲ⷰ ⤲ⷧ = ⥝ⵁ⽑ ⥝ⵀ ⥝ⵁ⽐ ⥝ⵀ = ⥕ⵀ⽑ ⥕ⵁ ⥕ⵀ⽐ ⥕ⵁ Questo rapporto può essere minore di zero e ciò spiega la sottrazione di mezza lunghezza d’onda ⤲ⷲ ⤲ⷧ = ╿⥝ⵁ ⥝ⵁ⽐ ⥝ⵀ = ╿⥕ⵀ ⥕ⵀ⽐ ⥕ⵁ Condizioni di interferenza in lamine sottili nel caso ⥕ⵁ> ⥕ⵀ⏬⥕ⵁ> ⥕ⵂ Costruttiva ╿⥕ⵁ⥋ = (╿⥔ ⽐ ╾)⧮ ╿ Sono ribaltate rispetto al caso di interferenza normale! Nel caso ⥕ⵀ< ⥕ⵁ< ⥕ⵂ si hanno invece le usuali condizioni di interferenza (ovvero come queste ma ribaltate) Distruttiva ╿⥕ⵁ⥋ = ⥔⧮ Relazione tra raggio e distanza dalla lente per anelli di Newton ⥙= ◉╿⤿⥋ ⤿ raggio di curvatura della lente ⥙ distanza del bordo della lente dall’asse della lente ⥋ spessore dello strato d’aria sotto la lente Relazione di interferenza costruttiva per anelli di Newton ⥙= √(╿⥔ ⽐ ╾)⧮⤿ ╿⥕′ ⥕′= ╾ solitamente perché lo strato è d’aria Relazione di interferenza distruttiva per anelli di Newton ⥙= √⥔ ⧮⤿ ⥕′ ⥕′= ╾ solitamente perché lo strato è d’aria L’anello centrale è scuro Angolo di deviazione di un prisma ⧧ = ⥐⽑ ⥙⽐ ⥐′⽑ ⥙′= ⥐⽐ ⥐′⽑ ⧤ ⧤ angolo di apertura del prisma Relazione tra angoli interni al prisma e angolo di apertura del prisma ⧤ = ⥙⽐ ⥙′= ⥊⥖⥚⥛⥈⥕⥛⥌ Relazione tra gli angoli di incidenza e rifrazione in condizioni di deviazione minima ⥐= ⥐′ ⥙= ⥙′ ⧤ = ╿⥙′= ╿⥙ぅ ⥙= ⥙′= ⧤ ╿ Angolo di deviazione minima ⧧ⷫ = ╿⥐⽑ ⧤ Indice di rifrazione del prisma e angolo di deviazione minima ⥕ = ⊠⊖⊛ ⥐ ⊠⊖⊛ ⥙= ⊠⊖⊛ ⥐ ⊠⊖⊛ ⧤ ╿ = ⊠⊖⊛ (⧧ⷫ ⽐ ⧤ ╿ ) ⊠⊖⊛ (⧤ ╿) Campo di una porzione infinitesima di una fenditura di diffrazione al centro della fenditura stessa ⥋⤲ = ⤲ⴿ(⥋⥚ ⤱ )⊒⊥⊝ [⥐(⥒⥓ ⽑ ⧼⥛ )] Deriva dalla precisazione di Fresnel per il principio di Huygens l è il cammino ottico dalla fenditura al punto p Porzione infinitesima di campo elettrico emessa da una porzione infinitesima di fenditura a distanza s dal centro ⥋⤲ = ⤲ⴿ ⥋⥚ ⤱ ⊒⊥⊝ [⥐(⥒(⥓⽑ ⥚⢏⊠⊖⊛ ⧫)⽑ ⧼⥛ )] D è la larghezza della fenditura Campo totale che incide sullo schermo in seguito ad una fenditura di diffrazione ⤲ = ⾼ ⤲ⴿ ⥋⥚ ⤱ ⊒⊥⊝ [⥐(⥒⥓ ⽑ ⧼⥛ )]⊒⊥⊝ [⽑⥐⥒⥚ ⷈⵁ ⵊⷈⵁ ⢏⊠⊖⊛ ⧫] = ⤲ⴿ ⊒⊥⊝ [⥐(⥒⥓ ⽑ ⧼⥛ )] ⥒⤱ ╿⊠⊖⊛ ⧫ ⽯⊠⊖⊛ (⥒⤱ ╿⊠⊖⊛ ⧫)⽳ Distribuzione delle intensità sullo schermo a seguito di un fenomeno di diffrazione ⤶= ⤶ⴿ⊠⊖⊛ ⵁ(⧳⤱ ⊠⊖⊛ ⧫ ⧮ ) (⧳⤱ ⊠⊖⊛ ⧫ ⧮ ) ⵁ Posizione dei minimi di diffrazione per una fenditura rettangolare ⊠⊖⊛ ⧫ = ⥔ ⧮ ⤱ Il primo minimo si ha per ⥔ = ╾ Se ⤱ ⠳ ⧮, si ha una singola frangia molto stretta e molto luminosa Se ⤱ ≈ ⧮, il primo minimo si trova circa a ▆╽◄ e quindi lo schermo è illuminato uniformemente Se ⤱ < ⧮, non si ha diffrazione Posizione dei minimi di diffrazione per una fenditura circolare ⊠⊖⊛ ⧫ = ╾⏯╿╿ ⥔ ⧮ ⤱ Il centro del cerchio è una frangia chiara Posizione dei massimi di diffrazione ⊠⊖⊛ ⧫ = (╿⥔ ⽐ ╾) ⧮ ╿⤱ Il lobo centrale ha larghezza doppia rispetto agli altri ed è più luminoso Intensità dovuta ad interferenza e diffrazione contemporaneamente ⤶= ⤶ⴿ⊠⊖⊛ ⵁ(⤻⧳⥈ ⊠⊖⊛ ⧫ ⧮ ) ⊠⊖⊛ ⵁ(⧳⥈ ⊠⊖⊛ ⧫ ⧮ ) ⢏ ⊠⊖⊛ ⵁ(⧳⤱ ⊠⊖⊛ ⧫ ⧮ ) (⧳⤱ ⊠⊖⊛ ⧫ ⧮ ) ⵁ La figura di interferenza viene modulata da quella di diffrazione e in particolare gli unici massimi visibili sono quelli compresi entro il lobo centrale, mentre alcune frange possono scomparire se cadono in corrispondenza dei minimi di diffrazione Parametri del reticolo Dispersione ␪ = ⥋⧫ ⥋⧮ = ⥔ ⥈⊐⊜⊠ ⧫ È la variazione angolare per variazione di lunghezza d’onda infinitesima Risoluzione ⤿ = ⧮⚲ ␪⑔ = ⥔⤻ N numero di fenditure del reticolo m ordine a cui si vuole risolvere il reticolo ⧮⚲= ⧮ⵀ⽐ ⧮ⵁ ╿ ␪⧮= ⧮ⵁ⽑ ⧮ⵀ È la capacità di distinguere due righe che differiscono di ␪⧮ e la cui lunghezza d’onda media è ⧮⚲ Descrizione di un’onda contenuta nel piano xy mediante due componenti ortogonali ⤲ⷶ= ⤲ⴿⷶ⊠⊖⊛ [⥒⥡ ⽑ ⧼⥛ ] ⤲ⷷ= ⤲ⴿⷷ⊠⊖⊛ [⥒⥡ ⽑ ⧼⥛ ⽐ ⧹] • Se ⧹ = ⧹(⥛), si ha luce naturale (fase casuale) • Se ⧹ = ╽⟴⧹ = ⧳, la polarizzazione è lineare. In particolare, se ⧹ = ╽⏬ E forma con l’asse x un angolo pari a ⧿ = ⊎⊡⊎⊛ ⷉ⸷⻯ ⷉ⸷⻮⏬ mentre se ⧹ = ⧳ forma un angolo pari a ⧿ = ⽑⊎⊡⊎⊛ ⷉ⸷⻯ ⷉ⸷⻮ • Se ⧹ ⟛ [╽⏬╿⧳] e ⤲ⴿⷶ≠ ⤲ⴿⷷ, la polarizzazione è ellittica . Essa è antioraria se ⧹ ⟛ (╽⏬⧳), oraria se ⧹ ⟛ (⧳⏬╿⧳). L’ellisse ha assi coincidenti con gli assi x e y se ⧹ = ⸢ ⵁ (polarizzazione antiorar ia) o se ⧹ = ⵂ ⵁ⧳ (polarizzazione oraria) • Se ⧹ = ⸢ ⵁ ⟴⧹ = ⵂ ⵁ⧳ e ⤲ⴿⷶ= ⤲ⴿⷷ, la polarizzazione è circolare. Essa è antioraria se ⧹ = ⸢ ⵁ e oraria se ⧹ = ⵂ ⵁ⧳ Legge di Malus per luce polarizzata linearmente che incide su un cristallo dicroico ⤶= ⤶ⴿ⊐⊜⊠ ⵁ⧤ ⧤ è l’angolo tra la direzione di polarizzazione del campo elettrico e l’asse di massimo assorbimento ⤶ è l’intensità in uscita dal cristallo Sfasamento tra le componenti di un’onda in seguito al passaggio in una lamina birifrangente ritardatrice ⧹ = ╿⧳ ⧮ ⥋(⥕ⷭ⽑ ⥕ⷱ) In generale: ⥋␪⥕ ⧮ = ⧹ ╿⧳ ⥋ spessore della lamina ⥕ⷭ indice di rifrazione ordinario del cristallo ⥕ⷱ indice di rifrazione straordinario del cristallo Il raggio straordinario e quello ordinario uscenti da un cristallo birifrangente solitame nte hanno il 50% di intensità ciascuno (rispetto alla sorgente) La lamina è quarto d’onda se ⧹ = ⸢ ⵁ, mezz’onda se ⧹ = ⧳ Differenza tra gli indici di rifrazione indotti in una Cella di Kerr ⥕ⷱ⽑ ⥕ⷭ= ⤸⧮ ⤲ⵁ ⤲ campo elettrico inducente ⤸ costante (costante di Kerr) dipendente dal materiale e dalla temperatura (diminuisce al crescere di quest’ultima) Asse ottico parallelo alle linee di forza del campo Sfasamento tra le componenti di un’onda in una Cella di Kerr ⧹ = ╿⧳ ⧮ ⥋(⥕ⷱ⽑ ⥕ⷭ) = ╿⧳⥋⤸ ⤲ⵁ Angolo di rotazione del piano di polarizzazione della radiazione incidente dovuto ad attività ottica ⧤ = ⤸⥏ = ⥒⥊ ⥏ ⤸ potere rotatorio ⥒ potere rotatorio specifico ⥊ concentrazione di sostanza ⥏ spessore di sostanza attraversato Espressione di una polarizzazione lineare mediante due polarizzazioni circolari controrotanti ⤲ = ⤲ⴿ⊠⊖⊛ (⥒⥟ ⽑ ⧼⥛ )⥜⿧ⷷ⽐ ⤲ⴿ⊐⊜⊠ (⥒⥟ ⽑ ⧼⥛ )⥜⿧ⷸ ⽑⤲ⴿ⊠⊖⊛ (⥒⥟ ⽑ ⧼⥛ )⥜⿧ⷷ⽐ ⤲ⴿ⊐⊜⊠ (⥒⥟ ⽑ ⧼⥛ )⥜⿧ⷸ = ╿⤲ⴿ⊐⊜⊠ (⥒⥟ ⽑ ⧼⥛ )⥜⿧ⷸ Consideriamo in questo caso un’onda polarizzata linearmente lungo z Sfasamento tra le due componenti che costituiscono l’onda dovuto ad attività ottica ⧹ = ⥏(⥕ⷪ⽑ ⥕ⷢ)╿⧳ ⧮ ⥕ⷪ ⥌ ⥕ⷢ sono i due diversi indici di rifrazioni dovuti ad attività ottica Campo elettrico ruotato mediante attività ottica ⤲ = [╿⤲ⴿ⊠⊖⊛ (⧹ ╿)]⊠⊖⊛ (⥒⥟ ⽑ ⧼⥛ )⥜⿧ⷷ ⽐ [╿⤲ⴿ⊐⊜⊠ (⧹ ╿)]⊐⊜⊠ (⥒⥟ ⽑ ⧼⥛ )⥜⿧ⷸ Risultato ottenuto considerando due polarizzazioni circolari controrotanti (birifrangenza circolare) e lo sfasamento come visto sopra Angolo di rotazione dovuto ad attivit à ottica ⧤ = ⧹ ╿ = ⧳ ⧮(⥕ⷪ⽑ ⥕ⷢ)⥏= ⥒⥊ ⥏ ⧹ è lo sfasamento subito dalle componenti della radiazione che attraversano la sostanza come visto sopra Campo elettrico di un’onda stazionaria elettromagnetica che si propaga lungo x ⤲ = ╿⤲ⴿ⊠⊖⊛ (⥒⥟ )⊠⊖⊛ (⧼⥛ ) Campo magnetico di un’onda stazionaria elettromagnetica che si propaga lungo x ⤯ = ╿⤲⥒ ⧼ ⊐⊜⊠ (⥒⥟ )⊐⊜⊠ (⧼⥛ ) = ╿⤲ ⥊ ⊐⊜⊠ (⥒⥟ )⊐⊜⊠ (⧼⥛ ) Il campo elettrico e il campo magnetico sono sfasati di un quarto di periodo (⸢ ⵁ) e di un quarto di lunghezza d’onda (⸝ ⵃ), quindi ad un nodo di E corrisponde un ventre di B Nodi del campo elettrico (o equivalentemente ventri del campo magnetico) di un’onda e.m. stazionaria ⥒⥟⚲= ⥔⧳ ぅ ⥟⚲= ⥔⧮ ╿ Ventri del campo elettrico (o equivalentemente nodi del campo magnetico) di un’onda e.m. stazionaria ⥒⥟⚲= (╿⥔ ⽐ ╾)⧳ ╿ ぅ ⥟⚲= (╿⥔ ⽐ ╾)⧮ ▁ Equazione di Bragg per la cristallografia ╿⥋⊠⊖⊛ ⧫ = ⥔⧮ ⥋ distanza tra i piani cristallografici Questa è una formula per trovare i massimi, ovvero l’interferenza costruttiva Formula di Cartesio per gli specchi sferici ╾ ⥗⽐ ╾ ⥘ = ╿ ⥙ ╾ ⥗⽐ ╾ ⥘ = ╾ ⥍ ╾ ⥍ = ╿ ⥙ ⥙ raggio dello specchio (positivo se concavo, negativo se convesso) p distanza della sorgente dal centro dello specchio (p>0 per sorgente reale, p0 per immagine reale a destra dello specchio, q0 per specchio convesso, f ╽, divergente se ⥍ < ╽ Distanza focale oggetto di una superficie rifrangente sferica ⥍ = ⥕ⵀ ⥕ⵀ⽑ ⥕ⵁ ⥙ Il fuoco oggetto di una superficie sferica rifrangente è la posizione di un punto oggetto sull’asse principale i cui raggi rifratti sono paralleli all’asse principale (⥖⥝⥝⥌⥙ ⥖ ⥗⥌⥙ ⥘❧ ⽐◆ ) Distanza focale immagine di una superficie rifrangente sferica ⥍′= ⽑ ⥕ⵁ ⥕ⵀ⽑ ⥕ⵁ ⥙ Il fuoco immagine di una superficie sferica rifrangente è il punto in cui si intersecano i prolungamenti dei raggi rifratti quando i raggi incidono paralleli alla superficie rifrangente (⥖⥝⥝⥌⥙⥖ ⥗⥌⥙ ⥗ ❧ ⽐◆ ) ⥍⽐ ⥍′= ╾ Ingrandimento per una superficie s ferica rifrangente ⤺ = ⥘⊡⊎⊛ ⧫′ ⥗⊡⊎⊛ ⧫ ≈ ⥘⊠⊖⊛ ⧫′ ⥗⊠⊖⊛ ⧫ = ⥕ⵀ⥘ ⥕ⵁ⥗ Vale per approssimazione parassiale Equazione di Cartesio per la lente sottile ╾ ⥗⽑ ╾ ⥘ = (⥕⽑ ╾)(╾ ⥙ⵁ ⽑ ╾ ⥙ⵀ ) ╾ ⥗⽑ ╾ ⥘ = ╾ ⥍ Una lente si dice sottile se il suo spessore è molto inferiore rispetto al su o diametro ⥘ > ╽ se l’immagine è virtuale ⥘ < ╽ se l’immagine è reale ⥕ è l’indice di rifrazione della lente Distanza focale oggetto di una lente ╾ ⥍ = (⥕⽑ ╾)(╾ ⥙ⵁ ⽑ ╾ ⥙ⵀ ) Il fuoco oggetto di una lente è la posizione dell’oggetto i cui raggi emergono paralleli all’asse principale dopo avere attraversato la lente Il fuoco immagine è il punto in cui convergono, dopo aver attraversato la lente, i raggi che incidono sulla lente parallelamente all’asse princip ale (ⵀ ⷮ❧ ╽) I fuochi sono simmetrici rispetto alla lente e ⥍ > ╽ se la lente è convergente, ⥍ < ╽ se la lente è divergente Diottria ⤱ = ╾ ⥍ ⥍ DEVE essere espresso in metri Ingrandimento di una lente ⤺ = ⥈⥉ ⤮⤯ = ⥘ ⥗ Equazione per due lenti sottili in serie ⣠ ⣟ ⣞ ╾ ⥗⽑ ╾ ⥘′= ╾ ⥍ⵀ ╾ ⥘′⽐ ⥛⽑ ╾ ⥘ = ╾ ⥍ⵁ ⥗ distanza della sorgente ⥘✭ distanza dell’immagine prodotta dalla prima lente ⥘ distanza dell’immagine finale ⥛ distanza tra le due lenti ⥍ⵀ⏬⥍ⵁ fuochi delle due lenti Equazioni per due lenti sottili in serie a distanza nulla ╾ ⥗⽑ ╾ ⥘ = ╾ ⥍ⵀ ⽐ ╾ ⥍ⵁ Distanza focale oggetto equivalente per più lenti in serie a distanza nulla tra di loro ╾ ⥍ = ⿘ ╾ ⥍ⷧ ⷬ ⷧⵋⵀ Ingrandimento di una lente di ingrandimento ⤺ = ⥘ ⥗ ≈ ⧧ ⥍ ⧧ = ╿▂ ⥊⥔ è la distanza minima per avere una visione distinta ⥗ ≈ ⥍ per avere un ingrandimento Ingrandimenti di un microscopio Ingrandimento dell’obiettivo ⤺ⷭⷠ = ⥈′⥉′ ⤮⤯ = ⤹ ⥍ ⥈✭⥉✭ è la grandezza dell’immagine prodotta dall’obiettivo ⤮⤯ è la grandezza della sorgente ⥍ è la distanza focale dell’obiettivo ⤹ è la distanza tra ⥈′⥉′ e l’obiettivo Ingrandimento dell’oculare ⤺ⷭⷡ = ⥈⥉ ⥈′⥉′= ⧧ ⥍′ ⧧ è la distanza minima di visione nitida ⥍′ è la distanza focale dell’oculare ⥈⥉ è l’immagine prodotta dall’oculare Ingrandimento complessivo ⤺ = ⤺ⷭⷠ ⤺ⷭⷡ = ⤹⧧ ⥍⥍′ In generale ⥍ ⠲ ⥍′ ⧧ ⥌ ⤹ sono costanti Ingrandimento di un telescopio ⤺ = ⧥ ⧤ = ⥍ ⥍′ ⧥ è l’angolo sotteso dall’immagine ⧤ è l’angolo sotteso dall’oggetto ⥍ è la distanza focale dell’obiettivo ⥍✭ è la distanza focale dell’oculare ⥍ ⠳ ⥍′ perché gli oggetti osservati sono molto lontani Questa relazione vale sia per telescopi a riflessione s ia per telescopi a rifrazione Energia cinetica di un elettrone che abbandona un metallo ╾ ╿⥔ ⥝ⵁ= ⥏⧰⽑ ␻ ⥔ = ▆⏯╾╽▆ ⢏╾╽ ⵊⵂⵀ ⥒⥎ massa dell’elettrone ⥏ = ▃⏯▃▀ ⢏╾╽ ⵊⵂⵃ ⤷⥚ costante di Planck ␻ è l’energia necessaria per far uscire dal metallo l’elettrone considerato ⧰ è la frequenza dell’onda Energia cinetica massima di un elettrone che abbandona un metallo ╾ ╿⥔ ⥝ⷫ⷟ⷶⵁ = ⥏⧰⽑ ␻ⴿ ␻ⴿ è la MINIMA energia necessaria richiesta affinché un elettrone possa sfuggire al metallo. È detta funzione lavoro del metallo ed è associata agli elettroni più esterni Soglia in frequenza ⧰ⴿ= ␻ⴿ ⥏ È la minima frequenza per avere fuoriuscita di elettroni d al metallo. Si ottiene dall’equazione precedente ponendo l’energia cinetica pari a zero Energia associata ad un fotone ⤲ = ⥏⧰ ⧰ è la frequenza dell’onda elettromagnetica associata Potenziale d’arresto ⥌⥃ⴿ= ⥏⧰⽑ ␻ⴿ ぅ ⥃ = ⥏⧰ ⥌ ⽑ ␻ⴿ ⥌ Serve per misurare la massima energia cinetica mediante un apparato sperimentale ⥌= ╾⏯▃╽╿ ⢏╾╽ ⵊⵀⵈ ⤰ è la carica elementare La relazione ⥃ ⽑ ⧰ è lineare e assume lo stesso coefficiente angolare per tutti i metalli in quanto è dato dal rapporto tra due costanti univers ali: ⊡⊎⊛ ⧥ = ⷦ ⷣ Appendice: come distinguere lo stato di polarizzazione della luce • Caso 1: Supponiamo di avere una lamina polaroid e di ruotarla di ╿⧳. Se l’intensità in uscita rimane costante per l’intero giro della lamina, allora possiamo trovarci in tre casi: luce naturale, polarizzazione circolare, misto polarizzazione circolare e naturale. Per distinguere i tre casi, frapponiamo una lamina ritardatrice quarto d’onda tra la sorgente e la polaroid e misuriamo nuovamente l’intensità in usci ta al variare dell’inclinazione di quest’ultima. Se siamo in presenza di luce naturale , allora l’intensità in uscita rimarrà costante in quanto la lamina quarto d’onda restituisce nuovamente luce naturale. Se siamo in presenza di polarizzazione circolare pura , allora le componenti che la costituiscono verranno sfasate di ⸢ ⵁ e quindi risulteranno o in fase o in opposizione di fase, ovvero viene restituita una polarizzazione lineare e quindi ruotando la pola roid registreremo due massimi e due minimi nulli. Se siamo in presenza di polarizzazione circolare pura e di luce naturale , la componente naturale rimane naturale e quella circolare, come prima, diventa lineare. Quindi in uscita abbiamo due massimi e due minimi non nulli, quindi siamo riusciti a distingue re tra i tre casi. • Caso 2: Prendiamo una lamina polaroid su cui incide normalmente della radiazione elettromagnetica e misuriamo l’intensità in uscita di tale radiazione ruotando la lamina di ╿⧳. Se registriamo due massimi e due minimi ad intensità nulla, allora la luce incidente è polarizzata linearmente . Se al contrario osserviamo due minimi e due massimi non nulli, allora possiamo avere un misto di luce polarizzata e luce naturale, una polarizzazione ellittica pura oppure un misto fra polarizzazione ell ittica e luce naturale, quindi siamo in un caso di indecisione. Per risolvere questo caso di indecisione, individuiamo con la lamina polaroid l’asse maggiore dell’ellissi (è parallelo all’a sse di massimo assorbimento quando si registrano i due minimi non nulli , oppure, se si considera come penso facciano le dispense l’asse di massima trasmissione, si trova l’asse maggiore quando si ha il massimo di intensità ). Frapponiamo inoltre fra la sorgente e la lamina dicroica una lamina quarto d’onda con asse ottico parallelo all’asse di assorbimento della polaroid. Allora in questo caso avremo in uscita, grazie allo sfasamento di ⸢ ⵁ attuato dalla lamina quarto d’onda, una polarizzazione lineare e quindi, se la polarizzazione è ellittica pura , avremo due massimi e due minimi ad intensità nulla. Se invece la polarizzazione non è ellittica pura, ripetiamo lo stesso procedimento di prima ma ruotiamo l’asse ottico di ⸢ ⵃ rispetto all’asse della lamina polaroid. Se si ha luce polarizzata linearmente mista a luc e naturale , la componente lineare viene trasformata in polarizzazione circolare a causa della posizione della lamina quarto d’onda e della sua natura, quindi in uscita si avrà un’intensità costante. Se si ha polarizzazione ellittica mista a luce naturale , la rotazione di ⸢ ⵃ della lamina quarto d’onda determinerà solo una rotazione degli assi dell’ellisse e quindi in uscita avremo ancora una commistione di ellittica e natura le. Dunque, misureremo due massimi e due minimi non nulli che però adesso sono traslati rispetto a quelli del caso senza lamina quarto d’onda. In conclusione, disponendo di una lamina quarto d’onda e di un polaroid, è possibile individuare senza ambiguit à l’eventua le stato di polarizzazione della luce emessa da una sorgente.