Aerospace Engineering - Fisica Tecnica

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C o r s o d i F i s i c a T e c n i c a a.a. 202 1/202 2 Tenuto da l prof. Salerno Appunti di Trani Roberto Sommario TERMODINAMICA APPLICATA ................................ ................................ ................................ ............................... 2 0. INTRODUZIONE ALLA TERMODINAMICA ................................ ................................ ................................ ........................... 2 0.1. Sistema e Ambiente ................................ ................................ ................................ ................................ ...... 2 0.2. Scambi con l’esterno ................................ ................................ ................................ ................................ ..... 2 0.3. Lavoro ................................ ................................ ................................ ................................ ........................... 3 0.4. Calore ................................ ................................ ................................ ................................ ............................ 4 0.5. Potenza termica ................................ ................................ ................................ ................................ ............ 5 0.6. Sistema termodinamico semplificato ................................ ................................ ................................ ............ 5 0.7. Mole ................................ ................................ ................................ ................................ .............................. 6 0.8. Scambi tra pareti ................................ ................................ ................................ ................................ ........... 7 0.9. Densità o massa volumica ................................ ................................ ................................ ............................. 7 0.10. Stato del sistema ................................ ................................ ................................ ................................ ........... 8 0.11. Trasformazioni ................................ ................................ ................................ ................................ .............. 9 0.12. Pressione ................................ ................................ ................................ ................................ ..................... 11 0.13. Temperatura e Principio zero della termodinamica ................................ ................................ .................... 12 0.27. Fase ................................ ................................ ................................ ................................ ............................. 14 0.28. Gas perfetti ................................ ................................ ................................ ................................ ................. 15 0.29. Mulinello di Joule ................................ ................................ ................................ ................................ ........ 16 0.30. Lavoro e trasformazioni particolari ................................ ................................ ................................ ............. 17 1. PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA ................................ ................................ ................................ ..................... 19 1.1. Introduzione al primo principio della termodinamica ................................ ................................ ................. 19 1.2. Variazione dell’energia del sistema ................................ ................................ ................................ ............ 21 1.3. Espansione libera di Joule ................................ ................................ ................................ ........................... 22 1.4. Calori specifici ................................ ................................ ................................ ................................ ............. 23 1.5. Energia interna e calori specifici nei gas perfetti ................................ ................................ ........................ 24 1.6. Entalpia nei gas p erfetti ................................ ................................ ................................ .............................. 26 1.7. ⪔⪡ > ⪔⪧ ................................ ................................ ................................ ................................ ...................... 28 2. SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA ED ENTROPIA ................................ ................................ .............................. 30 2.1. Macchina termica ................................ ................................ ................................ ................................ ....... 30 2.2. Equivalenza degli enunciati di Kelvin e Clausius ................................ ................................ ......................... 32 2.3. Entropia ................................ ................................ ................................ ................................ ...................... 33 2.4. Integriamo dS ................................ ................................ ................................ ................................ .............. 40 2.5. Entropia e primo principio della t ermodinamica ................................ ................................ ........................ 43 2.6. Trasformazione isoentropica ................................ ................................ ................................ ...................... 44 2.7. Variazione di entropia per i solidi e i liquidi ................................ ................................ ................................ 48 2.8. Trasformazioni politropiche ................................ ................................ ................................ ........................ 50 2.9. Energia interna per gas perfetto ed Entropia ................................ ................................ ............................. 55 3. PASS AGGI DI STATO ................................ ................................ ................................ ................................ .................. 57 3.1. Introduzione al cambiamento di fase ................................ ................................ ................................ .......... 57 3.2. Da gas a liquido ................................ ................................ ................................ ................................ ........... 57 3.3. Regola della leva ................................ ................................ ................................ ................................ ......... 61 3.4. Curva isotitolo ................................ ................................ ................................ ................................ ............. 64 3.5. Punto critico ................................ ................................ ................................ ................................ ................ 64 3.6. Da liquido a solido ................................ ................................ ................................ ................................ ....... 66 3.7. Altri diagrammi di fase ................................ ................................ ................................ ............................... 67 3.4. ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .... 67 4. SISTEMI APERTI ................................ ................................ ................................ ................................ ........................ 70 4.1. Prime definizioni ................................ ................................ ................................ ................................ ......... 70 4.2. Principio di conservazione della massa ................................ ................................ ................................ ....... 71 4.3. Principio di conservazione dell’energia ................................ ................................ ................................ ....... 72 4.4. Organi di macchina ................................ ................................ ................................ ................................ ..... 75 4.5. Dal lavoro di deformazione al lavoro esterno netto ................................ ................................ ................... 79 4.6. La differenza ⪔⪡ ⽑⪔⪧ per ogni sostanza ................................ ................................ ................................ .... 81 4.7. Bilan cio entropico ................................ ................................ ................................ ................................ ...... 83 4.8. Trasformazioni isoentalpiche (e setto poroso) ................................ ................................ ............................ 84 4.9. Caduta di pressione ................................ ................................ ................................ ................................ ..... 87 4.10. Compressione più conveniente ................................ ................................ ................................ ................... 89 4.11. Rendimenti ................................ ................................ ................................ ................................ .................. 90 5. CICLI ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ...... 92 5.1. Ciclo di Carnot ................................ ................................ ................................ ................................ ............. 92 5. ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ......... 92 5.2. Cicli inversi ................................ ................................ ................................ ................................ .................. 99 5.3. Equazione di Clausius -Clapeyron ................................ ................................ ................................ .............. 102 5.4. Ciclo Rankine ................................ ................................ ................................ ................................ ............. 104 5.5. Ciclo Joule -Brayton ................................ ................................ ................................ ................................ .... 112 5.6. Cicli simmetrici ................................ ................................ ................................ ................................ .......... 126 5.7. Ciclo Otto ................................ ................................ ................................ ................................ .................. 127 5.8. Ciclo Diesel ................................ ................................ ................................ ................................ ............... 134 5.9. Ciclo frigo ................................ ................................ ................................ ................................ .................. 138 6. EFFLUSSI DA SERBATOI ................................ ................................ ................................ ................................ ............. 143 6.1. Equazione di Hugoniot ................................ ................................ ................................ ............................. 143 6.2. Flusso supersonico e condotti ................................ ................................ ................................ ................... 147 6.3. Calcolare la velocità di uscita ................................ ................................ ................................ .................... 149 6.4. Blocco sonico e portata massima ................................ ................................ ................................ .............. 151 TRASMISSIONE DEL CALORE ................................ ................................ ................................ ............................... 154 7. CONDUZIONE ................................ ................................ ................................ ................................ ......................... 154 7.1. Introduzione alla trasmissione del calore ................................ ................................ ................................ . 154 7.2. Postulato di Fourier ................................ ................................ ................................ ................................ ... 155 7.3. Equazione di Fourier ................................ ................................ ................................ ................................ .. 157 7. ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ....... 157 7.4. Metodo delle resistenze termiche ................................ ................................ ................................ ............. 168 7.5. Problemi in geometria cilindrica ................................ ................................ ................................ .............. 174 7.6. Problemi a parametri concentrati ................................ ................................ ................................ ............. 187 7.7. Probl emi dove la temperatura varia sia nello spazio che nel tempo ................................ ........................ 195 7.8. Problema delle alette ................................ ................................ ................................ ................................ 199 7.9. Problema con gradino di temperatura a ⪥ⳤ ................................ ................................ .............................. 204 8. IRRAGGIAMENTO ................................ ................................ ................................ ................................ .................... 211 8.1. Prime definizioni ................................ ................................ ................................ ................................ ........ 211 8.2. Corpo nero ................................ ................................ ................................ ................................ ................ 215 8.3. Corpo grigio ................................ ................................ ................................ ................................ .............. 219 8.4. Destini della radiazione incidente ................................ ................................ ................................ ............. 220 8.5. Legge d i Kirchhoff ................................ ................................ ................................ ................................ ..... 222 8.6. Funzione di radiazione ................................ ................................ ................................ .............................. 224 8.7. Fattore di vista ................................ ................................ ................................ ................................ .......... 225 8.8. Resistenze termiche radiativa ................................ ................................ ................................ ................... 231 9. CONV EZIONE ................................ ................................ ................................ ................................ ......................... 236 9.1. Viscosità ................................ ................................ ................................ ................................ .................... 237 9.2. Convezione forzata ................................ ................................ ................................ ................................ ... 238 9.3. Dentro i tubi ................................ ................................ ................................ ................................ .............. 244 9.4. Convezione na turale ................................ ................................ ................................ ................................ . 246 9.5. Due problemi coi tubi ................................ ................................ ................................ ................................ 250 10. SCAMBIATORI DI CALORE ................................ ................................ ................................ ................................ ...... 252 10.1. Impianti reali ................................ ................................ ................................ ................................ ............. 252 10.2. Variazione di temperatura ................................ ................................ ................................ ........................ 253 10.3. Potenza termica dello scambiatore ................................ ................................ ................................ .......... 254 MISCELE ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ . 257 11. MISCELE DI GAS ................................ ................................ ................................ ................................ ................. 257 11.1. Legge di Dalton ................................ ................................ ................................ ................................ ......... 257 11.2. Energia interna ................................ ................................ ................................ ................................ ......... 259 11.3. Calore specifico ................................ ................................ ................................ ................................ ......... 260 12. MISCELA DI VAPORE ................................ ................................ ................................ ................................ ............ 261 12.1. Trasformazione a pressione costante ................................ ................................ ................................ ....... 261 12.2. Trasformazione a temperatura costante ................................ ................................ ................................ .. 262 12.3. Trasformazione a pressione e temperatura costanti ................................ ................................ ................ 263 12.4. Ebollizione vs Evaporazione ................................ ................................ ................................ ...................... 264 12.5. Umidità ................................ ................................ ................................ ................................ ..................... 265 12.6. Entalpia ................................ ................................ ................................ ................................ ..................... 267 TERMODINAMICA APPLICATA - INTRODUZIONE ALLA TERMODINAMICA pag. 2 Termodinamica Applicata 0. Introduzione alla Termodinamica 0.1. Sistema e Ambiente Definizione 0.1 . Chiamiamo SISTEMA un corpo, o un insieme di corpi, sul quale noi operiamo ; Definizione 0.2. Chiamiamo CONFINE del sistema una superficie, o più superfici, che delimita il sistema e che può essere FISICA o IMMATERIALE e FISSA o MOBILE ; Definizione 0.3. Chiamiamo AMBIENTE (o esterno) ciò che non fa parte del sistema; Per esempio, consideriamo un cilindro con un pistone mobile al cui interno vi è un gas. Il nostro sistema è il gas e il confine sono le pareti. In particolare, possiamo aggiungere che il sistema è deformabile, perché ha una parete mobile, e che il confine è completamente fisico. consideriamo ora invece un condotto a sezione variabile al cui interno scorre un fluido . In questo caso il sistema è il fluido contenuto nel volume di controllo e il confine è composto da due pareti fisiche e rigide e da due pareti immaginarie che sono state scelte in maniera arbitraria. 0.2. Scambi con l’esterno Il nostro sistema può avere anch e degli scambi con l’esterno, ovvero, può interagire con esso. =n particolare, gli scambi possono essere di: i. MASSA ii. ENERGIA a. LAVORO b. CALORE Definizione 0.4. Un sistema che non sca mbia massa viene detto CHIUSO ; se invece può scambiare con l’ambiente sia massa che energia allor esso viene definito come APERTO ; infine, se il sistema non può scambiare con l’esterno né massa né energia allora viene detto ISOLATO . Così, riprendendo i due esempi di prima, il primo sistema visto, quello con il cilindro, è chiuso, mentre il condotto era un sistema aperto. Facciamo ora una piccola nota storica: la termodinamica, infatti, si è sviluppata prima ancora della visione e della conferma dell’esistenza degli atomi. Per questo nella termodinamica si fa riferimento principalmente a grandezze macroscopiche; solo con Boltzmann si è passati poi a una descrizione microscopica , infatti, come vedremo, a ogni grandezza microscopica corrisponde la variazione di una macroscopica: Energia interna ❧ Temperatura Urti tra atomi e pareti ❧ Pressione TERMODINAMICA APPLICATA - INTRODUZIONE ALLA TERMODINAMICA pag. 3 Andiamo ora ad analizzare meglio che cosa sono le due forme di energia che abbiamo specificato poco fa. 0.3. Lavoro Come detto, il lavoro è una forma di energia, in particolare essa è dat a dal prodotto scalare tra una forza e uno spostamento. ⤹㐷✱= ⤳✱⢏⥚✱ Ci accorgiamo così che la componente della forza che a noi interessa per ricavarne il valore scalare è solamente la componente parallela allo spostamento; dobbiamo infatti guardare la proiezione della forza sulla direzione di ⥚✱. In questo modo possiamo passar e a una scrittura del tipo: ⤹= ⤳ ␪⥚= ⤳ ␪⥚⤮ ⤮ (0.1) ma ⷊ ⷅ è la formul azione della pressione ⥗; ␪⥚⢏⤮ è l’espressione della variazione di volume ␪⥃. allora: ⤹= ⥗⢏␪⥃ A noi però interesser à guardare in modo particolare le grandezze specifiche. Definizione 0.5. Chiamiamo allora LAVORO SPECIFICO ⥓ il lavoro normalizzato per la massa del sistema ⥓= ⤹ ⥔ = ⥗ ␪⥃ ⥔ = ⥗ ␪⥝ (0.2) dove ␪⥝ è la VARIAZIONE DI VOLUME SPECIFICO . ⤳✱ ⥚✱ ⤳␋␋㐷㐷㐷㐷㐷✱ TERMODINAMICA APPLICATA - INTRODUZIONE ALLA TERMODINAMICA pag. 4 0.4. Calore Il calore ⤾ è un’energia con una qualità diversa rispetto al lavoro; infatti, se posso trasformare tu tto il lavoro in calore, non posso fare il contrario, ovvero non posso mai trasformare tutto il calore in lavoro. Definizione 0.6. Definiamo un CALORE SPECIFICO ⥘ co me il calore normalizzato per la massa del sistema: ⥘= ⤾ ⥔ (0.3) Il calore è una forma di ener gia che viene trasmessa da un punto a un altro per effetto di una differenza di temperatura; possiamo allora così dire che il calore è un VETTORE ; è la differenza di temperatura che mette in moto lo scambio di calore. Dimensional mente, l’energia, quindi sia il calore che il lavoro, viene espressa in joule [ J ] dove: ╾ J= ╾N ⢏╾ ⊚ Convenzionalmente il lavoro viene rappresentato positivo uscente dal sistema mentre il calore viene rappresentato positivo entrante nel sistema . Questo perché il nostro scopo è produrre MACCHINE che forniscano lavoro e quindi per semplicità ciò che diamo alla macchina (calore) e ciò che ci riprendiamo (lavoro) l o usiamo convenzionalmente positivo. ⥘⽐ ⥘⽑ ⥓⽑ ⥓⽐ A B ⤾ ␪⥁ TERMODINAMICA APPLICATA - INTRODUZIONE ALLA TERMODINAMICA pag. 5 0.5. Potenza termica Definizione 0.7. Chiamiamo POTENZA TERMICA ⤾㑁 il calore scambiato nell’unità di tempo . ⤾㑁= ⤾ ␪⥛ e dimensionalmente viene espresso in watt [ W ], dove: ╾ W = ╾ J ╾ ⊠ Questa che abbiamo visto però è la potenza media; per essere più precisi e per avere invece un valore puntuale della potenza dobbiamo osservare ciò che accade in un intervallo infinito. Definizione 0.8. Definiamo la POTENZA TERMICA ISTANTANEA ⤾㑁 come la derivata del calore rispetto al tempo. ⤾㑁= ⥋⤾ ⥋⥛ (0.4) e allora: ⤾ = ⾼ ⤾㑁(⥛) ⥋⥛ ⷲ ⴿ 0.6. Sistema termodinamico sempli ficato Pe rappresentare quello che accade nella realtà dobbiamo creare un modello semplificato, meno complesso, in grado di semplificarci i conti senza dover tenere conto delle mille micro -variabili. In particolare, il sistema termodinamico semplificato è un modello che: i. è un sistema MACROSCOPICAMENTE IN QUIETE ed esente dagli effetti di bordo (non consideriamo quindi gli effetti di capillarità); ii. è un sistema ELETTRICAMENTE E MAGNETICAMENTE NEUTRO ; iii. è un sistema CHIMICAMENTE INERTE . TERMODINAMICA APPLICATA - INTRODUZIONE ALLA TERMODINAMICA pag. 6 0.7. Mole La mole [ ⊚⊜⊙ ] è l’unità di misura della QUANTITÀ DI MATERIA , dove in una mole risiede un numero di elementi pari al NUMERO DI AVOGADRO . ╾ ⊚⊜⊙ = ▃⏬╽╿ ⢏╾╽ ⵁⵂ La mole e il numero di Avogadro sono stati definiti a partire dal numero di atomi presenti all’interno di 12 grammi di carbonio -12 : ╾╿ ⊔ ⊑⊖ Cⵀⵁ = ╾ ⊚⊜⊙ Prendendo invece 12 grammi di qualsiasi altro elemento non vi sono all’interno 1 mole di materia. Per esempio, in 12 grammi di elio monoatomico H⊒ ⵃ c’è più di una mole di materia. Questo perché ogni atomo è formato da un nucleo di protoni e neutroni, avent i uguale massa, e da una nube di elettroni, aventi massa trascurabile : Cⵀⵁ = ▃ ⥗ⵉ⽐ ▃ ⥕ H⊒ ⵃ= ╿ ⥗ⵉ⽐ ╿ ⥕ Inv ece, si è visto che a 1 mole di elio pesa esattamente 4 grami; ovvero, il peso in grammi di una mole è uguale al numero di particelle pesanti della mo lecola. Per esempio, una mole di idrogeno Hⵁ, che è una molecola biatomica, pesa 2 grammi, in quanto ogni idrogeno all’interno della molecola di idrogeno contiene un solo elemento pesante, ovvero un protone; una mole di azoto Nⵁ, anch’esso biatomico, pesa 28 grammi poiché ogni atomo di azoto è formato da 7 protoni e 7 neutroni. Spesso ci troveremo a riferirci a kilo -moli invece che a semplici moli: ╾ ⊘⊚⊜⊙ = ╾╽╽╽ ⊚⊜⊙ ╾ ⊘⊚⊜⊙ ⊑⊖ Cⵀⵁ = ╾ ⊘⊔ TERMODINAMICA APPLICATA - INTRODUZIONE ALLA TERMODINAMICA pag. 7 0.8. Scambi tra pareti Ciò che permette al siste ma di scambiare massa o energia con l’ambiente sono le pareti del sistema, il suo confine. Infatti, ogni tipo di parete permette o meno lo scambio di cose : ⊚⊎⊠⊠⊎ ❧ {⊝⊎⊟⊒⊡⊒ IMPERVIA ⊝⊎⊟⊒⊡⊒ POROSA ⊙⊎⊣⊜⊟⊜ ❧ {⊝⊎⊟⊒⊡⊒ RIGIDA ⊝⊎⊟⊒⊡⊒ MOBILE ⊐⊎⊙⊜⊟⊒ ❧ {⊝⊎⊟⊒⊡⊒ ADIABATICA ⊝⊎⊟⊒⊡⊒ DIATERMICA =noltre, aggiungiamo ora una piccola differenziazione all’interno dei sistemi: Definizione 0.10. Un sistema si dice COMPOSTO se è formato da dei sottosistemi; Definizione 0.11. Un sistema si dice SEMPLICE se non contiene al suo interno sottosistemi. 0.9. Densità o massa volumica Definizione 0.12. Chiamiamo DENSITÀ ⧴ l’unità di massa per volume: ⧴= ⥔ ⥃ (⊘⊔ ⊚ⵂ) Un sistema però può anche avere una densità non uniforme, anzi, l a maggior parte degli oggetti reali non hanno una densità uniforme. Portiamo al limite allora la densità volumica considerando la massa di ogni singolo volumetto infinitesimo che compone il corpo. Definizione 0.13 . Chiamiamo DENSITÀ PUNTUALE ⧴ la derivata della massa rispetto al volume: ⧴= ⊙⊖⊚ⷚ❧ⴿ ⥔ ⥃ = ⥋⥔ ⥋⥃ Ricordandoci del VOLUME SPECIFICO ⥝ visto pochi istanti fa, possiamo allora così ridefinirlo come l’inverso della densità : ⥝= ⥃ ⥔ = ╾ ⧴ (⊚ⵂ ⊘⊔ ) A B ⤮⽐ ⤯ ❧ ⤮ ⽐ ⤯ TERMODINAMICA APPLICATA - INTRODUZIONE ALLA TERMODINAMICA pag. 8 0.10. Stato del sistema Tutte le grandezze che incontriamo possono essere classificate in generale in: i. INTENSIVE – non dipendono dall’estensione del sistema (come temperatura e pressione) ; ii. ESTENSIVE – dipendono dall’estensione del sistema (come energia e volume); iii. SPECIF ICHE – sono grandezze estensive normalizzate per la massa del sistema. Definizione 0.14. Chiamiamo STATO DEL SISTEMA l’insieme di grandezze che caratter izzano il sistema. Per determi nare il numero minimo necessario e sufficiente di grandezze per descrivere lo stato di un sistema semplificato e semplice (privo ovvero di sottosistemi) ci viene in soccorso il POSTULATO DI STATO : “un sistema semplificato e semplice è definito completamente da due grandezze specifiche o intensive ” Quindi, da queste due è poi possibile determinare tutte le altre. Definizione 0.15. Lo stato di un sistema si dice STATO DI EQUILIBRIO (o stazionario) quando le grandezze che lo caratteriz zano non variano nel tempo. TERMODINAMICA APPLICATA - INTRODUZIONE ALLA TERMODINAMICA pag. 9 0.11. Trasformazioni Il nostro scopo sarà quello di passare da uno stato stazionario a un altro, e ciò è possibile attraversando degli stati di non -equilibrio. Definizione 0.16. Chiamiamo TRASFORMAZIONE l’uscita del sistema dal pr oprio stato di equilibrio e il conseguente spostamento verso un nuovo stato di equilibrio. Sia ⤮ un sistema di un gas in stato di equilibrio, avente una parete mobile, a contatto termico con l’ambiente. Aggiungiamo un peso sul pistone mobile e aspettiamo che il sistema ritorni in equilibrio con l’ambiente esterno. In un piano pressione -volume specifico ⥗⥝ possiamo rappresentare i due stati di equilibrio in quanto conosciamo precisamente le due grandezze , ma possiamo rappresentare anche gli stati intermedi tra ⤮ e ⤯? No, perché il pistone , aggiungendo il peso, scende velocemente creando UN ’ONDA DI PRESSIONE che si propaga in tutto il sistema fino a riflettersi sulle pareti. Ciò crea una disomogeneità di pressio ne nel sistema. Abbiamo ovvero una nuvola di valori non uniformi che non ci permettono di rappresentare la trasformazione reale nel paino ⥗⥝ . Possiamo però provare a unire i due punti con una linea: questa non rappresenta la trasformazione ma un insieme di infiniti punti di equilibrio. Definizione 0.17. Una trasformazione si chiama REVERSIBILE se è composta da un’infinità di punti di equilibrio intermedi . Notiamo come non esista un verso di percorrenza di una trasformazione reversibile poiché sono tutti punti di equilibrio . Ma a che cosa serve una trasformazione reversibile se è una trasformaz ione ideale e non reale? È un concetto utile per avvicinarci al concetto reale: è un modello. Proviamo ora a “ricreare” una trasformazione reversibile. Il segreto risiede nel riprodurre nella realtà una trasformazione lenta e con passi infinitesimi. Effe ttuiamo prima una trasformazione in più per conoscere un punto medio tra lo stato di equilibrio iniziale e finale ; le onde di pressione che abbiamo ottenuto tra ⤮ e ⤺ e tra ⤺ e ⤯ sono meno destabilizzanti rispetto all ’ond a di pressione ottenut a prima a ggiungendo l’unico pesetto in una sola volta. Possiamo allora continuare a dividere all’infinito la nostra trasformazione ricercando tanti stati di equilibrio intermedi. Realizzando così una trasformazione generale molto lenta con tanti passi molto piccoli otteniamo così tante piccole nuvolette di stati di non -equilibrio che limitano la destabilizzazione delle onde di pressione. Al limite, otteniamo una linea continua : TERMODINAMICA APPLICATA - INTRODUZIONE ALLA TERMODINAMICA pag. 10 Per esempio, consideriamo un’auto che si muove con velocità ⫻㐷✱ da ⤮ a ⤯. Facciamo un filmato all’auto che si muove e poi scattiamo delle foto all’auto ferma in diverse posizioni; scorrendo velocemente le foto mi sembrerà di avere davanti il filmato dell’auto che si muove, anche se in realtà l’auto e ra ferma quando quelle foto erano state scattate. E più l’auto a andrà piano durante la registrazione del filmato, meno si vedrà un effetto blur di mosso nei singoli fotogrammi ; in questo modo i fotogrammi del video si avvicineranno a lla “qualità” delle si ngole foto. Effettuando allora una trasformazione con velocità molto bassa, ci poss iamo avvicinare molto nella realtà a quella che è una trasformazione reversibile. Definizione 0.18. Chiamiamo TRASFORMAZIONE QUASI -STATICA una trasformazione infinitamente lenta che può essere considerata e studiata come una trasformazione reversibile. Per semplificarci la vita noi faremo una termodinamica degli stati di equilibrio; adotteremo poi dei trucchetti finali, come il rendimento, che ci permetteranno di far avvicinare i nostri risultati alla realtà. Parlando sempre di trasformazioni , possiamo classificarle in base a che cosa manteniamo costante: i. ISOTERMA – trasformazione a temperatura costante; ii. ISOBARA – trasformazione a pressione costante; iii. ISOCORA – trasformazione a volume costante; iv. ADIABATICA – trasformazione senza scambio di calore. o possiamo classificarle in base all’andamento del volume o della pre ssione: i. DILATAZIONE – il volume durante la trasformazione aumenta; ii. CONTRAZIONE – il volume durante la trasformazione diminuisce; iii. COMPRESSIONE – la pressione durante la trasformazione aumenta; iv. ESPANSIONE – la pressione durante la trasformazione diminuisce; Per esempio, questa è una trasformazione di dilatazione con compressione. TERMODINAMICA APPLICATA - INTR ODUZIONE ALLA TERMODINAMICA pag. 11 0.12. Pressione La pressione, da come sappiamo fin dal liceo, è data dal rapporto tra una forza e una superficie: ⥗= ⤳ ⤮ Però, la forza ⤳✱ è un vettore , può ovvero avere direzioni e versi diversi; anche la superficie può essere orientata in maniera diversa rispetto al sistema di riferimento. La pressione, allora, non è un semplice scalare, ma un TENSORE avente nove componenti. A noi per ò interessa esclus ivamente il caso in cui la forza è normale alla superficie. Esperimento di Torricelli Il tubo di Torricelli fu il primo strumento di misura realizzato appositamente per misurare la pressione atmosferic a. È costituito da un tubo di vetro , al cui interno è stato fatto il vuoto, chiuso a un'estremità e aperto dall'altra , posto in una vaschetta contenente mercurio. Torricelli h a osservato che la colonna si riempiva di mercurio fino a un’altezza di 760 mm . Proviamo a guardare le forze che a giscono sulla colonna di mercurio: sulla colonna di mercurio agisce l’accelerazione di gravità che ne determina il peso: ⤳ = ⧴ ⤮ ⥏ⴿ ⥎ dove ⤮⢏⥏ⴿ è il volume occupato dal mercurio nel tubo; ⧴⢏⤮⢏⥏ⴿ è la massa del mercurio. dal basso inoltre agisce una forza dovuta alla pressione atmosferica che schiaccia il mercurio nella bacinella. Nella situazione osservata il mercurio nella colonna è in equilibrio, ovvero le forze che vi agiscono sono globalmente nulle: ⧴ⷌⷥ ⤮ ⥏ⴿ ⥎= ⤽⷟ⷲⷫ ⤮ da cui: ⤽⷟ⷲⷫ = ⧴ⷌⷥ ⥏ⴿ ⥎ Ovvero, Torricelli ha così calcolato la pressione atmosferica , pari a 101325 Pa . Ripetendo lo stesso esperimento con l’acqua, l’altezza che si raggiungerà nella colonna sarà di 10 m, questo è dovuto alla densità molto inferiore dell’a cqua rispetto al mercurio. =nfatti, sott’acqua, al mare, ogni 10 m la pressione aumenta di 1 atm. Un altro esperimento utile a visionare l’immensità del numero della pressione atmosferica è prendere due calotte sferiche al cui interno vi è fatto il vuoto e unirle: la forza che l’aria esterna esercita su lle pareti esterne della sfera è così forte che le due calotte non possono essere separate neanche da due cavalli tiranti. TERMODINAMICA APPLICATA - INTRODUZIONE ALLA TERMODINAMICA pag. 12 0.13. Temper atura e Principio zero della termodinamica L’esistenza della temperatura ha origine da nostre sensazioni fisiche, infatti associamo delle temperature alla condizione di caldo o freddo. Abbiamo inoltre sempre osservato che quando abbiamo caldo, anche alcuni materiali si dilatano. Grazie a questo fenomeno possiamo così prova re a qu antificare quanto sia questo caldo. Creiamo ovvero un TERMOMETRO : Prendiamo una colonna di vetro, un TUBO CAPILLARE , alla cui base poniamo un BULBO contenente mercurio . Prendiamo ora una pentola d’acqua e portiamo la a ebollizione: a questo punto immergiamo il nostro termometro nell’acqua e segniamoci con una tacca l’altezza sulla colonna a cui è arriva to il mercurio , il quale, nel frattempo, si è dilatato con il calore; a quest a tacca diamo arbitrariamente il valore di 100°. Poniamo poi ora lo stesso termometro in una bacinella con del ghiaccio misto acqua : aspettiamo che il mercurio si ritragga e torni in equilibrio e segniamoci il suo nuovo livello: questo punto sar à il nostro punto a 0°. Dividiamo ora l’intervallo tra le due tacche in cento parti uguali. Abbiamo appena creato un termometro in SCALA CENTIGRADA (o scala Celsius). Ripetiamo ora gli stessi identici passaggi, ma questa volta inserendo dell’alcool nel bulbo al posto del mercurio. Quello che otterremo sara nno due termometri aventi uguali estremi, ma provando per esempio a misurare delle temperature intermedie, noteremo che un 52° sul termometro a mercurio non corrisponderà ai 52° del termometro ad alcool. Ovvero, la scala graduata del termometro dipende dal materiale utilizzato: le uniche misure certe sono gli estremi di riferimento, cioè 0° e 100°. Per ovviare a questo problema si è deciso di adoperare i gas perfetti per standardizzare la misura centigrada della temperatura poiché questi si dilatano in maniera costante . Definizione 0.19 . Due corpi si dicono in EQUILIBRIO TERMICO se hanno uguale temperatura e tra d i loro non vi è alcuno scambio di calore. Introduciamo ora quello che è i l PRINCIPIO ZERO DELLA TERMODINAMICA ; esso è postumo ai principi che vedremo successivamente, ma presentando un concetto più basilare è stato nominato “zero”; esso ci dice: “se due c orpi sono in equilibrio termico con un terzo corpo, allora essi sono in equilibrio termico anche tra di loro” Questo enunciato è ovvero una sorta di proprietà transitiva dell’equilibrio termico . Riprendendo un esempio visto nella pagina precedente, questo principio è utile anche per la creazione di una serie di termometri: al posto di inserire tutti i termometri in una pentola con acqua bollente e un recipiente con ghiaccio , possiamo utilizzare un termometro campione per tarare tutti i nuovi termometri. Definizione 0.20 . Definiamo SORGENTE TERMICA (o serbatoio) una porzione di spazio in grado di scambiare calore sena variare la propria temperatura. Per esempio, l’ambiente esterno è una sorgente te rmica in quanto ha una capacità termica potenzialmente infinita rispetto alle dimensioni dei nostri problemi. ⤮ ⤯ ⤰ TERMODINAMICA APPLICATA - INTRODUZIONE ALLA TERMODINAMICA pag. 13 Prendiamo ora due gas molto rarefatti ⤮ e ⤯; inseriamoli all’interno di due recipienti con pareti rigide e fisse e d effettuiamo una trasformazione a volume costante. Sottraendo calore a entrambi i sistemi potremo notare che vi è una dipendenza lineare tra la pressione e la temperatura. Prolungando le rette a un ipotetico punto a pressione nulla, noteremo che queste si incontrano in un punto specifico, ovvero a ⽑╿▄▀ ⏬╾▂◄ C. Prendiamo ora questo valore e adoperiamolo come nuovo punto di riferimento per creare una nuova scala termica; questa volta, però, andremo a realizzare una scala assoluta , ovvero che non può assumere valori negativi : SCALA KELVIN . ╽ K = ⽑╿▄▀ ⏬╾▂◄C ❧ ⥁(K)= ⥁(◄C)⽐ ╿▄▀ ⏬╾▂ ⥗ ⥁ ⤮ ⤯ ⽑╿▄▀ ⏬╾▂◄ C ⤮ ⤾ ⤯ ⤾ TERMODINAMICA APPLICATA - INTRODUZIONE ALLA TERMODINAMICA pag. 14 0.27. Fase L’energia di un sistema possiamo dividerla in due macrocategorie : i. ENERGIA SENSIBILE – un’energia che è legata alla variazione della temperatur a; ii. ENERGIA LATENTE – un calore scambiato a temperatura costante . Per esempio, se noi a 100°C forniamo calore a una pentola d’acqua la sua temperatura continu erà a rimanere costante sui 100°C finché essa bolle; ovvero, l’energia che noi forniamo al sistema non aumenta più la velocità delle molecole, ma agisce invece sui legami mole colari. Definizione 0.21. Chiamiamo FASE lo stato di aggregazione del sistema; esso in particolare può essere differenziato in: - LIQUIDO ; - SOLIDO ; - GASSOSO . da wikipedia.org TERMODINAMICA APPLICATA - INTRODUZIONE ALLA TERMODINAMICA pag. 15 0.28. Gas perfetti Sperimentalmente è possibile vedere che , prendendo 1 ⊘⊚⊜⊙ di un gas qualsiasi , a una pressione di 1 ⊎⊡⊚ e a una temperatura di 0°C , il volume che esso occupa è sempre di 22,4 ⊚ⵂ indifferentemente dal gas. Ciò ha permesso di introdurre la legge di stato dei gas perfetti: ⥗⥃ = ⥕ ⤿ⷳ ⥁ (0.5) dove ⥕ è il numero di moli ⥁ è la temperatura in kelvin ⥗ è la pressione in pascal ⥃ è il volume ⤿ⷳ è la costante universale dei gas perfetti che assume un valore di ▅⏬▀╾▁ ⵙ ⵶⵸⵵ ⵚ Definizione 0.22. Definiamo GAS PERFETT O un gas dove le forze di attrazione e repulsione intermolecolari sono nulle ; operativamente, possiamo definire i gas perfetti come tutti quei gas che ubbi discono alla legge di stato dei gas perfetti . Un gas reale ha un comportamento simile al modello di g as perfetto quando è molto rarefatto , ovvero quando in media le sue molecole sono abbastanza lontane le une dalle altre da poter trascurare le forze elettriche tra le molecole. Proviamo ora a riscrivere la legge di stato: ⥗⥃ = ⥕ ⤿ⷳ ⥁ ma, ⥕= ⥔ ⤺⥔ do ve ⥔ è la massa del sistema ⤺⥔ è la massa molecolare del gas perfetto allora , ⥗⥃ = ⥔ ⤺⥔ ⤿ⷳ ⥁ in particolare : ⥗⥃ = ⥔ ⤿ ⥁ dove ⤿ = ⷖ⻫ ⷑⷫ è la costante specifica del gas dividendo poi ora tutto per la massa ⥔, otteniamo: ⥗⥃ ⥔ = ⤿ ⥁ ovvero: ⥗⥝ = ⤿ ⥁ (0.6) dove ⥝= ⷚ ⷫ è il volume specifico TERMODINAMICA APPLICATA - INTRODUZIONE ALLA TERMODINAMICA pag. 16 0.29. Mulinello di Joule Prima dell’introduzione del sistema internazionale si usava la caloria come unità di misura al posto del joule. Essa è definita come il calore necessario da fornire a un grammo di acqua distillata a una pressione di 1 atm per farlo aumentare di un grado da 14,5°C a 15,5°C. ╾ ⊐⊎⊙ = ╾⊔ ⊑⊖ HⵁO ⊑⊎ ╾▁ ⏬▂◄C ⊎ ╾▂ ⏬▂◄C ⊎ ╾ ⊎⊡⊚ ╾ ⊘⊐⊎⊙ = ╾⊘⊔ ⊑⊖ HⵁO ⊑⊎ ╾▁ ⏬▂◄C ⊎ ╾▂ ⏬▂◄C ⊎ ╾ ⊎⊡⊚ Calore ed energia noi sappiamo che si esprimono però in joule; ed è stato prop rio lui, Joule, ad aver fatto comunicare la sua unità di misura con la caloria: Prendiamo un recipiente con 1kg di acqua distillata e forniamogli energia perturbando il sistema tramite un mulinello; questo è collegato a una carrucola. Per azionarlo, dunque , portiamo giù il pesetto di un’altezza ⥏ tale che il kilo di acqua aumenti di un grado centigrado, da 14,5°C a 15,5°C. L’energia utilizzata è pari alla differenza di energia potenziale della massa collegata al mulinello. Da ciò, dunque, Joule ha trovato c he: ╾ ⊐⊎⊙ = ▁⏬╾▅▃ J TERMODINAMICA APPLICATA - INTRODUZIONE ALLA TERMODINAMICA pag. 17 0.30. Lavoro e trasformazioni particolari Abbiamo già parlato di lavoro ⥓ e di determinate trasformazioni nelle pagine precedenti ; aggiungiamo ora qualche informazione in più. Innanzitutto, notiamo che nel grafico ⥗⥝ il lavoro altro non è che l’area s ottesa alla trasformazione reversibile ; in particolare, possiamo dire che: se si ha una dilatazione , allora il lavoro risulta essere positivo ; se si ha un a contrazione del sistema, il lavoro risulta negativo. Guardiamo ora delle trasformazioni specifiche: Isoterma Poiché la legge di stato risulta essere ⥗⥝ = ⤿ ⥁ⴿ= ⊐⊜⊠⊡⊎⊛⊡⊒ , otteniamo nel piano ⥗⥝ un’iperbole equilatera. In una contrazione, per esempio, svolgiamo un lavor o sul sistema ed esso cederà calore all’ambiente . In generale, ⥓ⵀⵁ = ⾼ ⥗ ⥋⥝ ⵁ ⵀ = ⾼ ⤿ ⥁ⴿ ⥝ ⥋⥝ ⵁ ⵀ = ⤿ ⥁ⴿ ⾼ ╾ ⥝ ⥋⥝ ⵁ ⵀ = ⤿ ⥁ⴿ [⊙⊛(⥝)]ⵀⵁ= ⤿ ⥁ⴿ⊙⊛(⥓⥕ ⥝ⵁ⽑ ⥓⥕ ⥝ⵀ) ⥓ⵀⵁ = ⤿ ⥁ⴿ⊙⊛ ⥝ⵁ ⥝ⵀ e nel nostro caso specifico, ⥝ⵀ> ⥝ⵁ ➧ ⥝ⵁ ⥝ⵀ< ╾ ➧ ⊙⊛ ⥝ⵁ ⥝ⵀ< ╽ ➧ ⥓ⵀⵁ < ╽ Nota bene il logaritmo del rapporto trai volumi specifici è uguale al logaritmo del rapporto trai volumi del sistema ; per ottenere il lavoro totale svolto dalla trasformazione non basta dunque sostituire il volume specifico con il volume, ma dobbiamo moltiplicare il lavoro specifico per la massa del sistema: ⊙⊛ ⥝ⵁ ⥝ⵀ= ⊙⊛ ⥃ⵁ ⥃ⵀ ⤹ⵀⵁ = ⥔ ⥓ⵀⵁ = ⥔ ⤿ ⥁ⴿ⊙⊛ ⥝ⵁ ⥝ⵀ ⥗ ⥝ ⤮ ⤯ ⾼ ⥗⥋⥝ ⷆ ⷅ ⥗ ⥝ TERMODINAMICA APPLICATA - INTRODUZIONE ALLA TERMODINAMICA pag. 18 Isobara Poiché la pressione è costante, otteniamo una retta orizzontale nel piano ⥗⥝ ; di conseguenza, il lavoro sarà pari all’area del rettangolo sotteso alla trasformazione, ovvero: ⥓ⵀⵁ = ⤽ⴿ ␪⥝ⵀⵁ = ⤽ⴿ (⥝ⵁ⽑ ⥝ⵀ) Isocora Poiché il volume è costan te, otteniamo una retta verticale nel piano ⥗⥝ ; di conseguenza, non vi è un’area sottesa alla trasformazione , per cui il lavoro svolto è nullo: una trasformazione isocora non può fare o ricevere lavoro dall’esterno. ⥓ⵀⵁ = ╽ ⥗ ⥝ ⥗ⴿ ╾ ╿ ⥗ ⥝ ⥝ⴿ ╾ ╿ TERMODINAMICA APPLICATA - PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA pag. 19 1. Primo principio della termodinamica 1.1. Introduzione al primo principio della termodinamica Continuiamo le nos tre considerazioni sul lavoro svolgendo questa volta una serie di trasformazioni tra due punti di equilibrio ╾ e ╿. La prima trasformazione è una semplice isoterma; La seconda è invece una sequenza di un’isobara seguita da un’isocora; La terza, infine, è una trasformazione isocora seguita poi da un’isobara. Confrontiamo ora i digrammi ⥗⥝ delle tre trasformazioni è di facile intuizione dire che il lavoro assorbito dal sistema nel caso ⤰ è maggiore di quello del caso ⤮, che a sua volta è maggiore di quello necessario per la trasformazione ⤯. ⤹⷇> ⤹ⷅ> ⤹ⷆ ⥗ ⥝ ⤰ ⤯ ⤮ ╿ ⤻ ╾ ⤺ ⤾ ⤾ ⥁ⴿ ⥁ⴿ ⥁ⴿ ⤾ ⤾ ⤮ ⤯ ⤰ ⥗ ⥝ ⤮ ╿ ╾ ⥗ ⥝ ⤯ ╿ ╾ ⤺ ⥗ ⥝ ⤰ ╿ ⤻ ╾ TERMO DINAMICA APPLICATA - PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA pag. 20 Abbiamo ovvero così dimostrato che il lavoro non è una funzione di stato; cioè, il lavoro dipende dal percorso fatto dalla trasformazione . Dunque, se non specifico la trasformazione effettuata non posso conoscere il lavoro svolto nonostante si conoscano i punti di stato iniziale e finale. Anche il calore, coì come il lavoro, non è una funzione di stato; ciò che invece è una funzione di stato è la quantità “calore me no lavoro” ; in particolare: ⤾ ⽑ ⤹= ␪⤲ = ⊣⊎⊟⊖⊎⊧⊖⊜⊛⊒ ⊑⊒⊙⊙ ′⊒⊛⊒⊟⊔⊖⊎ ⊑⊒⊙ ⊠⊖⊠⊡⊒⊚⊎ (1.1) questa formulazione è il PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA : una legge che governa il bilancio energetico. TERMODINAMICA APPLICATA - PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA pag. 21 1.2. Variazione dell’energia del sistema La variazione di energia del sistema ␪⤲ può essere specificata e riscritta come: ␪⤲ = ␪⥂ ⽐ ␪⤲ⷔ⽐ ␪⤲⷏ dove ␪⥂ è la variazione di ENERGIA INTERNA ; ␪⤲ⷔ è la variazione di ENERGIA POTENZIALE ; ␪⤲⷏ è la variazione di ENERGIA CINETICA . E dunque: ⤾ ⽑ ⤹= ␪⥂ ⽐ ␪⤲ⷔ⽐ ␪⤲⷏ (1.2) Notiamo come per avere una variazione di energia potenziale e cinetica a livello macroscopico dobbiamo avere un sistema APERTO , dove ovvero abbiamo un flusso di materia. Se siamo invece in un sistema CHIUSO il primo principio della termodinamica si semplifica nella forma: ⤾ ⽑ ⤹= ␪⥂ Portiamo ora il tutto in termini differenziali : ⥋⤾ ⽑ ⥋⤹ = ⥋⥂ ⽐ ⥋⤲ⷮ⽐ ⥋⤲⷏ e in particolare: ⥋⤾ ⽑ ⥋⤹ = ⥋⥂ o, per unità di massa: ⥋⥘ ⽑ ⥋⥓ = ⥋⥜ Possiamo infine aggiungere c he: in una trasformazione isocora, dove ovvero il lavoro è sempre nullo , il calore scambiato coincide con la variazione di energia interna: ⤹= ╽ ❧ ⥋⥘ = ⥋⥜ in una trasformazione adiabatica, dove ovvero il calore scambiato è nullo, il lavoro assorbito, ovvero che entra nel sistema, si trasforma tutto in energia cinetica: ⤾ = ╽ ❧ ⽑⥋⥓ = ⥋⥜ TERMODINAMICA APPLICATA - PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA pag. 22 1.3. Espansione libera di Joule L’espansione libera di Houle è un esperimento mentale sui gas perfetti. Supponiamo di avere un sistema formato da due recipi enti le cui pareti sono rigide e isolate termicamente con l’ ambiente: uno dei due recipienti contiene un gas perfetto mentre nell’altro vi è fatto il vuoto. Possiamo dunque dire che: ⤾ = ╽ ⊒ ⤹= ╽ ⥗⥝ = ⤿ ⥁ Rimuoviamo ora la parete centrale. Il lavoro ⤹ svolto dal gas è nullo poiché la sua pressione è perpendicolare al movimento di rimozione della parete. Misurando la temperatura prima e dopo la rimozione della parete centrale potremo notare come questa non è variata ma è rimasta costante durante tutta la trasformazione. Ciò che invece è variato sono la pressione e il volume del gas . Applichiamo ora il primo principio della termodinamica a questa trasformazione: ⤾ ⽑ ⤹= ␪⥂ ma ⤾ = ╽ ⤹= ╽ allora, ␪⥂ = ╽ ovve ro: ⥂⵲⵷⵲ⶃ⵲⵪⵵⵮ = ⥂ⵯ⵲⵷⵪⵵⵮ Da ciò possiamo dire che l’energia interna dei gas perfetti dipende unicamente dalla temperatura: ⥂ = ⥂(⥁) Se infatti l’energia interna dei gas perfetti dipendesse dalla loro pressione o dal loro volume, il risultato appena ottenuto non avrebbe senso poiché esse variano, mentre l’energia no. Dunque, per descrivere l’energia interna di uno stato di un gas perfetto ci basta una sola variabile (la temperatura) e non d ue come invece per le altre equazioni di stato. Nel caso invece di gas non perfetto rimane comunque il risultato di variazione di energia interna nulla; ciò che cambia è che avremo una variazione di temperatura durante l’espansione libera. Questo accade perché vi sono forze di repulsione e attrazione intermolecolari che, durante la trasformazione, diminuiscono e compiono soprattutto un lavoro. Le molecole, dunque, durante l’espansione non sono completamente libere, ma devono vincere le forze attrattive. TERMODINAMICA APPLICATA - PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA pag. 23 Il lavoro compiuto dalle forze intermolecolari va a discapito dell’energia cinetica delle singole molecole, ovvero dell’energia interna del sistema, cioè della sua temperatura. Di conseguenza, l’energia interna non dipenderà più solo dalla temperatura e p er descriverla dovremo utilizzare due parametri . Nei gas perfetti, invece, non essendoci forze intermolecolari , non vi è una variazione dell’energia cinetica delle singole molecole. 1.4. Calori specifici Definizione 1.1. Chiamiamo CALORE SPECIFICO ⥊ il calore che dobbiamo cedere a un’unità di massa di materia per aumentarne la temperatura di ╾◄ C. ⥊= ╾ ⥔ ⥋⤾ ⥋⥁ (1.3) Come avevamo detto, però, il calore non è una funzione di stato, dipende ovvero dal tipo di trasformazione svolta. Quando parliamo di calore specifico, dunque, dobbiamo specificare sempre la trasformazion e. Poiché comunque esistono infinite possibilità di trasformazioni, e dunque di calori specifici, noi ne vedremo solamente alcuni , i due più frequenti: CALORE SPECIFICO A VOLUME COSTANTE ⥊ⷴ= ╾ ⥔ (⥋⤾ ⥋⥁ )ⷴ= (⥋⥘ ⥋⥁ )ⷴ CALORE SPECIFICO A PRESSIONE COSTANTE ⥊ⷮ= ╾ ⥔ (⥋⤾ ⥋⥁ )ⷮ= (⥋⥘ ⥋⥁ )ⷮ Definizione 1.2. Chiamiamo CALORE SPECIFICO MOLARE ⥊ il calore necessario per far aumentare la temperatura di un’unità di quantità di materia di 1° C. ⥊= ╾ ⥕ ⥋⤾ ⥋⥁ e, analogamente co n il calore specifico massico, possiamo parlare di: CALORE SPECIFICO MOLARE A VOLUME COSTANTE ⥊ⷴ= ╾ ⥕ (⥋⤾ ⥋⥁ )ⷴ CALORE SPECIFICO MOLARE A PRESSIONE COSTANTE ⥊ⷮ= ╾ ⥕ (⥋⤾ ⥋⥁ )ⷮ TERMODINAMICA APPLICATA - PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA pag. 24 1.5. Energia interna e calori specifici nei gas perfetti In un gas perfetto , non essendoci forze interne intermolecolari, abbiamo un solo modo per far aumentare la propria energia interna: aumentare la velocità delle sue molecole, ovvero, aumentare la loro energia cinetica ; e indice dell’energia cinetica media delle molec ole (che coincide con l’energia interna) è proprio la temperatura. Consideriamo ora due sistemi ⤮ e ⤯ con pareti rigide con all’interno una mole di due diversi gas perfetti . Introduciamo ora a volume costante la stessa quantità di calore ⤾ in ⤮ e ⤯: ⤾ⷅ= ⤾ⷆ. Poiché la trasformazione è isocora, il lavoro svolto è nullo e, di conseguenza, tutto il calore inserito contribuisce a incrementare l’energia interna dei due sistemi . ⤹= ╽ ❧ ⤾ⷅ= ␪⥂ⷅ = ⤾ⷆ= ␪⥂ⷆ Ovvero, in entrambi i sistemi si ha un uguale amento dell’energia cinetica media delle molecole e, dunque, aumenta in modo uguale la loro temperatura. Abbiamo così dimostrato che ⤮ e ⤯ hanno ugual calore specifico. Dobbiamo però aggiungere un appunto: il ragionamento appena fatto è quasi giusto. Dobbiamo solo ricordarci che i gas perfetti si dividono in MONOATOMICI e BIATOMICI . Possiamo allora così riscrivere il risultato appena ottenu to: “Tutti i gas perfetti monoatomici hanno ugual calore specifico molare, Tutti i gas perfetti biatomici hanno ugual calore specifico molare.” Ciò è determinato dal numero dei GRADI DI LIBERTÀ delle molecol e; in particolare, ogni grado di libertà influis ce di ⵀ ⵁ⤿ sul calore specifico massico a volume costante : Gas perfetto monoatomico Abbiamo tre gradi di libertà traslazionali; allora: ⥊ⷴ= ▀ ╿⤿ in questo caso, ⤿ dipende dal gas scelto ⤿ = ⤿ⷳ ⤺⥔ e poiché [ M⊚ ]= ⵰ ⵶⵸⵵ e [ R⵾ ]= ⵙ ⵶⵸⵵ ⵚ, allora specifichiamo che [ R ]= [ⵡ⹶] [ⵜ⵶ ]= ⵙ ⵰ ⵚ Dunque, ⥊ⷴ⏬ ⵶⵸⵵⵪⵻⵮ = ▀ ╿⤿ⷳ ⥊ⷴ⏬ ⵶⵪⵼⵼⵲⵬⵸ = ▀ ╿⤿ Gas perfetto biatomico Abbiamo cinque gradi di libertà totali: tre traslazionali e due rotazionali. Allora: ⥊ⷴ⏬ ⵶⵸⵵⵪⵻⵮ = ▂ ╿⤿ⷳ ⥊ⷴ⏬ ⵶⵪⵼⵼⵲⵬⵸ = ▂ ╿⤿ ⤮ ⤾ ⤯ ⤾ TERMODINAMICA APPLICATA - PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA pag. 25 Ritorniamo ora alla definizione iniziale di calore specifico a volume costante e riscriviamoci anche il primo principio della termodinamica: ⥊ⷴ= ╾ ⥔ (⥋⤾ ⥋⥁ )ⷴ ⥋⤾ ⽑ ⥋⤹ = ⥋⥂ ma , ⥋⤹ = ⥗ ⥋⥃ allora: ⥋⤾ ⽑ ⥗ ⥋⥃ = ⥋⥂ e sostituendo nel calore specifico: ⥊ⷴ= ╾ ⥔ (⥗ ⥋⥃ ⽐ ⥋⥂ ⥋⥁ )ⷴ e poiché il volume è costante, la sua derivata ⥋⥃ risulta essere nulla; dunque: ⥊ⷴ= ╾ ⥔ (⥋⥂ ⥋⥁ )ⷴ inoltre, per un gas perfetto, l’energia interna è solo funzione della temperatura, ovvero la derivata ⷢⷙ ⷢⷘ è una derivata totale esatta e non una parziale; possiamo dunque escluderla dalla parentesi di con dizione ⥝- costante e invertire la relazione: ⥋⥂ = ⥔ ⥊ⷴ ⥋⥁ ⥋⥜ = ⥊ⷴ ⥋⥁ (1.4) Questa relazione appena ottenuta vale per qualsiasi