Aerospace Engineering - Fondamenti di Meccanica del Volo Atmosferico

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Dispensa Volo Nicolas Gaudenzi14 March 2023 Contents 1 Modellazione3 1.1 Aeroplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Sistemi di Riferimento5 2.1 Terra Fissa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Orizzonte Locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.4 Vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 Dinamica del Velivolo9 3.1 Tipi di Volo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Equazioni Cardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.3 Caratterizzazione Forzanti Aerodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.4 Caratterizzazione Coefficienti Aerodinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4.1 Caso 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.4.2 Caso 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.5 Equazioni del Moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.5.1 Volo Simmetrico nel Piano Verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.5.2 Volo Stazionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.5.3 Volo non Simmetrico, Orizzontale, Rettilineo, Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.6 Studio Soluzione all’Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 Stabilit`a Statica22 4.1 Longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.1.1 Configurazione Ala Volante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.1.2 Configurazione Tradizionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 Direzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.3 Laterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5 Prestazioni in VORU29 5.1 Spinta Necessaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2 Caratterizzazione della Risolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.3 Analisi del Diagramma di Penaud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.4 Modelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.4.1 Polare Analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.4.2 Spinta e Potenza Analtiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.5 Studio Soluzione VORU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.5.1 Motore a Getto J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.5.2 Motore a Elica P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.6 Effetto della Variazione dei Parametri sul Diagramma di Penaud . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.6.1 Variazione della Manettaδ T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.6.2 Variazione del Peso W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.6.3 Variazione della Quotaρ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.7 Stabilit`a Propulsiva in Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.8 Quota di Tangenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.9 Inviluppo di Volo in Crociera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1 6 Prestazioni in Salita 38 6.1 Ottimizzazione delle Prestazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6.2 Inviluppo di Volo in Salita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 7 Prestazioni Integrali41 7.1 Prestazioni Integrali in Salita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.1.1 Ottimizzazione Tempo di Salitaτ C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7.1.2 Ottimizzazione Spazio di SalitaS C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7.1.3 Ottimizzazione Combustibile necessario alla Salitaw fC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 7.2 Prestazioni Integrali in Crociera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.2.1 Motore a Getto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 7.2.2 Motore a Elica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 8 Riassunto Ottimi Prestazionali 45 9 Volo in Manovra46 9.1 Fattore di Carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469.1.1 Diagramma n-v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 9.2 Virata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 9.2.1 Virata Corretta Sostenuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 10 Manovre Terminali50 10.1 Decollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5010.1.1 Velocit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 10.1.2 Modello Matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 10.2 Atterraggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2 1 Modellazione Caratterizziamo un aeroplano in volo con 3 modelli:•Aeroplano •Terra •Atmosfera 1.1 Aeroplano Possiamo avere diversi modelli che descrivono il nostro aeroplano: •Punto materiale Occorre assegnare3 GdLper definirne la posizione. Permette di descrivere molto bene la traiettoria dell’aeroplano. Verr`a utilizzato per lo studio delle prestazioni (VORU, virata, range, endurance, ...). Le sue caratteristiche sono: non ha un’estensione nello spazio 3D e le forzanti vengono applicate al punto come risultanti. Le forzanti, per`o, dipendono dall’estensione 3D, in particolare le forzanti aerodinamiche dipendono dall’atteggiamento del corpo rispetto al fluido in cui `e immerso. Allora parleremo dipunto materiale orientato, ovvero il punto materiale corredato di una terna di assi di riferimento solidale con il punto stesso. •Corpo rigido Occorre assegnare6 GdLche definiscono la posizione e l’orientazione nello spazio. Serve per caratterizzare la dinamica (studio dei modi propri, simulatori, design dei sistemi di controllo). Un caso particolare di questo modello di cui faremo uso `e ilcorpo rigido nel piano: questo modello utilizza solamente 3 GdL (2 per la posizione e 1 per la rotazione), viene utilizzato per lo studio della stabilit`a statica longitudinale e latero-direzionale. •Corpo flessibile Occorre assegnare∞GdL(nella teoria, nella partica N) viene utilizzato per problemi di aero-elasticit`a (implicazioni nella progettazione strutturale, determinazione della fatica). Ritorniamo al concetto di punto materiale orientato. Per descriverne la traiettoria, e pi`u in generale il moto, si introducono le quantit`a cinematiche: •x (t) : Re→Re3 , posizione •˙x (t) : velocit`a •¨x (t) : accelerazione dove t `e il tempo, variabile indipendente. Alternativamente `e possibile misurare la traiettoria attraverso l’ascissa curvilinea, ovvero tramite la misura della distanza percorsa lungo la traiettoria: ∆s=Z t1 t0| ˙x (t)|dtdif f erenziale −−−−−−−−−→ds=|˙x (t)|dt=   dx dt    dt =|dx |(1)Definiamo la terna intrinseca: •e t=dx ds =x ′ (s) versore tangente alla traiettoria •e n=x ′′ (s)|x ′′ (s)|versore normale alla traiettoria dove R=1|x ′′ (s)|`e il raggio di curvatura della traiettoria •e b=e t×e nversore binormale alla traiettoria, ovvero versore normale al piano della traiettoria 3 Ora definiamo la traiettoria attraverso i versori della terna intrinseca: •velocit`a:˙x (t) =dx dt =dx ds ·dsdt =e t· ˙ s= ˙s·e t= ˙ s·x ′ (s) •accelerazione:¨x (t) = ¨s·e t+ ˙ s·de tdt = ¨ s·e t+ ˙ s·˙ s·x ′′ (s) = ¨s·e t+˙ s2R ·e n. Allora chiamiamo ω=˙ sR velocit`a angolare. Allora avremo:¨x (t) = ¨s·e t+ ω2 R·e n 1.2 Terra Ci occuperemo del volo atmosferico, ovvero in prossimit`a della superficie terrestre, in cui la quota `e un valore infinitesimo rispetto alle dimensioni del raggio terrestre. Utilizzeremo il modello diTerra piatta, le cui caratteristiche sono: il campo gravitazionale g `e uniforme (non centrale); le traiettorie sono a quote costanti (rettilinee); la terra non ruota, ovvero `e un sistema di riferimento inerziale. 1.3 Atmosfera Nella realt`a `e un sistema estremamente complesso, noi utilizzeremo il modello diAtmosfera Standard. Sono necessarie diverse ipotesi: •gas perfetto→p=ρRT con R= 287.05m 2K s 2 •gas in quiete→d Pd h= −ρg(equazione dell’idrostatica) •temperatura in funzione della quota→( T(h) =T 0+ λhperh≤h S T(h) =T sper h > h Sdove        λ =−6.5Kkm T0= 288 .15K hs= 11000 m Ts= 216 .65K Da questo possiamo ricavare le funzioni di P eρ:     P =P 0 1 +λhT 0 −gRλ perh≤h S P=P s· e− gRT s( h−h s) perh > h Sdove P 0= 101325 P a(2)     ρ =ρ 0 TT 0 −(1+gRλ ) perh≤h S ρ=ρ s· e− gRT s( h−h s) perh > h Sdove ρ 0= 1 ,225kgm 3(3) A bordo di un velivolo la misurazione della quota avviene attraverso una misura differenziale di pressione. La pressione di riferimento pu`o essere settata in diversi modi: •QNH: impostata al valore dellapressione sul livello del marein una specifica posizione geografica in un specifico istante di tempo (per esempio oggi). Si parla di distanza verticale dalla ”quota mare” locale. Viene usata tipicamente per il volo a bassa quota, in manovre terminali, anche per velivoli che volano sotto alla quota di transizione in crociera , per garantire la distanza da terra; •QNE: impostata al valore dipressione standardP 0. Si parla di distanza verticale da una isolinea di pressioni pari aP 0. Viene usata sopra la quota di transizione per garantire separazione tra le varie rotte aeree; •QFE: impostata al valore dellapressione dell’aeroporto. Si parla di distanza verticale dall’aeroporto. Viene usata tipicamente per l’atterraggio. 4 2 Sistemi di Riferimento Matematicamente un sistema di riferimento `e unente geometrico. E’ caratterizzato da: •origine, ovvero un punto nello spazio •terna di vettori linearmente indipendenti, nella pratica `e pero una terna di versori ortonormali (caso particolare della definizione generale) Ora verranno introdotti i principali sistemi utilizzati. 2.1 Terra Fissa (Navigational Frame)FE E’ necessaria l’ipotesi di terra piatta, per permetterci di considerare il sistema come un sistema inerziale. Caratterizzato da: •origine solidale con il centro della terra •( xe, y edefiniscono il piano della terra ze`e il vettore normale al piano della terraQuesto sistema di riferimento verr`a utilizzato per esprimere la velocit`a del velivolo rispetto al suolo. Questa si chiama Velocit`a Ground Speed (V GS) e viene misurata solitamente con il GPS. La possiamo definire come˙x (t) =V GS=V AS+V W SdoveV ASsta per air speed, ovvero velocit`a dell’aereo rispetto al vento ed `e responsabile delle forze risultanti,V W Ssta per wind speed, ovvero velocit`a del vento rispetto al suolo. Possiamo fare l’ipotesi di aria calma (still air), ovveroV W S= 0 allora,V GS=V AS=V Possiamo scegliere diverse unit`a di misura per la velocit`a: •ms unit`a di misura del SI (Sistema Internazionale) •kn o kts, sono i nodi, 1kts=1 nm(miglio nautico)1 h=1852 m3600 s •kmh , deriva abbastanza direttamente daims , infatti 1ms = 3 .6kmh •mph, miglia orarie, 1mph=1 mi(miglio statuario)1 h=1 .609km1 h La misura della velocit`a avviene attraverso misure di pressione, due in particolare, la pressione totaleP tote la pressione staticaP statica, e queste sono legate da questa relazione: Ptot= P statica+12 ρv 2 =⇒v=s2 ·(P tot− P statica)ρ dove ρ =ρ 0= 1 .225kgm 3(4) 2.2 Orizzonte Locale (Local Horizon Frame, NED North-East-Down)FH E’ caratterizzato da:•origine solidale con il baricentro dell’aeroplano •( xh, y hdefiniscono un piano parallelo all’orizzonte, diciamo che x hpunta verso Nord e y hverso Est zhperpendicolare a tale piano e diretto verso il basso (Down)5 Pu`o essere utilizzato per determinare la quota di volo telemetrica, che dipende dal riferimento utilizzato. Pu`o inoltre essere utilizzato per definire la velocit`a dell’aereo. Riguardo a questo `e necessario definire questiangoli di traiettoria: •γangolo di rampa, `e l’inclinazione del vettore velocit`a rispetto al piano dell’orizzonte locale. Avremo che:γ=−asenv ·z h|v |ed `e tale per cui `e positiva se `e a salire ed `e negativa se `e a scendere• χangolo di rotta, `e l’angolo tra la proiezione della velocit`a sul piano dell’orizzonte locale e il Nord. Avremo che:χ=atanv ·y hv ·x hed `e tale che `e uguale a 0 sev `e verso Nord oppure aπ2 sev `e verso Est.Ora, avendo dato queste definizioni, posso definire la velocit`a: v =v cos γ cos χ·x h+ v cos γ sen χ·y h+ v sen γ·z h(5) E inoltre definiamo:ω=p˙ γ2 + ˙χ2 cos2 γ 2.3 Corpo (Body Reference)FB Caratterizzato da:•origine solidale con il baricentro dell’aeroplano •( xb( rollio), z b( imbardata) definiscono il piano di simmetria materiale,x b`e allineato con la fusoliera yb( beccheggio) `e diretto lungo la semi-ala destraPossiamo definire gli angoli di assetto(le definizioni sono valide per piccoli valori): •θangolo di beccheggio→θ=−asen(x b·z h) →inclinazione dell’asse longitudinale rispetto all’orizzonte locale6 • Φangolo di rollio→Φ =asen(y b·z h) →inclinazione versore ala destra rispetto all’orizzonte locale• ψangolo di imbardata→ψ=asen(x b·y h)Possiamo anche definire la velocit`a in assi corpo usando la definizione di due angoli, detti angoli aerodinamici: •βangolo di deriva(sideslip), ha lo stesso status geometrico diγ, indica lo scarroccio del piano di simmetria. Avremo che:β=asenv ·y b|v |• αangolo di incidenza(angle of attack), angolo tra la direzione di v ex b. Avremo che: α=atanv ·z bv ·x bOra posso scrivere: v =v cos α cos β·x b+ v sen β·y b+ v sen α cos β·z b= u·x b+ v·y b+ w·z b(6) Allora:senβ=v|v |e tanα =wu (7) E’ necessario fare un’ipotesi semplificativa (che per`o per esempio non vale per l’elicottero):(u >> v l′ aereo andrebbe anche in laterale u >> w l′ aereo stallerebbe= ⇒ |v | ≈u=⇒tan α=w|v |(8) 7 2.4 Vento (Wind Frame, Aerodinamico) FA Caratterizzato da:•origine solidale con il baricentro dell’aeroplano •( xaallineato conv zasta nel piano di simmetria del velivolo ( x b, z b)= ⇒y a`e ottenuto con il prodotto vettoriale Questo sistema di riferimento `e utilizzato per definire le forzanti aerodinamiche come Portanza (perpendicolare av ) e Resistenza (parallela av )8 3 Dinamica del Velivolo Ora vogliamo cercare di analizzare meglio quella che `e la dinamica di un qualsiasi velivolo in volo. 3.1 Caratterizzazione dei Tipi di Volo Grazie a definizioni date in precedenza possiamo definire in modo matematico e analitico tutti i tipi di volo: •Volo Uniforme→ |v |=costante=⇒ |˙v |= 0 •Volo Rettilineo→R=∞=⇒|v |R = ω= 0 =⇒( χ=costante γ=costante→ gli angoli sono fissi •Volo Orizzontale→γ= 0 =⇒|v |R = ω= ˙χ→mi sto muovendo nel piano •Volo nel Piano Verticale→χ=costante=⇒˙ χ= 0 =⇒ω= ˙γ •Manovra Curvilinea→( ˙ γ >0richiamata(pull−up) ˙ γ 0virata positiva ˙ χ 0→non dipende da ˙γ •Volo in Discesa→γ 0 –(y Jl − y G) 0 –L Gδa< 0 –N GδrL Gδa− N GδaL Gδr> 0 tipicamente (per un aeroplano di configurazione classica gli effetti diretti sono pi`u intensi degli effetti incrociati) (ricavato da relazioni sopra) Possiamo concludere che l’aeroplano sar`a voltato verso sinistra, sar`a quindi necessario schiacciare sotto il piano dell’orizzonte il motore che funziona per mantenere la configurazione desiderata. •δ a= −L G δrL G δa· W senϕQ δr> 0 –L Gδr> 0 –L Gδa< 0 –W >0 –senϕ 0 –W >0 –senϕ 0 allora per stabilit`a il profilo deve picchiare ∆C mG< 0• ∆α 0Da questo ne deriva il criterio di stabilit`a statica longitudinale: ∆ C m G∆ α< 0→C mGα< 0. Considero G perch´e parto dall’equilibrio per studiare la stabilit`a, e in equilibrioC mGα= 0 (`e la condizione di equilibrio in cui studio la stabilit`a). Una prima implicazione del criterio di stabilit`a deriva dal legame costitutivo:m G= L α( α−α 0)( x N− x G) + Lδe( δ e− δ e0)( x C− x G)deriviamo −−−−−−−−→ rispetto ad αm Gα= L α( x N− x G)stabilita −−−−−→ mGα< 0L α( x N− x G) 0 −−−−→x N− x G< 0 =⇒ =⇒x G> x N. Notiamo che sparisce la componente di controllo, allora la stabilit`a e il controllo sono separati (l’aereo stabile riassorbe in modo autonomo la perturbazione, quindi `e pi`u facile da pilotare). Inoltre, la stabilit`a `e legata al posizionamento reciproco tra baricentro e punto neutro e questo implica dei limiti che il pilota conosce bene.Ora analizzeremo diversi casi di configurazioni e analisi. 4.1.1 Configurazione Ala Volante Applichiamo il criterio di stabilit`a statica longitudinale al caso particolare dell’ala volante, ovvero con assenza dell’impennaggio orizzontale. NB: Per ala volantex N`e coincidente con x AC Equilibrio (VORU):m G= 0 = m AC− (x G− x N) L=⇒x G− x N=m ACW Stabilit`a:m Gα< 0 =⇒x N− x G< 0 Ora concentriamoci sum AC, che `e un numero caratteristico del profilo, e per profili concavi (ovvero quelli classici) `e minore di 0. Allora (x G− x N) 0. Sono profili con prestazioni abbastanza scadenti, presentano una stabilit`a marginale. Presentano dei vantaggi a causa del non utilizzo degli impennaggi di coda che causano una riduzione della portanza e un aumento della resistenza.4.1.2 Configurazione Tradizionale Adesso, applichiamo il criterio di stabilit`a longitudinale a velivoli a configurazione tradizionale, ovvero con impennaggio orizzontale in coda, cio`e velivoli a due superfici. L’impennaggio in coda si inserisce allo scopo di stabilizzare l’ala. Il modello a due superfici consente lo studio di questa configurazione, e dimostra analiticamente l’effetto stabilizzante della coda. Introduciamo alcuni angoli:iw angolo di calettamento ala (incidence),it angolo di calettamento coda,ϵangolo di downwash. Allora avremo che:αaw =α+iw →αw incidenza assoluta dell’ala eαat =α+it −ϵ→αt incidenza assoluta della coda.Avremo chev t , che `e la velocit`a che sente la coda, `e diversa dav , che `e la velocit`a che sente l’ala, perch´e la coda vede un flusso diverso da quello che vede l’ala, allora definiamo: •intensit`a ridottaη=q tq =12 rho vt 21 2 rho v 2< 1 rapporto tra le pressioni dinamiche su coda e ala •direzione differenteϵ=ϵ 0+ ϵ αα , doveϵ 0ed ϵ αsono funzioni di come `e fatto l’aeroplano, quindi sono elementi noti (questo `e un modello lineare non omogeneo rispetto adα, inoltre maggiore sar`aαmaggiore sar`aϵ) •σ=S tS rapporto tra la superficie di coda e dell’ala Per arrivare allo studio della stabilit`a occorre studiare prima il legame costitutivo, facciamo prima alcune ipotesi (da un punto di vista modellistico all’ala non frega nulla di quello che succede sulla coda, anche se estenrnamente questo influisce, ovvero l’aereo ha una risposta diversa):q=qw pressione dinamica di riferimento,S=Sw superficie di riferimento,Lw δ= mw Pδ= 0 matematicamente significa che il GdL di controllo `e fisicamente sulla coda,C Lα= a,C Lδ= b.23 Legami Costitutivi I legami costitutivi diventano: •Portanza L -Lw =qw Sw aw αw =qS aw (α+iw ) =Lw αα +Lw 0 -Lt =qt St (at αt +bt δe) = ησqS(at (α+it −ϵ) +bt δe) = ησqS(at (1−ϵ α) α+at (it −ϵ 0) + bt δe) = Lt αα +Lt δδ e+ Lt 0 La portanza complessiva risulta essere:L=Lw +Lt =L αα +L δδ e+ L 0. Passando ai coefficienti (adimensionalizzando rispetto aqS), otteniamo: –C Lα= aw +ησ(1−ϵ α) at –C Lδ= ησbt =ησb –C L0= aw iw +ησat (it −ϵ 0) Allora il coefficiente di portanza complessivo sar`a:C L= C Lαα +C Lδδ e+ C L0 •Momento m -mw P= mw AC− (x P− xw AC) Lw =mw AC− (x P− xw AC)( Lw αα +Lw 0) = mw Pαα +mw P0dove +mw Pα= ( xw AC− x P) Lw α= qS at (xw AC− x P) +mw P0= mw AC+ ( xw AC− x P) Lw 0= mw AC+ ( xw AC− x P) qS aw iw -mt P= mt AC− (x P− xt AC) Lt =mt AC− (x P− xt AC)( Lt αα +Lt δδ e+ Lt 0) = mt Pαα +mt Pδδ e+ mt P0dove +mt Pα= ( xt AC− x P) Lt α= ησqS at (1−ϵ α)( xt AC− x P) +mt Pδ= mt ACδ+ ( xt AC− x P) Lt δ= ησqS ct \ Ct mAC δ+ ησqS bt (xt AC− x P) +mt P0= mt AC+ ( xt AC− x P) Lt 0= ησqS ct \ Ct mAC+ ησqS at (xt AC− x P)( it −ϵ 0) Il momento complessivo risulta essere:m P= mw P+ mt P= m Pαα +m Pδδ e+ m P0. Passando ai coefficienti (adimensionalizzando rispetto aqS c), otteniamo: –C mPα= ( ξw AC− ξ P) aw + (ξt AC− ξ P) ησ(1−ϵ α) at –C mP δ= ησ(ξt AC− ξ P) + ησk\ Ct mAC δ= ησ(ξt AC− ξ P) + Ct mAC δcon k=c tc –C mP 0= Cw mAC+ ( ξw AC− ξ P) aw iw + (ξt AC− ξ P) at (it −ϵ 0) + ησk\ Ct mAC Verifichiamo il contributo stabilizzante della coda:C mGα< 0→C mGα= ( ξw AC− ξ G) aw + (ξt AC− ξ G) ησ(1−ϵ α) at .Il primo termine `e maggiore di zero, il secondo termine `e minore di zero. Il contributo di coda, essendo minore di zero, potrebbe produrre un coefficiente totale minore di zero e quindi fornire una configurazione stabile. L’intensit`a del termine di coda `e proporzionale a: (ξt AC− ξ G) distanza baricentro coda, che, una volta fissato il baricentro, `e proporzionale all’arretramento della coda;σproporzionale alla dimensione della coda (parametri di progetto);η, ϵ α, at dipendenti da caratteristiche aerodinamiche poco variabili e ”controllabili”. Inoltre ilC mP deriva anche da corpi non portanti, come per esempio la fusoliera, che d`a quindi un contributo alla stabilit`a, un contributo instabilizzante. Modello a Due SuperficiOra, sfruttiamo il modello a due superfici per ”ripercorrere” il legame costitutivo nelle forme gi`a introdotte, con ulteriori cenni sulla stabilit`a: •Punto Neutro N Sappiamo che (ξ N− ξ P) =C m PαC Lα= ( ξw AC− ξ P) aw +(ξt AC− ξ P) at ησat (1−ϵ α)a w +ησ(1−ϵ α) at . Definiamo τ=ησ(1−ϵ α)a ta w , allora (ξ N− ξ P) =( ξw AC− ξ P)+( ξt AC− ξ P) τ1+ τ. Isolando ξ Notteniamo ξ N=ξ w AC+ τ ξt AC1+ τ. Allora possiamo dire cheξ Ndipende dalle posizioni dei centri aerodinamici di ala e coda. Inoltre il punto neutro `e definito dalla configurazione (geometria, `e infatti un punto materiale). Proviamo a scegliereξ P= ξt ACallora (ξ N− ξt AC) =11+ τ( ξw AC− ξt AC). Dal momento che11+ τ< 1 allora abbiamo che (ξ N− ξt AC) 0. Analizziamo le diverse combinazioni possibli: •Velivolo Stabile di Configurazione Tradizionale Stabile see >0 e configurazione tradizionale sed >0 =⇒ϵ >0 =⇒( La > W Lc 0 e configurazione canard sed x N( ξ G> ξ N). Il limite anteriore `e dato da:Lc =−ϵW=−ed W =−x G− x Nx N− x CW in condizioni di equilibrio. Sex Gaumenta allora anche|Lc |aumenta, allora anche|δ e| aumenta. Questo aumento non `e ovviamente illimitato, perch´e interviene lo stallo dell’equilibratore.26 Inoltre, `e possibile utilizzare la formulazione di Borri per un’ulteriore scrittura della pendenza della curva di portanza trimmata:( Lc =−ϵW La = (1 +ϵ)W, soluzione equilibrio in VORU, Lc =−ϵ1+ ϵLa . La portanza complessiva `eL=La +Lc =La (11+ ϵ) =11+ ϵL α( α−α 0) = L∗ α( α−α 0) ovvero ai coefficienti(dividendo per la pressione dinamica q e la superficie alare S)C∗ Lα=11+ ϵC Lα. 4.2 Stabilit`a Direzionale Si parla di stabilit`a direzionale quando si vuole cercare di mantenere stabile l’aereo intorno all’asse di imbardata. Il criterio per studiare la stabilit`a direzionale si realizza perturbandoβe poi studiando il comportamento di ∆N G. Visualizzando l’aereo dall’alto, la punta dell’aereo deve allinearsi con la direzione della velocit`a, allora se ∆β >0→∆N G> 0 e se ∆β 0 =⇒ N Gβ> 0Analizziamo l’effetto stabilizzante della deriva verticale: ∆ N G= ( x G− x ACv )∆Q(posizione centro aerodinamico deriva verticale, solitamente14 della corda). Sappiamo che ∆ Q >0, allora se la coda `e dietro ((x G− x ACv )>0) ∆N G> 0 per un ∆β >0, alloraN Gβ> 0. Questo `e il motivo per cui la deriva verticale viene messa dietro, perch´e ha un effetto stabilizzante.4.3 Stabilit`a Laterale Si parla di stabilit`a laterale quando si vuole cercare di mantenere stabile l’aereo intorno all’asse di rollio. Il criterio per studiare la stabilit`a laterale consiste nel perturbareβ(questo significa imporre una componente di velocit`a laterale, si parla di scarroccio laterale) e poi successivamente si studia il comportamento di ∆L G. Allora, per un ∆β >0 avremo un ∆v >0, ovvero una componenente laterale di velocit`a positiva, cos`ı avremo un ∆L G< 0, ovvero verso sinistra, per un ∆β 0 avremo cheL Gβ< 0, allora la deriva verticale ha un effetto stabilizzante• Diedro Alare Analizzando la figura possiamo osservare che a causa dell’incremento div(∆v >0) a destra abbiamo l’ala che ”scende”, quindi ho un ∆α+ che implica un ∆L+ e un ∆D+ , a sinistra abbiamo l’ala che ”sale”, quindi ho un ∆α− che implica un ∆L− e un ∆D− , questo differenziale diLnelle due ali porta ad avere un ∆L G< 0 allora dato che ∆β >0 avremo cheL Gβ< 0, allora il diedro alare ha un effetto stabilizzante• Ala Alta Analizzando la figura possiamo osservare che a causa dell’incremento div(∆v >0) a destra abbiamo aria che viene sotto l’ala, quindi ho un ∆α+ che implica un ∆L+ , a sinistra abbiamo aria che va via da sotto l’ala, quindi ho un ∆α− che implica un ∆L− , questo differenziale diLnelle due ali porta ad avere un ∆L G< 0 allora dato che ∆β >0 avremo cheL Gβ< 0, allora l’ala alta ha un effetto stabilizzante. Nella realt`a solitamente si realizzano aerei ad ala bassa, che sono meno stabili, ma mi permettono di controllare maggiormente il velivolo.28 5 Prestazioni in VORU 5.1 Spinta Necessaria Ritorniamo all’equilibrio in VORU, per un volo simmetrico:    T =D mG= 0 L=W(40) Allora caratterizziamo queste equazioni, ovvero esprimiamo da cosa dipendono queste quantit`a:•T=T(ρ, v, δ T) assegnata attraverso curve sperimentali •D=D(ρ, v, α, δ e) •L=L(ρ, v, α, δ e) •m G= m G( ρ, v, α, δ e) Ora ripercorriamo i passaggi gi`a visti,m G= 0 = ⇒δ e= δ∗ e( ρ, v, α), inseriamo questo risultato nei legami costitutivi e otteniamo la resistenza trimmata e la portanza trimmata,D=D(ρ, v, α) eL=L(ρ, v, α), ricaviamo αdalla portanza trimmataα=α(L, ρ, v), sostituiamo in D e otteniamo la polare trimmataD=D(ρ, v, L). Il passaggio ulteriore che facciamo adesso `e quello di sostituireLconW, allora otteniamo l’equazione risolvente del sistema in VORU,T=D(ρ, v, W). La risolvente stabilisce il valore della spinta che deve essere erogata per garantire il VORU. Tale spinta deve equivalere ad un valore di resistenza, calcolata sulla base del peso, e della polare trimmata, quindi contiene le informazioni definite dalle equazioni utilizzate. Tale resistenza prende il nome diSpinta Necessaria. 5.2 Caratterizzazione della Risolvente Ritorniamo all’equazione risolventeT=T(ρ, v, δ t) = D(ρ, v, W). Questa `e 1 equazione in 4 incognite, `e necessario quindi attuare una soluzione parametrica fissando tre parametri e ricavando il quarto. Vediamo le possibili soluzioni parametriche: •(ρ, v, W) sono noti e costanti→caso tipico per il pilota δT`e incognita, D=12 ρv2 S CD( C L) , C L=W1 2 ρv 2 Sallora D `e nota, T(ρ, v, δ T) = Dpossiamo ricavareδ T •(ρ, v, δ T) sono noti e costanti →caso di interesse per il progettista W`e incognita,T(ρ, v, δ T) `e nota, allora T=D=12 ρv2 S CD( C L), ricavo C D( C L), attraverso la polare ricavoC Le poi ricavo W=12 ρv2 S CL •(ρ, W, δ T) sono noti e costanti v`e incognita, in questo caso la soluzione `e ricavata in maniera grafica attraverso i Diagrammi di Penaud (diagrammi nel piano (T , D)×v). Inoltre `e necessario fare un’osservazione:T(ρ, v, δ T) = T(v) e D(ρ, v, W) =D(v). E’ possibile distinguere tre casi: 1. Il problema ha una e una sola soluzione, dettavdi equilibrio2. Il problema ha due soluzioni, la maggiore `e stabile, la minore `e instabile 29 3. Il problema non ha nessuna soluzione Dopo questa trattazione possiamo fare un’osservazione, la spinta necessaria dipende da una serie di parametri: bont`a della polare, quota, peso, velocit`a. 5.3 Analisi del Diagramma di Penaud Analizziamo il diagramma di Penaud, i legami costitutivi sonoT=T(v),D=D(v) =12 ρv2 S CD(W1 2 ρv 2 S), da cui possiamo ricavare diverse cose interessanti: •v Svelocit`a di stallo in VORU, L=Win VORU, allora possiamo ricavare la velocit`a di equilibrio, 12 ρv2 S CL= W=⇒v=qW 1 2 ρS C L, con C L= C LM AXavremo v=v stall, ovvero v stall=qW 1 2 ρS C L M AX. Questa cosa istituisce un legame biunivoco traveC L, anche chiamato ”assetto”. •v minDvelocit`a di minima spinta necessaria, si studia partendo da E=LD , in equilibrio in VORU abbiamo L=W, alloraE=WD , allora avremo che D=WE , allora min D=Wmax E , allora min D⇐⇒max E. Allora perE M AXsi ha un C LE M AXe quindi di conseguenza una v EM AX=rW 1 2 ρS C L EM AXOra, vogliamo cercare di analizzare il diagramma di Penaud in potenza, vediamo come ricavarlo: T=Dmoltiplichiamo −−−−−−−−−−−−−−−→ entrambi i membri per vT ·v=D·v→P a= P rdove P a`e la Potenza Disponibile (Avalaible) e P r`e la Potenza Necessaria (Requested). Allora avremo:P r=12 ρv3 S CD( C L) =12 ρv3 S CD(W1 2 ρv 2 S) →P r= P r( v) perch´eρ, W, Ssono noti. Vediamo le situazioni viste sopra: •stallo:P rstall=12 ρv3 stallS C D( C LM AX) = D stall· v stall •spinta necessaria minima:P r= f(v), allora per una retta uscente dall’origine avremoP r= k·v, inoltre la fisica mi dice cheP r= D·v, allora una retta uscente dall’origine `e associata a unaDcostante. Quindi possiamo dire che la tangenza tra la curva diP rdi un aeroplano in VORU e la curva di livello di Dsi realizza per un certo valore diD. Dal grafico possiamo vedere come tale valore `e il pi`u basso possibile, allora avremo tangenza perD=D M I N •potenza necessaria minima:E=LD =L ·vD ·v→Ev =WP r= ⇒P r=W ·vE e v=qW 1 2 ρS C Lper equilibio, allora Pr=W ·rW 1 2 ρS C LE =W32 E √C L√1 2 ρS. Allora introduciamo un ulteriore parametro F=E√C L, poi ragionando se fisso ilC Lallora fisso anche Enella polare, allora avremo chemin P r=W32 max F √1 2 ρS= ⇒min P r⇐⇒ max F. Questa condizione `e associata aC LF M AXallora v FM AX=rW 1 2 ρS C L FM AX. Inoltre, facciamo questa osservazioneC LF M AX> C LE M AX 30 Notiamo che il diagramma di Penaud in potenza `e pi`u ricco di informazioni rispetto a quello in spinta. 5.4 Modelli Per lo studio analitico diretto della soluzione del VORU nel caso in cui l’incognita sia lavoccorre sapere esplicitamente come sono fatte la polare e la spinta. 5.4.1 Polare Analitica (Parabolica) La polare analitica, o anche parabolica per come `e scritta la formula, viene definita in questo modo:(CD= C D0+ kC2 Lpolare parabolica max CL= C LM AXlimite del modello(41) Nel modello `e stato necessario imporre un limite perch´e altrimenti il modello si sarebbe allontanato molto dalla realt`a. Infatti aC Lalti i valori reali sono pi`u bassi dei valori del modello.Attraverso l’uso della polare analitica `e possibile definire analiticamente alcuni assetti notevoli: •E M AX E=C LC D= C LC D 0+ kC2 L. Il C LE M AXsi recupera semplicemente annullando la derivata rispetto a C L, ovvero ∂ E∂ C L= 0. Analizziamo: ∂ E∂ C L=C D 0+ kC2 L− 2kC L· C L( C D 0+ kC2 L) 2 = 0 = ⇒C LE M AX=qC D 0k . Allora dalla polare avremoC DE M AX= 2 C D0e l’efficienza sar`a E M AX=12 √kC D 0 •F M AX F=E√C L=C L√C LC D 0+ kC2 L. Il C LF M AXsi recupera semplicemente annullando la derivata rispetto a C L, ovvero∂ F∂ C L= 0. Analizziamo: ∂ F∂ C L=32 √C L( C D 0+ kC2 L) −√C 3 L(2 kC L)( C D 0+ kC2 L) 2 = 0 = ⇒C LF M AX=q3 C D 0k . Allora dalla polare avremoC DF M AX= 4 C D0e l’efficienza sar`a E FM AX=√3 4 √kC D 0 •G M AX Introduciamo un altro parametroG. La sua definizione `eG=E√ C L= C LC D 0+ kC2 L· 1√ C L. Il C LG M AXsi recupera semplicemente annullando la derivata rispetto aC L, ovvero∂ G∂ C L= 0. Analizziamo: ∂ G∂ C L= 12 √C L( C D 0+ kC2 L) −√C L(2 kC L)( C D 0+ kC2 L) 2 = 0 = ⇒C LG M AX=qC D 03 k. Allora dalla polare avremo C DG M AX= 43 C D0e l’efficienza sar`aE GM AX=√3 4 √kC D 0= E FM AX 31 Verifichiamo dalla polare le condizioni di E M AX, F M AX, G M AX:Inoltre, la Polare Analitica permette di indagare facilmente la forma della curva di spinta necessaria: D=12 ρv 2 S CD(W1 2 ρv 2 S) = 12 ρv 2 S CD0+12 ρv 2 S k(W1 2 ρv 2 S) 2 =D p+ D i(42) Dp`e la resistenza parassita, `e direttamente proporzionale a v2 , comprende la resistenza di forma (profilo) e la resistenza di attrito, quindi `e attribuita alla viscosit`a.D i`e la resistenza indotta, `e inversamente proporzionale a v2 , `e causata dalla presenza di vortici all’estremit`a dell’ala, che si generano naturalmente. E’ possibile ottenere simili contributi con l’uso della polare analitica nella potenza necessariaP r5.4.2 Spinta e Potenza Analtiche Abbiamo due casi differenti a seconda del motore utilizzato: Motore a Getto JLa caratteristica del motore a getto `e che la spinta disponibile non varia in funzione della velocit`a, ovvero∂ T∂ v = 0, quindi T=T(ρ, δ T) `e costante. Invece per quando riguarda la potenza disponibile Pa= T·v, la curva `e una retta uscente dall’origine, dato cheT`e costante.Motore ad Elica a Passo Variabile P La caratteristica del motore a elica `e che la potenza disponibile `e costante in funzione della velocit`a, ovvero∂ P a∂ v = 0, quindi P a= P a( ρ, δ T) `e costante. Invece per quanto riguarda la spinta disponibileT=P av `e un iperbole, dato che P a`e costante32 5.5 Studio Analitico della Soluzione in VORU Utilizziamo i modelli appena descritti, analizzando a seconda del motore. 5.5.1 Motore a Getto J L’equazione risolvente `e la seguente: T=Ddove −−−→( T=costante D=12 ρv2 S CD0+ kW 21 2 ρv 2 S= ⇒C D0( ρS)2 v4 −2(ρS)T v2 + 4kW2 = 0 (43) Questa `e l’equazione risolvente biquadratica in v, chiamata cos`ı perch´e compaiono termini in v elevato a esponenti pari (4,2,0). Questo tipo di equazioni `e risolvibile in forma chiusa, attraverso l’utilizzo di un cambio di variabile. Allora avremo: η=v2 =⇒C D0( ρS)2 η2 −2(ρS)T η+ 4kW2 = 0 =⇒η=ρS T ±p( ρS T)2 −4kC D0W2 (ρS)2( ρS)2 CD0(44) Allora la soluzione sar`a: v=v u u tT ρS C D0 1±s1 −4kC D0 WT  2 (45) Nella soluzione intervengono delle quantit`a che dipendono esclusivamente dal design dell’aereo comekC D0, l’inverso del rapporto spinta-peso. Questo ci porta a pensare che potrebbero non esserci soluzioni. Il risultato pervnon pu`o esserev < v stallperch´e non sarebbe accettabile, allora le corrispondenti soluzioni saranno scartate. Inoltre osserviamo cheD M I N=WE M AX= W·2pkC D0, allora la soluzione sar`a v=sT ρS C D 0 1±q1 − DM I NT
2 5.5.2 Motore a Elica P L’equazione risolvente `e la seguente: Pa= P rdove −−−→( Pa= costante Pr=12 ρv3 S CD0+ kW 21 2 ρvS= ⇒C D0( ρS)2 v4 −2(ρS)P rv + 4kW2 = 0 (46) Questa `e l’equazione risolvente, purtroppo non `e biquadratica in v, quindi non `e risolvibile in forma chiusa. Per risolverla viene utilizzato un semplice metodo iterativo basato sulla fisica (ce ne sono anche altri): •Iterazione 1 Ipotizzo che la potenza necessaria indotta sia trascurabile (ovvero nulla), allora avremo: Pr= P rp=12 ρv3 (1)S C D0= P a= ⇒v (1)=3 qP a1 2 ρS C D 0stimo il −−−−−−−−→ termine P(1) riP (1) ri=kW 21 2 ρv (1)S •Iterazione 2 Prp=12 ρv3 (2)S C D0= P a− P(1) ri= ⇒v (2)=3 rP a− P(1) ri1 2 ρS C D 0stimo il −−−−−−−−→ termine P(2) riP (2) ri=kW 21 2 ρv (2)S •Iterazione 3 Il passaggio `e formalmente identico a quello sopra. Lo ripetiamo finch´e non rispettiamo|v (i+1)− v (i)| < toll Il metodo converge abbastanza velocemente, generalmente dopo 2,3 iterazioni, quindi si pu`o usare all’esame.33 5.6 Effetto della Variazione dei Parametri sul Diagramma di Penaud 5.6.1 Variazione della Manettaδ T Operando preliminarmente senza l’utilizzo di modelli analitici, supponiamo cheδ T< δ TM AX, cambiando la posizione della manetta, cambia la spinta disponibile e nel grafico ci posizioniamo su una curva diversa.Applicando i modelli analitici: Motore a Getto JMotore ad Elica P 5.6.2 Variazione del Peso W Operando senza l’utilizzo di modelli analitici, avremo:v 1=qW 1/S1 2 ρC Le D 1=W 1E e con la stessa C Le quindi anche stessaE(ovvero stesso assetto),v 2=qW 2/S1 2 ρC Le D 2=W 2E . Allora, confrontando le due v,v 2v 1=qW 2W 1, a parit`a di assetto, un aumento del peso comporta un aumento di velocit`a, importante per lo stallo. Poi, confrontando leD,D 2D 1= W 2W 1. Unendo queste due informazioni otteniamo: D 2D 1= ( v 2v 1) 2 , quindi le curve iso-assetto sono nella formaD=kv2 =D 1v 2 1v 234 Ora, analizziamo il comportamento delle curve di Potenza Necessaria P r: P r1=W 1E v 1=W32 1F q1 ρS e con la stessaC L, e quindi anche stessa F(ovvero stesso assetto)P r2=W 2E v 2=W32 2F q1 ρS . Allora confrontando le due potenze avremo:P r 2P r 1= ( W 2W 1)32 = (v 2v 1) 3 , quindi le curve iso-assetto sono nella formaP r= kv3 . Quindi, tipicamente c’`e una riduzione della velocit`a di crociera per pesi crescenti5.6.3 Variazione della Quota ρ Operando, anche in questo caso, senza l’utilizzo di modelli analitici, avremo:v 1=qW/S 1 2 ρ 1C Le D 1=WE e con la stessaC Le quindi anche stessa E, e naturalmente stesso W (ovvero stesso assetto),v 2=qW/S 1 2 ρ 2C Le D 2=WE . Allora, confrontando le duev,v 2v 1=qρ 1ρ 2, a parit`a di assetto, un aumento della quota comporta un aumento di velocit`a. Poi, confrontando leD,D 2D 1= 1. Quindi, le curve iso-assetto saranno delle rette orizzontali.Ora, analizziamo il comportamento delle curve di Potenza Necessaria P r: P r1= D 1· v 1e con la stessa C L, e quindi anche stessaE(ovvero stesso assetto)P r2= D 2· v 2. Allora confrontando le due potenze avremo: Pr 2P r 1= v 2v 1=qρ 1ρ 2, quindi le curve iso-assetto sono nella forma P r= kv. Quindi, l’assetto si trascina dietro la stessa resistenza, ma a variare `e la velocit`av.Inoltre, il comportamento di TeP a`e funzione della quota, quindi della ρ. Tipicamente, a parit`a diδ T, sono decrescenti conρdecrescente, ovvero con la quota che sale. In conclusione, possiamo dire che la velocit`a di equilibrio aumenta all’aumentare della quota. Facciamo ora una precisazione: le curve di spinta necessaria non solo vengono traslate all’aumentare della quota (ovvero perρche diminuisce), ma si ”aprono” anche. Dimostriamo. ∆v =v 2−v 1e ∆ v=v 2− v 1, se le curve si aprono avremo ∆v > ∆vperv 1> v 1. Definiamo meglio questi intervalli: ∆ v=v 1 v2v 1− 1
=v 1 qρ 1ρ 2− 1
e ∆v =v 1v 2v 1− 1
=v 1 qρ 1ρ 2− 1
. Allora ∆v > ∆v⇐⇒v 1 qρ 1ρ 2− 1
> v1 qρ 1ρ 2− 1
, semplificando otteniamov 1> v 1, che `e la nostra ipotesi. Quindi le curve non sono soltanto traslate restando ”parallele”, ma si ”aprono”, si ”deformano” all’aumentare della quota. Allora, avremo che gli intervalli di ∆vsaranno sempre pi`u ampi. 35 Analizziamo un’altra cosa interessante, ovvero il comportamento delle curve al variare della quota, con la velocit`a corrispondente allav E AS: •Spinta Necessaria Scriviamo l’espressione della spinta necessaria:D=12 ρ 0v2 E ASS C D(W1 2 ρ 0v2 E ASS). Avendola scritta in v E AS non esibisce nessun tipo di dipendenza dalla quota. Allora, al variare della quota, la curva non cambia, e di conseguenza neanche lav E AS, che sar`a v E AS=qW/S 1 2 ρ 0C L.• Potenza Necessaria Scriviamo l’espressione della potenza necessaria:P r=12 ρ 0v2 E ASqρ 0ρ v E ASS C D(W1 2 ρ 0v2 E ASS). Notiamo che dipende dalla variazione della quota perqρ 0ρ . Allora, all’aumentare della quota la curva trasla verso l’alto.5.7 Stabilit`a Propulsiva in Equilibrio Le soluzioni in VORU di Penaud a parit`a di spinta necessaria possono differire in termini di velocit`a e stabilit`a propulsiva. Infatti, data una T, troviamo due posizioni di equilibrio (la seconda velocit`a `e atipica, brucio di pi`u per andare pi`u piano). La prima soluzione risulta essere stabile, analizziamo la situazione in cui ci sia vento, allora avremo un esubero di spinta necessaria, un eccesso di spinta disponibile mi permetterebbe di tornare nella situazione stabile. Invece, la seconda situazione risulta essere instabile, un esubero di spinta necessaria si propagherebbe all’infinito. In realt`a la stabilit`a avviene in tempi lunghi, quindi si interviene con i comandi.36 5.8 Quota di Tangenza Una volta assegnato il pesoWe una volta assegnato il valore di manettaδ T= δ TM AX, la condizione di tangenza sul diagramma di Penaud traTeDindividua la quota di tangenza. In termini analitici, avremo: (∂ T∂ v =∂ D∂ v T=D⇐⇒( ∂ Pa∂ v =∂ P r∂ v Pa= P r(47)Ora, facciamo le ipotesi di motore: •Motore a Getto J Tcostante conv, allora avremo la tangenza per∂ D∂ v = 0 = ⇒D M I N• Motore ad Elica P Prcostante con v, allora avremo la tangenza per∂ P r∂ v = 0 = ⇒P rM I NOsserviamo che l’assetto in condizioni di tangenza non `e definito a priori. 5.9 Inviluppo di Volo in Crociera Analizziamo questo grafico (sia pervche perv E AS): la curva I rappresenta il limite aerodinamico (causato dallo stallo), la curva II rappresenta un limite propulsivo (causato dalla bassa velocit`a), la curva III rappresenta un altro limite propulsivo (causato dall’alta velocit`a).37 6 Prestazioni in Salita Le equazioni di equilibrio in salita sono:( T=D+W senγalternativamenteP a= P r+ W v v(= vsenγ) L=W cosγ(48) I legami costitutivi sono:T=T(ρ, v, δ T) , D=D(ρ, v, L) (alternativamenteP r= P r( ρ, v, L)),L=L(W, γ), sostituendoLinDeP rotteniamo D=D(ρ, v, W, γ),(P r= P r( ρ, v, W, γ)). Allora risolvendo la prima equazione otteniamo:( senγ=T (ρ,v,δ T) −D(ρ,v,W,γ)W vv=P a( ρ,v,δ T) −P r( ρ,v,W,γ)W (49) Analizzando l’equazione notiamo che sarebbero esattamente gli stessi elementi che contribuiscono all’analisi di Penaud per il VORU, a parteγ. Ora, facciamo l’ipotesi che laγsia trascurabile, supponiamo cheγ 0 =⇒ =⇒1 +vg dvdh > 1 =⇒v v=S E P1+ vg dvdh < S E P (La misurazione viene fatta a ”bordo” (IAS simile a TAS))• Salita a Mach costante AvremoM a=va =v√ γ RT = ⇒v(h) decrescente con la quotah=⇒dvdh < 0 =⇒1 +vg dvdh < 1 =⇒ =⇒v v=S E P1+ vg dvdh > S E P7.1.2 Ottimizzazione Spazio di Salita S C Ora, ci poniamo l’obiettivo di minimizzare lo spazio di salitaS C, ovvero vogliamo trovare lo spazio minimo di salita. min SC= minZ h2 h1dhtan γ =Z h2 h1dhmax tan γ = ⇒γ M AX⇐⇒ max tan γ(55) Abbiamo trasformato un problema di minimo in un problema di massimo, nel quale troviamo la salita ripida. 42 7.1.3 Ottimizzazione Combustibile necessario alla Salita w fC Per prima cosa `e necessario modellare il Flusso di Combustibile ˙w f=dw f Cdt , allora avremo: •Motore a Getto J Definiamo il coefficiente di spintaC T=˙ w fT = T S F C(Thrust Specific Fuel Consumption), tipicamente CT≈ 0.7−1.1N/hN •Motore a Elica P Definiamo il coefficiente di spintaC P=˙ w fP s= BS F C(Brake Specific Fuel Consumption), doveP s`e la potenza all’albero, non utilizziamoP aperch´e c’`e di mezzo il rendimento dell’elica ( η P≈ 0.8→P a= η PP s), tipicamenteC P≈ 0.5lb/hBH P (cavalli vapore), viene utilizzata la parola brake perch´e tutte le prestazioni si misurano con un freno. Ora, ci poniamo l’obiettivo di minimizzare il combustibile necessario alla salitaw fC, ovvero vogliamo trovare il minimo combustibile necessario alla salita. Analizziamo i due modelli: J)w fC=R h2 h1C TTv vdh =C TR h2 h1Tv vdh perch´e∂ C T∂ h = 0, allora avremo min w fC= min CTR h2 h1Tv v
P)w fC=R h2 h1C PP sv vdh =C PR h2 h1P sv vdh perch´e∂ C P∂ h = 0, allora avremo min w fC= min CPR h2 h1P sv v
Allora dal punto di vista della componente integrale per entrambe le situazioni abbiamomin w fC⇐⇒ max v v, che `e la condizione di salita rapida. 7.2 Prestazioni Integrali in Crociera Le grandezze di interesse sono: •τ=R t2 t1dt autonomia oraria (endurance) •S=R t2 t1vdt autonomia chilometrica (range) In questa situazioneWcambia materialmente tra l’inizio e la fine della crociera, allora avremo˙ W+ ˙w f= 0 che implicadWdt = −˙ w f, che a seconda del motore diventa: J)−˙ w f= −C TT →dt=−dWC TT P)−˙ w f= −C PP aη P→ dt=−dWP aC Pη P Attraverso queste definizioni posso riformulare le definizioni diτeS, in funzione del peso. Sappiamo che l’equilibrio in crociera `e puntualmente un equilbrio in VORU, allora avremo: (L=W T=D→ all’istante successivoWsar`a diverso→( L(t) =W(t) T(t) =D(t)(56) L’intero sistema continuer`a a variare istante per istante. Allora, avremo che la stessaW(t) pu`o essere ottenuta con diverse combinazioni diρ, v, C L, quindi abbiamo 3 semplici casi di interesse in cui blocco 2 variabili: 1.Crociera Decelerata α, hcostanti =⇒C L, ρ fissi, alloravvaria, alloraW↓ →v↓ 2.Crociera Salita α, vcostanti =⇒C L, v fissi, allorarhovaria, alloraW↓ →ρ↓ 3.Crociera Uniforme h, vcostanti =⇒ρ, vfissi, alloraC Lvaria, allora W↓ →C L↓ 7.2.1 Motore a Getto Le grandezze di interesse diventano: •τ=−R W2 W1dWC TT=R W1 W2EW dWC T= 1C TR W1 W2EW dW con VORU eC Tcostante •S=−R W2 W1v dWC TT=R W1 W2E vW dWC T= 1C TR W1 W2E vW dW con VORU eC Tcostante 43 Analizzando nei diversi casi di interesse visti sopra possiamo ottenere delle formule esplicite (ovvero risolvere gli integrali): 1.Crociera Decelerata−→α, ρcostanti Definiscoζ=W fW i= W 1− W 2W 1= 1 −W 2W 1, allora le grandezze diventano: •τ 1=EC TR W1 W2dWW =EC Tln W1W 2
=EC Tln 11 −ζ
•S 1=EC TR W1 W2v dWW =EC TR W1 W2qW/S 1 2 ρC LdWW =EC T√1 2 ρS C LR W1 W2dW√ W = 2 GC T√W 1/S√ 1 2 ρ(1 −√1 −ζ) Analizziamo le varie dipendenze, osserviamo come variano le prestazioni al variare delle variabili in gioco:-τ , S↑quandoC T↓ -τ , S↑quandoζ↑ -τnon dipende daρ(h) -τnon dipende daW 1S -S↑quandoρ↓(h↑) -S↑quandoW 1S ↑ 2.Crociera Salita−→α, vcostanti Allora le grandezze diventano (riportiamo i risultati senza passaggi, che sono analoghi a quelli sopra): •τ 2= τ 1=EC Tln 11 −ζ
•S 2=E vC TR W1 W2dWW =E vC Tln 11 −ζ
=v·τ 2=GC T√W 1/S√ 1 2 ρ 1ln 11 −ζ
dovev=qW 1/S1 2 ρ 1C L Notiamo cheS 2> S 1a parit`a di potenza e che le dipendenze relative alla dipendenza di τ , Sdalle variabili che le influenzano non cambiano tra la situazione 1 e la situazione 2.3. Crociera Uniforme−→ρ, vcostanti Richiede maggiori ipotesi per un’analisi quantitativa, in particolare, richiede la polare analitica, non richiesta per gli studi di 1 e 2. Nella realt`a vera e propria il volo viene gestito in maniera pi`u articolata, discretizzando il volo in diverse parti, all’interno delle quali si adotta una delle strategie introdotte 7.2.2 Motore a Elica Le grandezze di interesse diventano: •τ=R W1 W2η PC PdWP a=R W1 W2η PC PEv dWW =η PC PR W1 W2Ev dWW con VORU e C P, η Pcostanti •S=R W1 W2v η PC PdWP a=R W1 W2η PC PE dWW =η PC PR W1 W2E dWW con VORU e C P, η Pcostanti Analizzando nei diversi casi di interesse visti sopra possiamo ottenere delle formule esplicite (ovvero risolvere gli integrali): 1.Crociera Decelerata−→α, ρcostanti Allora le grandezze diventano: •τ 1=η PC PER W1 W2q1 2 ρS C LW dWW =η PC PE√C L·q1 2 ρSR W1 W2dWW 32 = 2 η PC PF√1 2 ρ√ W 1/S· 1√ 1 −ζ− 1
•S 1=η PC PER W1 W2dWW =η PC PE ·ln 11 −ζ
44 Analizziamo le varie dipendenze, osserviamo come variano le prestazioni al variare delle variabili in gioco: -τ , S↑quandoC P↓ , η P↑ -τ , S↑quandoζ↑ -τ↑quandoρ↑(h↓) -τ↑quandoW 1S ↓ -Snon dipende daρ(h) -Snon dipende daW 1S 2.Crociera Salita−→α, vcostanti Allora le grandezze diventano: •τ 2=η PC PEv R W1 W2dWW =η PC PF√1 2 ρ 1√ W 1/Sln 11 −ζ
•S 2=η PC PER W1 W2dWW =η PC PE ·ln 11 −ζ
=v·τ 2= S 1 Notiamo cheτ 2< τ 1(graficamente come sopra) a parit`a di potenza e che le dipendenze relative alla dipendenza diτ , Sdalle variabili che le influenzano non cambiano tra la situazione 1 e la situazione 2. 3.Crociera Uniforme−→ρ, vcostanti Richiede maggiori ipotesi per un’analisi quantitativa, in particolare, richiede la polare analitica, non richiesta per gli studi di 1 e 2. Nella realt`a vera e propria il volo viene gestito in maniera pi`u articolata, discretizzando il volo in diverse parti, all’interno delle quali si adotta una delle strategie introdotte 8 Riassunto Ottimi Prestazionali Riuniamo e riassumiamo tutti gli ottimi prestazionali in unico grafico. e facciamo questa osservazione: la curva di potenza richiestaP ra sinistra `e influenzata maggiormente dalla resistenza indotta, perci`o dal momento che a sinistra abbiamo la maggior parte degli ottimi prestazionali del motore a elica, per gli aerei aventi questo motore sar`a necessario per i progettisti rendere efficiente l’aereo rispetto alla resistenza indotta; invece a destra `e maggiormente influenzata dalla resistenza parassita, perci`o dal momento che a destra abbiamo la maggior parte degli ottimi prestazionali del motore a getto, per gli aerei aventi questo motore sar`a necessario per i progettisti rendere efficiente l’aereo rispetto alla resistenza parassita.45 9 Volo in Manovra 9.1 Fattore di Carico Definiamo vettorialmente il Fattore di Carico:n =F massa|W |. Osserviamo che: `e dotato di tre componenti scalari (`e un vettore), pu`o essere espresso in diverse terne, `e un rapporto adimensionale. Ora ci poniamo l’obiettivo di espandere la definizione a partire dall’equazione della dinamica:m˙ v=F +T +W → −(F +T ) = (W −m˙ v(forze di massa). Applicando la definizione:n =W −˙ v|W |=e h z(assi NED) −˙ vg = −T +F |W |dal momento che |W |=mg. Scriviamo le componenti in assi corpo din :nb x= −T +XW , nb y= −YW , nb z= −ZW (fattore di carico normale). Ricorrendo alle ipotesi gi`a fatte in questa trattazione, ovveroα Q, avremo Z=−L=⇒nb z= n ⊥=LW = n 9.1.1 Diagramma n-v Disegniamo il grafico di n in funzione di v: •curvaC LM AX: n=LW =12 ρ 0v2 E ASS C L M AXW •n M AX, assegnato per motivi strutturali (la struttura pu`o resistere fino a determinati carichi) e per motivi fisiologici (i passeggeri non possono sopportare accelerazioni troppo violente) •v Avelocit`a minima a cui posso raggiungere n M AX •v Dvelocit`a di ”dive” (affondata) definita sulla base di fenomeni aero-elastici9.2 Virata La virata `e una manovra sul piano orizzontale, con l’obiettivo di un cambiamento di rotta ( ˙χ̸ = 0). Allora avremo che se ˙χ >0 la virata `e positiva e l’aereo ruota verso destra, se ˙χ C LM AXallora aggiorno C Lturn= C LM AX –seC Lturn< C LM AXallora la limitazione propulsiva `e ancora la pi`u stringente •calcolo il fattore di carico,n=12 ρv2 turnS C L turnW •check strutturale, controlliamon≶n M AXS: –sen > n M AXSallora aggiorno n=n M AXSe calcolo il nuovo C Lturn –sen < n M AXSallora la limitazione propulsiva `e ancora la pi`u stringente, e il mio processo finisce qui 49 10 Manovre Terminali 10.1 Decollo Il decollo `e la fase della missione compresa tra lo stato in quiete in testata pista ed il raggiungimento di una quota minima, prevista dalla normativa (EASA). Le normative di riferimento tipicamente utilizzate sono: •CS23 - general aviation→50 ft •CS25 - aviazione commerciale→35 ft A livello modellistico, durante il decollo, assumiamo le seguenti ipotesi di lavoro:•massa costante, la fase di decollo dura molto poco tempo, viene consumato molto poco carburante, trascurabile •coefficiente di attrito volvente trascurabile con la velocit`a •comando motore e configurazione (flap, carrello) sono fissati durante la manovra •aria calma, velocit`a del vento nullaLa manovra viene effettuata attraverso questi passaggi: •0−→v Rdetta fase di accelerazione o rullaggio, dove v R`e la velocit`a di rotazione, questa fase viene eseguita con tutto il carrello a terra fino al raggiungimento dellav R, quindi l’assetto `e fisso ( αfisso), la velocit`a cambia solo di intensit`a ma non di direzione• v R−→ v LOFdetta fase di rotazione, dove V LOFsta per velocit`a di lift-off, la reazione vincolare anteriore si annulla e quella posteriore aumenta, inoltre, cambia significativamente anche ilC L, ovvero l’assetto, dal momento che effettuiamo una rotazione e cambiamoα• v LOF−→ v Cdetta anche accelerazione finale, dove v Csta per velocit`a di salita (climb), in questa fase si accelera fino alla velocit`a di salita stazionaria stabilita, si esaurisce il decollo, quindi viene raggiunta e tipicamente superata la quota minima prevista dalla normativa 50 Diamo qualche ulteriore definizione: •distanza di decollo(take-off distance): distanza tra il punto in cuiv= 0 e il punto in cui il decollo termina al raggiungimento della quota minima (trav LOFe v C) •corsa a terra(ground run distance): distanza tra punto in cuiv= 0 e punto in cuiv=v LOF •airborne distance: distanza tra punto in cuiv=v LOFe il punto in cui termina il decollo Risulta ovvia questa osservazione:take-off distance = ground run distance + airborne distance 10.1.1 Velocit`a in Decollo Vediamo quali sono i tipi di velocit`a che si raggiungono in decollo: •v S T−→ velocit`a di Stallo, ovvero la velocit`a minima per il VORU, che `e troppo bassa per il decollo •v M C−→ velocit`a ”minimum control” •v 1−→ corrisponde a 1.1·v M C, la normativa dice v 1≥ 1.1·v M C •v R−→ v R> v 1 •v LOF−→ v LOF> v R(solitamente cos`ı, non per aeroplani piccoli) •v 2−→ v 2> v 1e v 2> 1.2·v S T10.1.2 Modello Matematico del Decollo (Caso a Terra) L’obiettivo `e valutare la distanza di decollo, e viene fatto attraverso l’integrazione del termine dinamico.Equazioni di Equilibrio (T−D−R t− W senψ=m˙ v→direzione parallela alla pista L+R n− W cosψ= 0→direzione normale alla pista(63) Equazioni Costitutive(CD= C D( C L) Rt= µ·R ndove µ`e il coefficiente di attrito volvente(64) Assumiamo cheψ