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Aerospace Engineering - Tecnologie e Materiali Aerospaziali
Formulario
Etc
TECNOLOGIE E MATERIALI AEROSPAZIALI FORMULARIO TABELLA MATERIALI Materiale E [GPa] σY [MPa] ρ [Kg/m 3] Acciaio (Fe) 210 1200 7800 Titanio (Ti) 105 850 4500 Alluminio (Al) 70 300 2700 Magnesio (Mg) 45 200 1800 INDICI DI MERITO Funzione della prestazione da ottimizzare : = 1()2()3() Con: F = funzione dell’oggetto ; G = geometria; M = materiale . Progetto a resistenza vincoli: σY (trazione/compressione) o σz (flessione ; deve comunque essere < σY); Progetto a rigidezza vincoli: Δl (trazione/compressione), θm (torsione) o S (flessione). ������ = (= ������4 2 per sez .circolare ); ������= = 2 2 ; = 3 Indice di forma pe r la progettazione sotto un carico di flessione (sez. di riferimento circolare) : ������ : ������= 0= 4√������ 32⁄ ; ������������ : ������= 4������ 2 LEGAME ELASTO -PLASTICO Sforzi principali: σI,II,III → risolvere [ ������ − ������ ������ ������ ������ ������ − ������ ������ ������ ������ ������ − ������ ]= 0 Criterio di Guest -Tresca: |������|= (������������−������������������������ 2 ,������������−������������������ 2 ,������������������−������������������������ 2 ) ≤ ; con = ������������ 2. Pongo ������> ������> ������ Criterio di Hubert -Hencky -Von Mises: ������ = √������2+ ������2+ ������2 − ������������− ������������ − ������������ < ������ Oppure: ������ = (������ − ������ )2+ (������ − ������)2+ (������ − ������)2+ 2������2 + 2������2 + 2������2 < ������ Legge di Cowper -Symonds: ������������������ ������������0= 1+ (������̇ ) 1⁄ ; con D e q assegnati . Legame elastico isotropo (inverso ): { ������ ������ ������������ ������ ������ } = [ 1 −������ −������ −������ 1 −������ −������ −������ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ⋅ { ������ ������ ������������ ������ ������ } Con: ������ = ; ������̃= ∆ 0; ������= ; ������̃ = ∆ 0 → ������= −������������̃ ������̃ = −������ ������ ; ������ = ; = 2(1+������) Leggi di Hooke: {������= ������ ������= ������ E = m odulo di Youn g del materiale. La matrice di flessibilità (quella nel legame inverso) viene chiamata anche [S]. La m atrice [S] è simmetrica. LAVORAZIONI PLASTICHE Piegatura: ������ = 1 2������������������ + 1; con Rp= raggio piegatura e t= spessore . Calcolo poi σ da legge di Hooke, con εmax . Verifico inoltre che: σY< σ < σU Raggio finale dopo ritorno elastico: ������ ������= 4(������������������ ) 3 − 3(������������������ )+ 1 LEGGE COSTITUTIVA ORTOTROPA (MATERIALI COMPOSITI) { ������ ������ ������������ ������ ������ } = [ 1 −������ −������ −������ 1 −������ −������ −������ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ⋅ { ������ ������ ������������ ������ ������ } Sforzo piano: Diretto: { ������ ������ ������ }= [ (1−������������) ������ (1−������������) 0 ������ (1−������������) (1−������������) 0 0 0 ] ⋅{ ������ ������ ������ } Inverso: { ������ ������ ������ }= [ 1 −������ 0 −������ 1 0 0 0 1 ] ⋅{ ������ ������ ������ } La matrice di rigidezza (caso diretto) è anche chiamata [Q]. Le matrici sono simmetriche . Assi lamina {x,y,z} → assi laminato {X,Y,Z}: { ������ ������ ������ }= []−1{ ������ ������ ������ }= []−1[]{ ������ ������ ������ } Con: []= [ 2������ 2������ 2������������ 2������ 2������ −2������������ −������������ ������������ 2������− 2������ ] La matrice [T] esprime anche il legame tra le deformazioni miste (cioè con γ/2 anziché γ): { ������ ������������ 2 } = []{ ������ ������������ 2 }; moltiplico pe r una matrice ausiliaria : { ������ ������ ������ }= [ 1 0 0 0 1 0 0 0 2 ]⋅ { ������ ������������ 2 } (idem per le def .in assi laminato ) Pongo : [ 1 0 0 0 1 0 0 0 2 ]= [] ������������⇒ [][][]−1= []− Ottengo infine: { ������ ������ ������ }= []−1[][]−{ ������ ������ ������ }= [̅]{ ������ ������ ������ } APPROCCIO MICROMECCANICO SEMPLIFICATO Volume: ������ = ������+ ������; = fibra , = matrice Frazione volumetrica: ������= ������������ ������; ������ = ������������ ������ Considero un elemento di volume rappresentativo semplificato, cioè una fibra immersa nella matrice. Suppongo la matric e isotropa, la fibra trasversalmente isotropa e la lamina an isotropa. = ������+ ������ (regola delle miscele in parallelo ) = (������������ ������������+ ������������ ������) −1 (regola delle miscele in serie ) = (������������ ������������������+ ������������ ������) −1 ������ = ������������ + ������������ Ricavo νxy da simmetria : ������ = ������ TEORIA CLASSICA DELLA LAMINAZIONE (CLT) Spessore lamine nel laminato: ℎ������= ������− ������−1 dove zi è l′ordinata della singola lamina . Spessore totale laminato: = ∑ ℎ������ ������������=1 Applicando la teoria delle piastre: {������������}= [̅]������{������} per ogni lamina, con il vettore deformazioni dato da: {������}= {������0}+ ������{}; dove {} è il termine associato alla curvatura . Calcolo i flussi di forze risultanti e i flussi di momento agenti su l laminato: { }= ∫ { ������ ������ ������ } ; { }= 2⁄ − 2⁄ ∫ { ������ ������ ������ } 2⁄ − 2⁄ Sviluppando: {{} {}}= [[] [] [] []]⋅{{������0} {}}; dove gli elementi delle matrici A,B e D sono dati da : { ℎ= ∑ (̅ℎ)������⋅(������− ������−1) ������ ������=1 ℎ= 1 2∑ (̅ℎ)������⋅(������2− ������−12 ) ������ ������=1 ℎ= 1 3∑ (̅ℎ)������⋅(������3− ������−13 ) ������ ������=1 [A] = termine membranale; [D] = termine flessionale; [B] = termine misto. Si possono ottenere i seguenti risultati particolari: Laminato simmetrico ↔ Ɐ α a z i ꓱ α a –zi → [B] = 0; Laminato equilibrato ↔ Ɐ α a z i ꓱ -α → A16 = A 61 = 0; A 26 = A 62 = 0; Laminato bilanciato ↔ Ɐ α a z i ꓱ -α a –zi → D16 = D 61 = 0; D 26 = D 62 = 0. CRITERI DI RESISTENZA MATERIALI COMPOSITI 1. Criteri limite o del 1° ordine Criterio del massimo sforzo/deformazione: { < ������ < < ������ < |������ |< (idem per deformazione ) 2. Criteri interattivi o del 2° ordine Criterio di Tsai -Hill: ������2 2+ ������2 2− ������ ������ 2 + 1 2 ������2 ≤ 1 Ipotesi: σzz = τyz = τzx = 0 (sforzo pian o); Z = Y (isotropia trasversale → unid irezionali ). Utilizzo: { = se ������ > 0 = se ������ < 0 (lo stesso per Y) Criterio di Hoffman: −������2 − ������2 + ������ ������ + + ������ + + ������ + 1 2 ������2 ≤ 1 Stesse ipotesi di Tsai -Hill. Criterio di Tsai -Wu: −������2 − ������2 + + ������ + + ������ + 212 ������ ������ + 1 2 ������2 ≤ 1 Ho che: 12 = 0 oppure 12 = − 1 2√ 1 ������������������������ oppure 12 = 1 2 1 ������������ (Hoffman ) Applicabile anche a tessuti (quindi anche a stati di sforzo non unidirezionali, ma comunque piani). 3. Criteri che distinguono le modalità di cedimento Criterio di Hashin -Rotem: { ������ ≤ 1 per la fibra (������ )2 + (������ ) 2 ≤ 1 per la matrice Utilizzo i valori di trazione/compressione a seconda del segno di σ. GIUNZIONI Criteri di dimensionamento per sopportare le seguenti modalità di rottura: Taglio lamiere: 2ℎ< ������ con : = numero rivetti e = spessore lamiera Trazione lamiere: (������− )< ������ oppure (−)< ������ con = diametro rivetto Lo sforzo σ è quello di trazione. Rifollamento lamiere (bearing): < ������ con ������= sforzo di compressione Taglio del gambo: ������ ������2 4 < ������ h F F F F L l F F F F