Computer Engineering - Analisi Matematica 2

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Analisi Matematica 2 - 5 febbraio 2018 Prof. E. Maluta Cognome: Nome: Matricola: Compito A 1. (Punti 9) Data la funzionefdenita da f(x; y) =( (earctan x 1)xy 2x 2 +y2 ( x; y)6 = (0;0) 0 (x; y) = (0;0) studiarne la continuita, l'esistenza delle derivate parziali, di tutte le derivate direzionali e la differenziabilita in (x; y) = (0;0). scrivere l'equazione del piano tangente al graco difnel punto (1;2; f(1;2)). 2. (Punti 9) Siafla funzione 2periodica denita su [; ) daf(x) =x jxj2 : (a) disegnare il graco e scrivere la serie di Fourier dif; (b) che cosa si puo dire sulla convergenza puntuale e/o sulla convergenzain media quadratica di tale serie? (c) che cosa si puo dire sulla convergenza totale di tale serie sull' intervallo(; )? 3. (Punti 10) Data l'equazione dierenzialey000 y00 +y0 y= 1 a) determinare, al variare di2R, l'integrale generale dell'equazione omogenea associata; b) determinare, al variare di2R, l'integrale generale dell'equazione completa; c) stabilire per quali valori diesistono soluzioni periodiche dell'equazione completa e determinarle; d) stabilire se esistono valori diper cui tutte le soluzioni dell'equazione completa sono periodiche. (Nel caso si incontrassero dicolta nell'uso del parametro, risolvere l'esercizio per= 1 e= 0.)