Computer Engineering - Analisi Matematica 2

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Analisi Matematica 2 - prof. E.Maluta - 15 giugno 2020 Ogni risposta va scritta nello spazio individuato dal numero del corrispondente quesito sul foglio delle risposte e va motivata con calcoli o/e spiegazioni sintetiche. 1.CalcolareR Q1x 2 +y2 dx dy doveQ=f(x; y)2R2 : 1x2 +y2 2^0xp3 yg 2.CalcolareR 1 0sin x2 dxa meno di10 3 ; 3.Un'equazione lineare omogenea del II ordine ha tra le proprie soluzioni 1( t) =e 2t e 2( t) =te 2t . Quante soluzioni dell'equazione passano per il punto(0;3)? Determinarle. 4.Determinare tutte le soluzioni dell'equazioney0 = 10yy2 ; 5.Dato il sistemay0 (t) =Ay(t) conA= 3 2 01 stabilire se esistono soluzioni non nulle limitate in un intorno di +1e in caso aermativo determinarle. 6.Siaf:R2 !Rla funzione denita daf(x; y) =y2 8x2 +x4 . Dopo aver giusticato la dierenziabilitá difsu tuttoR2 scrivere l'equazione del piano tangente al graco difnel punto(2;1; f(2;1)). 7.Per lafdel punto precedente, determinare gli eventuali punti di massimo o di minimo locale suR2 . 8.Per lafdel punto precedente, determinareSup(f)eInf (f)suR2 , precisando se sono Massimo e Minimo assoluto. 9.Per lafdel punto precedente, disegnare la curva di livello0dif. 10.Scrivere un'equazione parametrica della curva arco della parabola di equazioney= 1x2 percorso dal punto(0;1)al punto(2;3)e determinare il relativo vettore tangente. 11.SiaFil campo vettoriale piano denito daF(x; y) = 2xyi+ 1 +x2
j:Scrivere, come integrale di una sola variabilet, il lavoro Z F
(dx; dy) dove è la curva parametrizzata nel precedente esercizio e calcolarlo. 12.Con riferimento alla domanda precedente, stabilire seFammette potenziale suR2 . 13.Scrivere il generico problema di Cauchy per un'equazione lineare del II ordiney00 +a(t)y0 +b(t)y=f(t)ed enunciare per tale problema il teorema di esistenza e unicitá della soluzione.