Computer Engineering - Analisi Matematica 2

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Analisi Matematica 2 - prof. E.Maluta - 17 luglio 2020 Ogni risposta va scritta nello spazio individuato dal numero del corrispondente quesito sul foglio delle risposte e va motivata con calcoli o/e spiegazioni sintetiche. 1.Data la funzionefdenita daf(x; y) = sinjx3 y5 jcalcolarne il gradiente in(0;0)e stabilire sefè dierenziabile in(0;0). 2.Per la funzionefdel punto precedente, calcolare, dopo averne giusticata l'esistenza, la derivata nella direzione del generico versorevnel punto (1;1). 3.Scrivere il polinomio di MacLaurin di grado 2 della funzionefdenita daf(x) = log(1 +x2 + 3xy) +x10 y8 ; 4.Data la curva di equazione parametricar(t) = (t3 ; t2 ) 0t2, dire se è chiusa, se è semplice e calcolarne la lunghezza. 5.Calcolare il rotore e la divergenza del campoFdenito daF(x; y; z) = (x; xy; xyz). 6.Calcolare il volume del solido compreso tra il pianoxye la supercie d'equazionez=x2 yche si proietta ortogonalmente nella regione piana =f(x; y)2R2 : 1x2^0y1x g 7.Trovare i punti di massimo e minimo assoluto della funzionef(x; y) =3p x 2 +y2sul vincolo x2 +y2 4(x+y) = 10; 8.Sviluppare in serie di Mc Laurin la funzionef(x) =R x2 011 t4 dt precisando il raggio di convergenza; 9.Siafla funzione2periodica che coincide conf(x) =xsinxin(; ]. Disegnarne un graco qualitativo e calcolare i suoi coecienti di Fourier a1e b 2. 10.Considerata la serie di Fourier della funzionefdell'esercizio precedente, dire se essa converge in media quadratica e/o puntualmente adf, giusticando la risposta. 11.Determinare, al variare di2R, tutte le soluzioni dell'equazione dierenziale y00 10 y0 + 162 y= 0(1) 12.Risolvere, per= 3l'equazione y00 10 y0 + 162 y=e6 t + 5(2) 13.Scrivere un esempio di problema di Cauchy per un'equazione a variabili separabili che soddis le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità dellesoluzioni, precisando l'enunciato di tale teorema.