Computer Engineering - Analisi Matematica 2

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Analisi Matematica 2 - 18 luglio 2018 Prof. E. Maluta Cognome: Nome: Matricola: Compito A 1. (Punti 9) SiaDR3 denito da D=f(x; y; z)2R3 :x2 +y2 y0^ jzj px 2 +y2 g: Calcolare il volume diD. 2. (Punti 9) Dato il campo vettorialeFdenito da F(x; y) = y( x2)2 +y2;2 x( x2)2 +y2 (i) determinare il dominio diFe precisare le proprieta topologiche di rilevanti per lo studio del campo; (ii) stabilire seFe irrotazionale su ; (iii) calcolare il lavoro diF, separatamente, sulle circonferenze unitarieC 1 eC 2centrate rispettivamente nell'origine e nel punto (2 ;0), entrambe percorse in senso antiorario partendo dal punto (1;0); (iv) stabilire seFammette potenziale su . 3. (Punti 10) Data l'equazione dierenzialey0 =1t y +1t y 1 ;(1) (a) si stabilisca per quali (t 0; y 0) 2R2 e applicabile il teorema di esistenza e unicita locale per il problema di Cauchy((1) y(t 0) = y 0; (b) si stabilisca se esistono soluzioni dell'equazione che cambiano segno nelloro insieme di denizione; (c) si risolva il problema di Cauchy cony(1) = 1, determinando il massimo intervallo di prolungabilita della soluzione; (d) si risolva il problema di Cauchy cony(1) =1, determinando il massimo intervallo di prolungabilita della soluzione.