Computer Engineering - Analisi Matematica 2

Full exam

Politecnico di MilanoAnalisi Matematica II Ing. Informatica e Ing. delle TelecomunicazioniPrima ParteProf. E. Maluta Cognome e Nome:Matricola:30 giugno 2017 Ogni risposta va scritta nello spazio sotto il quesito e motivata con calcoli o/e spiegazioni. 1.SiaAun insieme chiuso limitato connesso diR2 e siaf:A!R,f2C(A). Che tipo di sottoinsieme di Rèf(A)? 2.Calcolare il rotore del campo vettorialeF(x; y; z) =xzi+zj+ (x2 +z2 )k. 3.Calcolare la lunghezza dell'arco di curva di equazione parametricar(t) = (t;t 2p 2 ; t 33 ) pert2[0;1]. 4.Scrivere la matrice Hessiana, in un generico punto(x; y)2R2 , della funzioneg(x; y) =x+2 y+3 . 5.Determinare il polinomio di McLaurin di secondo grado della funzionef(x; y) =x+y+ex 2 y2 . 6.Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze P +1 1x n(log n)n . 7.Determinare tutte le soluzioni del problema di Cauchy:( y0 (t) = sinysint y(=6) = 0. 8.Disegnare la curva di livello 1 della funzionef(x; y) =ex 2 +y 9.Il campo vettoriale(x2 + 2x(yy2 );(x2 x)y)ammette potenziale suR2 ? 10.Scrivere un'equazione dierenziale lineare del II ordine a coecienti costanti che abbia la funzione(t) = e3 t tra le proprie soluzioni.