Computer Engineering - Analisi Matematica 2

Full exam

Politecnico di MilanoAnalisi Matematica II20 Settembre 2016 Prof. F. Gazzola Ing. Informatica e Ing. delle TelecomunicazioniPrima Parte Cognome e Nome:Matricola:P T 1 2 3 4 Ogni risposta va scritta nello spazio sotto il quesito e motivata con calcoli o/e spiegazioni. 1.Siaf(x; y; z) =ex +y2 +z. Scrivere il dierenziale primo difcalcolato in(0;1;2)rispetto all'incremento (dx; dy; dz). 2.Calcolarelim (x;y)!(0;0)x (x3 y2 )x 2 + 5y2. 3.Determinare il polinomio di McLaurin di secondo grado della funzionef(x; y) =exy 1x20 y2016 . 4.Siaf(x; y) =jx2 y2 j. In quali punti diR2 è necessario studiare la dierenziabilità dif? 5.Stabilire se la funzione(t) =e2 t costè soluzione dell'equazioney0 = 2ye2 t sint. 6.Sia la curva di equazionix(t) =t,y(t) = 1,t2[0;2]. Calcolare la lunghezza di . 7.Sia la curva dell'esercizio precedente e siaf(x; y) =y2 +x. CalcolareZ f ds: 8.Siafla funzione periodica di periodo 2 che vale1x +1per x2[0;2). La serie di Fourier difconverge puntualmente suR? Se sì, a quale funzione? 9.Determinare il raggio di convergenza della serie di potenzeP +1 1x n5 n 2. 10.Determinare una soluzione (non identicamente nulla) del sistemay0 =AydoveA= 0 1 1 0 Ing. Informatica + TelecomunicazioniAnalisi Matematica 2 - Seconda Parte20 Settembre 2016 Cognome:Nome:P T 1 2 3 4 Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sull'ultima facciata. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Ogni esercizio vale 6 punti, la domanda di teoria vale 3 punti. Domanda di teoria:Spiegare cosa si intende perconvergenza totaledi una serie di funzioni. Esercizio 1. Si consideri la funzionef(x; y) = 2(x2 +y2 + 1)(x4 +y4 ). (i) Studiare la natura dei punti critici dif. (ii) Determinare il massimo assoluto difsulla circonferenza di equazionex2 +y2 = 1. Esercizio 2. Sia denita su[; )la funzione f(x) =xxjxj e prolungata per2-periodicità a tuttoR. (a) Disegnare il graco difsull'intervallo[2;2]. (b) Determinare le serie di Fourier associata afe studiarne la convergenza (puntuale, media quadratica, uniforme, totale). (c) Vericare che1 X n=1( 1)n +1(2 n1)3= 332 : Esercizio 3. SiaD=f(x; y)2R2 ;x2[0;1]; y2[0;1]; x2 +y2 1g. (i) DisegnareDe stabilire se è chiuso, aperto, né chiuso né aperto. (ii) CalcolareZ Ddx dyp x 2 +y2: Esercizio 4.