Computer Engineering - Analisi Matematica 2

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ANALISI MATEMATICA 2 - Prof. E.Maluta. 2 marzo 2015COMPITO A 1. (Punti 9) Risolvere i problemi di Cauchy(y0 + 3t2 y4 = 0 y(1) =13 e( y0 + 3t2 y4 = 0 y(1) = 0 precisando, per ciascuna soluzione, il massimo insieme in cui essa esiste ed e unica ed il suo comportamento agli estremi di tale insieme. Equazione a variabili separabili;y(t) = 08t2Re soluzione. Postof(t) = 3t2 eg(t) =y4 osserviamo chef ; g2C1 (R), quindi vale il teorem di esistenza e unicita locale per la soluzione del problema di Cauchy per ogni (x 0; y 0) 2R2 . Separando le variabili, per y6 = 0, otteniamo y0y 4= 3t2 quindi13 y3= t3 +c ey(t) =1(3 t3 +c)13 : 127 = ( y(1))3 =1 3 +cda cui c= 30; La soluzione del I problema di Cauchy e(t) =1(3 t3 +30)13 , continua su 1;1013  e su  1013 ;+1 . Poiche1013 0g e suf(x; y)2R2 :y 0g, calcoliamo un potenziale Udi (F 1; F 2): facilmente si ottiene U(x; y) =x 2y e quindi abbiamo Z xy dx x 2y 2dy =U(3;3)U(1;1) = 2: 4. (Facoltativo- Punti 3) DettaUuna funzione potenziale del campo associato alla forma dierenziale dell'esercizio 3. e considerata la funzione ~ U(x; y) =( U(x; y)y6 = 0 0y= 0 stabilire se esistono punti diy= 0 in cui~ Ue continua. Occorre studiare tutti e soli i punti (x;0); sex6 = 0, lim y!0U (x; y) =1, quindi non puo esistere limite nito. Per (x; y)!(0;0), considerando la rettay= 0 e la parabolay=x2 si conclude che non esiste lim(x;y)!(0;0)~ U(x; y). 3