Computer Engineering - Analisi Matematica 2

Second partial exam

Politecnico di MilanoAnalisi Matematica II1 febbraio 2017 Prof. E. Maluta Ing. Informatica e Ing. delle TelecomunicazioniPrima Parte Cognome e Nome:Matricola:P T 1 2 3 4 Ogni risposta va scritta nello spazio sotto il quesito e motivata con calcoli o/e spiegazioni. 1.Calcolare la divergenza del campo vettorialeF(x; y; z) = (x+yz)i+ (y+xz)j+ (z+xy)k. 2.Determinare il raggio di convergenza della serie1 X n=5z nn 2n. 3.Siaf(x) =x6 + 6 sinxin(; )e2-periodica; siaa 02 +P na ncos( nx) +b nsin( nx)la sua serie di Fourier. Determinareb 1e b 11. 4.Siafla funzione periodica di periodo 2 che vale1x + 1per x2[0;2). La serie di Fourier difconverge puntualmente suR? Se sì, a quale funzione? 5.InC;+ 1 X 0( 1)n z2 nn != ? 6.Determinare tutte le soluzioni del problema di Cauchy ( y0 =y3 sin1x + y1x 3 8 y(1) = 0. 7.Determinare tutte le soluzioni dell'equazione dierenzialex00 +x= 1. 8.Calcolare il rotore del campo vettorialeF(x; y; z) = (x; xy; xyz). 9.Sapendo che 1e  2sono soluzioni rispettivamente delle equazioni dierenziali lineari y00 +a(t)y0 +b(t)y= logtey00 +a(t)y0 +b(t)y=t, scrivere una soluzione dell'equazioney00 +a(t)y0 +b(t)y= 3 logt5t. 10.Dettauna qualunque soluzione (non identicamente nulla) del sistemay0 =AydoveA= 3 1 01 , calcolarelim t!+1 (t).