Computer Engineering - Analisi Matematica 2

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1 Funzioni di due variabili: domini, insiemi di livello, limiti Esercizio 1.Domini Determinare e rappresentare gracamente gli insiemi di denizione delle seguenti funzioni: 1.f(x; y) =1p 4 x2 y22. f(x; y) = arcsin x2  +pxy 3.f(x; y) = log x+yx y 4.f(x; y) =px 2 4 +p4 y2 5.f(x; y) =p( x2 +y2 a2 )(2a2 x2 y2 ),a >0 6.f(x; y) = arcsin yx  7.f(x; y) =log( xpy x)xy 18. f(x; y) =p2 yx(x jxj)log(2 (x2 +y2 )) Esercizio 2.Insiemi di livello Determinare le curve di livello delle seguenti funzioni: 1.f(x; y) =x2 y2.f(x; y) =x2 y3.f(x; y) =yx e x 4.f(x; y) = 1 jxj jyj 5.f(x; y) =x2 2y2 + 2 6.f(x; y) = log(x2 +y) 7.f(x; y) = arcsin(xy) Esercizio 3.Limiti1.Utilizzando la denizione di limite, vericare che lim(x;y)!(0;0)x 4x 2 +y2= 0 : 2.Vericare che lim(x;y)!(0;0)y 2 cos 1xy  = 0;lim (x;y)!(0;0)3 x3 + 2x2 + 2y2x 2 +y2= 2 : 3.Calcolare i seguenti limiti: lim(x;y)!(0;0)1 cos(xy)x 2 y2lim (x;y)!(0;2)sin( xy)x 4.Vericare che non esiste il limite per (x; y)!(0;0) della funzionef(x; y) =2 x+ 3yx +y. 5.Utilizzando le rette per l'origine, vericare che non esiste il limite per (x; y)!(0;0) della funzionef(x; y) =xyx 2 +y2. 6.Vericare che non esiste il limite per (x; y)!(0;0) della funzionef(x; y) =x 2 yx 4 +y2. 7.Calcolare, se esistono, i limiti seguenti utilizzando le coordinate polarilim (x;y)!(0;0)xy 2x 2 +y2lim (x;y)!(0;0)xyx 2 +y2lim (x;y)!(0;0)x +yx ylim (x;y)!(1;0)y 2 logx( x1)2 +y2 Esercizio 4.Studiare la continuita della seguente funzione: f(x; y) =8 < :y 2 sinxx 2 +y2se ( x; y)6 = (0;0) 0 se (x; y) = (0;0) 2 Funzioni di due variabili: continuita e derivabilita Esercizio 1.Studiare la continuita delle seguenti funzioni: 1.f(x; y) =pj xyj2.f(x; y) =3 xyp x 2 +y2 Esercizio 2.Studiare la continuita in (0;0) delle seguenti funzioni: 1.f(x; y) =8 < :x 4 yx 4 +y2se ( x; y)6 = (0;0) 0 se (x; y) = (0;0)2. f(x; y) =8 < :y 2x se x6 = 0 0 sex= 0 Esercizio 3.Estendere con continuita a tuttoR2 , se possibile, le seguenti funzioni: 1.f(x; y) =xylog(jxyj) 2.f(x; y) =1 cos(xy)x 4 +y4 Esercizio 4.Calcolare le derivate parziali delle funzioni 1.f(x; y) =x3 +y2 xy2.f(x; y) =x2 ysin(xy) 3.f(x; y) =px 2 +y2 4.f(x; y) =ex 2 y 5.f(x; y) =xy Esercizio 5.Studiare continuita e derivabilita nel punto (0;0) della seguente funzione: f(x; y) =8 < :y 3 cos xp x 2 +y2se ( x; y)6 = (0;0) 0 se (x; y) = (0;0) Esercizio 6.Calcolare le derivate parziali prime e seconde della seguente funzione: f(x; y) =ex cosy Scrivere l'espressione del gradiente dif(x; y) e calcolarlo nel puntoP 0= log 2;2
. Esercizio 7.Calcolare la derivata direzionale della funzione f(x; y) =ex +y x2 y nel puntoP 0= (0 ;0) e nelle direzioni individuate dai vettoriv= (2;3) ew= (0;4). 3 Funzioni di due variabili: Dierenziabilita, Piano tangente, Funzioni composte Esercizio 1.Studiare continuita, derivabilita e dierenziabilita della funzione: f(x; y) =8 < :x 4 +y4x 2 +y2se ( x; y)6 = (0;0) 0 se (x; y) = (0;0) Esercizio 2.Trovare l'equazione del piano tangente al graco della funzione f(x; y) = 2x2 + 4y2 in corrispondenza del punto (2;1). Esercizio 3.Determinare la derivata, rispetto alla variabilet2R, delle funzioni composte 1.f(x; y) =x2 +y2 conx(t) = 1 +t,y(t) = 1t 2.f(x; y) =e3 x+ 2y conx(t) = cost,y(t) =t2 Esercizio 4.Calcolare l'equazione della retta tangente alla linea di livello della funzione f(x; y) = 5x2 + 2xy nel punto (1;2). Esercizio 5.Scrivere lo sviluppo di Taylor del secondo ordine della funzione f(x; y) =y+xy2 +x3 nel punto (1;1). Esercizio 6.Studiare continuita, derivabilita e dierenziabilita in (0;0) della funzione: f(x; y) =8 < :y 2 sinxx 2 +y2se ( x; y)6 = (0;0) 0 se (x; y) = (0;0) 4 Funzioni di due variabili: Massimi e minimi Esercizio 1.Studiare la natura dei punti stazionari delle seguenti funzioni: 1.f(x; y) = (x1)2 + 2y2 2.f(x; y) =x3 +y2 + 2xy 3.f(x; y) =y2 x3 4.f(x; y) = 4x3 xy2 5.f(x; y) =x2 +xy3 + 1 Esercizio 2.Data la funzione f(x; y) =x+y determinare massimi e minimi assoluti nel semicerchio D=f(x; y)2R2 :x2 +y2 1; y0g . Esercizio 3.Determinare massimi e minimi assoluti di f(x; y) =x2 y2 + 2xy nel quadrato [1;1][1;1]. 5 Funzioni di due variabili: Massimi e minimi assoluti Esercizio 1.Studiare la natura dei punti stazionari della seguente funzione: f(x; y) =y2 +x2 y+x4 Esercizio 2.Determinare massimi e minimi assoluti della funzione f(x; y) =x2 +y2 nell'insiemeD=f(x; y)2R2 : 4x2 +y2 160g. Esercizio 3.Determinare massimi e minimi assoluti della funzione f(x; y) = 2x2 xy+y2 nell'insiemeT=f(x; y)2R2 :x0; y0; x+y10g. Esercizio 4.Determinare massimi e minimi assoluti della funzione f(x; y) =x2 +y4 + 1 nell'insiemeD=f(x; y)2R2 :1x12Rg. 6 Curve Esercizio 1.Scrivere una rappresentazione parametrica delle seguenti curve: 1.Segmento che va da (1;2) a (3;4) e segmento che va da (3;4) a (1;2) 2.Circonferenza di centro (1;1) e raggio 2 percorsa in senso antiorario a partire da (1;3) 3.Ellisse di equazione (x1)2 + 4(y1)2 = 16 percorsa in senso antiorario a partire dal punto (1;3) Esercizio 2.Scrivere, se possibile, la rappresentazione cartesiana delle seguenti curve: 1.r(t) = 3ti+t4 j; t2[0;1] 2.r(t) =t3 i+et j; t2[0;2] 3.r(t) =t2 i+4tj; t2[3;3] Esercizio 3.1.Parametrizzare la curva ottenuta come intersezione tra il cilindrox2 +y2 = 1 e il piano di equazione 3x+ 2y+ 4z= 2. 2.Parametrizzare la curva ottenuta dall'intersezione dizx2 + 1 = 0 ezx+y3 = 0. Esercizio 4.Trovare l'equazione della retta tangente alle curve seguenti, nei punti indicati: 1.x= cost; y= 1tin (1;1) 2.x=et ; y=t+t2 in (1;0) 3.x=tsint; y= 1costin (=21;1) Esercizio 5.Calcolare la lunghezza delle seguenti curve 1.x=tsint; y= 1cost; t2[0;2] 2.y= cosh(x); x2[0;1] 3.= sin(); 2[0; ] Esercizio 6.Si calcoli la lunghezza della curva r(t) =e2 t i+ 2et j+tk; t2[0;1] Si calcolino poi i versoriT;NeBnel punto (1;2;0). Esercizio 7.Scrivere l'equazione del cerchio osculatore alla curva di equazioney=ex nel punto di ascissax= 0. 7 Integrali Curvilinei Esercizio 1.Calcolare l'integrale di lineaZ f ds , dovef(x; y) = 2xe e la curva formata dall'arco di parabola di equazioney=x2 che va da (0;0) a (1;1) seguito dal segmento che va da (1;1) a (0;0). Esercizio 2.Calcolare l'area della supercieSparallela all'assez, compresa tra il piano z= 0 e il graco della funzionez=xy, che interseca il pianoz= 0 lungo l'arco di parabola r(t) = (t; t2 ),t2[0;1]. Esercizio 3.Calcolare il baricentro di un lo omogeneo a forma di cicloide di equazione x(t) =R(tsint); y(t) =R(1cost); t2[0;2] Esercizio 4.Un lo omogeneo di densita lineare costante(x; y; z) = 2K >0 e disposto lungo la curva di equazione r(t) = 3(cost+tsint)i+ 3(sinttcost)j; t2[0;2] Calcolarne il momento di inerzia rispetto all'assez. 8 Equazioni dierenziali lineari del primo ordine, Equazioni di Bernoulli Esercizio 1.Trovare tutte le soluzioni delle seguenti equazioni 1.y0 = 2y+ 1 2. 3y0 +y= 2e t 3.y0 + 2ty=t 4.ty0 +y= 3t3 1; t >0 5.y0 (tant)y=esin t ;0< t < =2 6.y0 + 2ty=te t2 7.y0 +y= cost Esercizio 2.Risolvere i seguenti problemi di Cauchy 1.( y0 +y= 1 y(0) = 22.( y0 +jtjy= 0 y(0) = 1 3.( y0 +t2 y=t2 y(0) = 14.( y0 + 2ty=e t2 cost y(0) = 0 Esercizio 3.Trovare tutte le soluzioni delle seguenti equazioni: 1.y0 2ty=ty2 2.y0 2y= 2(et +t)py 3.y0 =yt 1y 9 Equazioni dierenziali a variabili separabili Esercizio 1.Risolvere il seguente problema di Cauchy (y0 =t3 y2 y(0) = 7 Studiare la soluzione ottenuta. Esercizio 2.Risolvere i seguenti problemi di Cauchy 1.( y0 =t3 y2 y(0) = 02.( y0 =y1 y(0) = 73.8 < :y 0 =ty y(0) = 7 Esercizio 3.Risolvere il seguente problema di Cauchy (y0 =y4 cost y(0) = Studiare il comportamento della soluzione al variare di2R. Esercizio 4.Risolvere le seguenti equazioni: 1.y0 = 1 +yt 2. y0 =t 3 +y3ty 2 10 Equazioni dierenziali lineari del secondo ordine Esercizio 1.Risolvere le seguenti equazioni: 1.y00 + 3y0 = 0 2.y00 + 3y= 0 3.y00 +y= 0 4.y00 y= 0 Esercizio 2.Risolvere il seguente problema di Cauchy 8 > < > :y 00 2y0 y= 0 y(0) = 0 y0 (0) = 2p2 Esercizio 3.Risolvere le seguenti equazioni: 1.y00 + 3y0 + 2y=e7 t 2.y00 + 3y0 + 2y=e 2t 3.y00 2y0 +y=et 4.y00 + 7y0 + 12y= sint5.y00 + 9y= sint6.y00 + 9y= sin 3t 7.y00 + 9y= sint+e2 t 8.y00 2y0 +y=t2 +t9.y00 y0 =t2 11 Serie numeriche Esercizio 1.Calcolare, se possibile, la somma delle seguenti serie: 1.+ 1 X n=04 1 2n 2.+ 1 X n=12 n 13 n +13.+ 1 X n=0( 1)n 2n +23 n +1 Esercizio 2.Studiare la convergenza delle seguenti serie: 1.+ 1 X n=1nn + log(n)2.+ 1 X n=1( 1)n nn + 13.+ 1 X n=1log( n)n 4.+ 1 X n=11n +pn 5.+ 1 X n=03 n2 + 1n 4 +n+ 16.+ 1 X n=1n + cos(n)n 27.+ 1 X n=1sin  2n 2 8.+ 1 X n=1( e1n 1)2 9.+ 1 X n=1log  1 +1p n  10.+ 1 X n=0n 23 n11.+ 1 X n=1( n!)2(2 n)!12.+ 1 X n=12 n3 n + 1 13.+ 1 X n=1n n(2 n+ 1)n14.+ 1 X n=12 n n n 15.+ 1 X n=1n !n n16.+ 1 X n=12 n n!n n17.+ 1 X n=1e n n!n n Esercizio 3.Studiare la convergenza delle seguenti serie: 1.+ 1 X n=1( 1)nn !2.+ 1 X n=1( 1)n sin 1n 2 3.+ 1 X n=1( 1)n 12 + pn Esercizio 4.Studiare, al variare di;  >0, la convergenza delle seguenti serie: 1.+ 1 X n=21n  [log(n)] 2.+ 1 X n=1h 2 arctg(n)i  3.+ 1 X n=1" 2n n
4 n#  Esercizio 5.Studiare, al variare dix0, la convergenza delle seguenti serie: 1.+ 1 X n=1x nn n2.+ 1 X n=13 nn x n 12 Serie di potenze Esercizio 1.Studiare la convergenza delle seguenti serie di potenze: 1.+ 1 X n=1x nlog(1 + n)2.+ 1 X n=12 nn 2xn 3.+ 1 X n=1( x3)nn Esercizio 2.Studiare la convergenza delle seguenti serie: 1.+ 1 X n=1x 2 nn 22.+ 1 X n=11n  x1x + 1 n Esercizio 3.Esprimere ciascuna delle seguenti funzioni come serie di potenze centrata nel punto indicato, specicandone l'intervallo di convergenza: 1.,f(x) =e2 x , conx 0= 3; 2./g(x) = log(x), conx 0= 2. Esercizio 4.Calcolare, con un errore inferiore a 4
10 2 , l'integrale Z1 0log(1 + x)x dx e precisare se l'approssimazione ottenuta e per eccesso o per difetto. Soluzione Esercizio 1.1 Si tratta di una serie di potenze cona 0= 0, a n=1log(1 + n); n 1 ex 0= 0. Il raggio di convergenza e dato da 1R = lim n!1j a n+1jj a nj= lim n!1log(1 + n)log 2 + n= 1 ; da cuiR= 1. Pertanto la serie converge puntualmente e assolutamente in (1;1). Perx= 1 la serie diventa+ 1 X n=11log(1 + n), che diverge (sia semplicemente che assolutamente) per il criterio del confronto, essendo1log(1 + n) 1n . Perx=1 la serie diventa+ 1 X n=1( 1)nlog(1 + n), che converge per il criterio di Leibniz, ma non converge assolutamente (vedi sopra). In conclusione, la serie di potenze converge puntualmente in [1;1), assolutamente in (1;1), e (per il Teorema di Abel) uniformemente in ogni intervallo della forma [1;1"], con" >0. Soluzione Esercizio 1.2 Si tratta di una serie di potenze cona 0= 0, a n=2 nn 2; n 1 ex 0= 0. Il raggio di convergenza e dato da 1R = lim n!1j a n+1jj a nj= lim n!12 n +1( n+ 1)2
n 22 n= lim n!12n 2( n+ 1)2= 2 ; da cuiR=12 . Pertanto la serie converge puntualmente e assolutamente in ( 12 ;12 ). Perx=12 la serie diventa+ 1 X n=11n 2, che converge sia semplicemente che assolutamente, mentre perx=12 la serie diventa+ 1 X n=1( 1)nn 2, che converge assolutamente quindi anche semplice- mente. In conclusione, la serie di potenze converge puntualmente, assolutamente e anche uniforme- mente in tutto l'intervallo [12 ;12 ]. Soluzione Esercizio 1.3 Si tratta di una serie di potenze cona 0= 0, a n=1n ; n 1 ex 0= 3. Il raggio di convergenza e dato da1R = lim n!1j a n+1jj a nj= lim n!1nn + 1= 1 ; da cuiR= 1. Pertanto la serie converge puntualmente e assolutamente nell'intervallo (x 0 R; x 0+ R) = (2;4). Per x= 4 la serie diventa+ 1 X n=11n , che diverge (sia semplicemente che assolutamente). Perx= 2 la serie diventa+ 1 X n=1( 1)nn , che converge per il criterio di Leibniz, ma non converge assolutamente. In conclusione, la serie di potenze converge puntualmente in [2;4), assolutamente in (2;4), ed uniformemente in ogni intervallo della forma [2;4"], con" >0. Soluzione Esercizio 2.1 Si tratta di una serie di funzioni che, con la sostituzionex2 =tsi riconduce alla serie di potenze+ 1 X n=1t nn 2. Per quest'ultima il raggio di convergenza e dato da 1R = lim n!1j a n+1jj a nj= lim n!1n 2( n+ 1)2= 1 ; da cuiR= 1. Pertanto la serie converge puntualmente e assolutamente pert2(1;1). Pert= 1 la serie diventa+ 1 X n=11n 2, che converge sia semplicemente che assolutamente. Pert=1 la serie diventa+ 1 X n=1( 1)nn 2, che converge assolutamente quindi anche semplice- mente. Dunque la serie di potenze+ 1 X n=1t nn 2converge puntualmente, assolutamente ed uni- formemente perjtj 1. La serie di partenza converge quindi allo stesso modo perjx2 j 1, ovvero perx2[1;1]. Soluzione Esercizio 2.2 Si tratta di una serie di funzioni che, con la sostituzionet=x 1x + 1si riconduce alla serie di potenze+ 1 X n=1t nn . Per quest'ultima il raggio di convergenza e dato da 1R = lim n!1j a n+1jj a nj= lim n!1nn + 1= 1 ; da cuiR= 1. Pertanto la serie converge puntualmente e assolutamente pert2(1;1). Pert= 1 la serie diventa+ 1 X n=11n , che diverge (sia semplicemente che assolutamente). Pert=1 la serie diventa+ 1 X n=1( 1)nn , che converge semplicemente ma non assolutamente. Dunque la serie di potenze + 1 X n=1t nn converge puntualmente per t2[1;1), assolutamente per t2(1;1) ed uniformemente in ogni intervallo [1;1"], con" >0. Risolvendo le disequazioni algebriche1x 1x + 1< 1, si trova che la serie di partenza converge puntualmente perx2[0;+1), assolutamente perx2(0;+1) ed uniformemente in ogni intervallo della forma [0; b], conb >0 . Soluzione Esercizio 3.1 Ricordiamo lo sviluppo in serie di MacLaurinex =+ 1 X n=0x nn !, x2R. Possiamo scrivere 2x= 2(x3) + 6, da cuie2 x =e2( x3)
e6 , pertanto e2 x =e6
1 X n=0[2( x3)]nn != e6
1 X n=02 nn !( x3)n ; che e una serie di potenze cona n= e6
2 nn !8 n0 ex 0= 3, convergente per ogni x2R. Soluzione Esercizio 3.2 L'idea e di sfruttare lo sviluppo di MacLaurin della funzione log(1 +x), che e il seguente: log(1 +x) =+ 1 X n=1( 1)n +1xnn ; x 2(1;1):(b) Si puo scrivere infatti f(x) = log(x) = log(2 +x2) = log 2 1 +12 ( x2)  = log(2) + log 1 +12 ( x2) = = log(2) ++ 1 X n=1( 1)n +1n h (x2)2 i n = log(2) ++ 1 X n=1( 1)n +1n 2n( x2)n ; che e una serie di potenze cona 0= log(2), a n=( 1)n +1n 2nper n1 ex 0= 2, convergente per  ( x2)2   < 1 (perche la serie di log(1 +x) converge perjxj < > :x + 3 se 0x1 2xse 1< x < > > :0 se 0 x1 1x 1se 1 < x > < > > :1x 1 =3se 0 < x1 3 se 1< x2 In caso di sviluppabilita, analizzare la convergenza della serie. Esercizio 4.Analizzare la sviluppabilita in serie di Fourier della funzione 2-periodica descritta da f(x; y) =( 0 se 0x <  3 sex > > > < > > > > :x =ucosv y=v z= cosv, 0 vu, 0u2 . Soluzione Esercizio 1.1 z=xye l'equazione cartesiana del graco della funzionef(x; y) =xy, (x; y)2R2 . Il versore normale ad una supercie cartesiana e dato dalla formula n(x; y) = f x( x; y);f y( x; y);1
p ( f x( x; y))2 + (f y( x; y))2 + 1 Qui abbiamof x( x; y) =yef y( x; y) =x, pertanto n(x; y) = y;x;1
p y 2 +x2 + 1= yp y 2 +x2 + 1; xp y 2 +x2 + 1; 1p y 2 +x2 + 1! Soluzione Esercizio 1.2 La supercie e data in forma parametrica r(u; v) = (u2 +v2 ; u2 v2 ; uv);(u; v)6 = (0;0) quindir u( u; v) = (2u;2u; v) er v( u; v) = (2v;2v; u), da cui ru( u; v)r v( u; v) = det0 B B @i j k 2u2u v 2v2v u1 C C A= (2 u2 + 2v2 ;2v2 2u2 ;8uv) = = 2(u2 +v2 ; v2 u2 ;4uv) Pertantokr u( u; v)r v( u; v)k= 2p( u2 +v2 )2 + (v2 u2 )2 + 16u2 v2 = 2p2 u4 + 2v4 + 16u2 v2 = = 2p2 pu 4 +v4 + 8u2 v2 : Il versore normale en(u; v) = u2 +v2 ; v2 u2 ;4uv
p 2 pu 4 +v4 + 8u2 v2; (u; v)6 = (0;0): Notiamo che il punto r(0;0) = (0;0;0) non e un punto regolare, infattir u(0 ;0)r v(0 ;0) =0. Si puo anche trovare la rappresentazione cartesiana della sufercie data, notando che x+y= 2u2 =)u2 =x +y2 ; x y= 2v2 =)v2 =x y2 da cuiz=uv=)z2 =u2 v2 =x +y2 x y2 = 14 ( x2 y2 ) L'equazione cartesiana della supercie quindi ex 24 y 24 z2 = 0, che si puo riscrivere x2 =y2 + 4z2 . Da quest'ultima espressione si vede che la supercie e in realta un cono doppio a sezione ellittica, con asse di simmetria uguale all'assex. Notiamo che nell'origine il versore normale non e denito.Figura 1: Cono x2 =y2 + 4z2 .30 20 10 0 -10 -20 -30 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -88 6420 -4-6 -1010 -2 Soluzione Esercizio 2 Si har(u; v) = (ucosv; usinv; v), da cuir u( u; v) = (cosv;sinv;0) er v( u; v) = (usinv; ucosv;1). Pertanto ru( u; v)r v( u; v) = det0 B B @i j k cosvsinv0 usinv ucosv11 C C A= (sin v;cosv; ucos2 v+usin2 v) = = (sinv;cosv; u) da cuikr u( u; v)r v( u; v)k=psin 2 v+ cos2 v+u2 =p1 + u2 : AlloraArea() =x Ak r u( u; v)r v( u; v)kdudv=Z 2 0dvZ 1 0du p1 + u2 = [si veda l'Appendice] = = 212 h log(u+pu 2 + 1) +up1 + u2i    u =1 u=0= h log(1 +p2) + p2 i : Soluzione Esercizio 3 Osserviamo chez=px 2 +y2 e l'equazione della falda superiore di un cono circolare retto, mentrez=p2 x2 y2 e l'equazione dell'emisfero superiore di una sfera di raggiop2. Pos- siamo pertanto vedere la frontiera dell'insiemeEcome l'unione di due porzioni di superci, E1ed E 2. La supercie E 1e il graco della funzione z=px 2 +y2 per (x; y)2 fx2 +y2 1g, ovvero e la supercie laterale del cono, contenuta all'interno della sfera di centro l'origine e raggiop2. D'altra parte E 2e il pezzo di calotta sferica, descritta come il graco di z=p2 x2 y2 . per (x; y)2 fx2 +y2 1g. L'insieme in cui variano i punti (x; y), ovvero l'insiemefx2 +y2 1gsi trova considerando l'intersezione tra il cono (innito) e la semisfera. 8 > < > :z =px 2 +y2 z=p2 x2 y2= )x2 +y2 = 1:Figura 2: L'insieme E. EssendoE 1il graco della funzione f(x; y) =px 2 +y2 per (x; y)2 fx2 +y2 1g, risulta Area(E 1) =x fx2 +y2 1gq( f x( x; y))2 + (f y( x; y))2 + 1dxdy=x fx2 +y2 1gsx 2x 2 +y2+y 2x 2 +y2+ 1 dxdy= =x fx2 +y2 1gp2 dxdy=p2 :1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1 0 1 1 1.5 0 0.5 D'altra parte, E 2e il graco di f(x; y) =p2 x2 y2 per (x; y)2 fx2 +y2 1g, quindi Area(E 2) =x fx2 +y2 1gq( f x( x; y))2 + (f y( x; y))2 + 1dxdy=x fx2 +y2 1gsx 2 +y22 x2 y2+ 1 dxdy= =x fx2 +y2 1gp2 p 2 x2 y2=p2 Z 2 0dZ 1 0d 1p 2 2 =p2 2  12
Z 1 0d (2)(22 ) 12 = =2p2[1 p2] = 2 p2( p2 1): In conclusione,Area(@ E) =Area(E 1) + Area(E 2) =p2 + 2p2( p2 1) =p2(2 p2 1). Soluzione Esercizio 4.1 La funzione da integrare ef(x; y; z) =z, (x; y; z)2, dove  e il graco dig(x; y) =xy, (x; y)2A, ovveror(x; y) = (x; y; g(x; y)) = (x; y; xy), (x; y)2A. Quindif(r(x; y)) = f(x; y; xy) =xy, mentrekr x( x; y)r y( x; y)k=pg 2 x+ g2 y+ 1 =py 2 +x2 + 1. Pertanto xz dS =x Axy py 2 +x2 + 1dxdy=Z 3 0dZ 1 0d  cossinp 2 + 1= =Z 3 0d cossinZ 1 0d  3p 2 + 1 =12 [sin 2 ]  =3 =0115 ( 2 + 1)p 2 + 1(32 2)  =1 =0= =12 34 115 [2p2 + 2] = 120 (p2 + 1) : Soluzione Esercizio 4.2 La funzione da integrare ef(x; y; z) =xp 1 + sin 2 y, ( x; y; z)2, dove  e la super- cie di equazioner(u; v) = (ucosv; v;cosv), per 0vu, 0u2 . Quin- dif(r(u; v)) =f(ucosv; v;cosv) =u cosvp 1 + sin 2 v, mentre r u( u; v) = (cosv;0;0) e rv( u; v) = (usinv;1;sinv), da cui ru( u; v)r v( u; v) = det0 B B @i j k cosv0 0 usinv1sinv1 C C A= (0 ;cosvsinv;cosv) da cui (essendo 0 v2 = )cosv0) kr u( u; v)r v( u; v)k=pcos 2 vsin2 v+ cos2 v= cosvpsin 2 v+ 1: Pertanto x xp 1 + sin 2 ydS =Z 2 0duZ u 0dv u cosvp 1 + sin 2 vcos vpsin 2 v+ 1 =Z 2 0du uZ u 0dv cos2 v= =Z 2 0du u 12 v +14 sin(2 v)    v =u v=0=Z 2 0du u 12 u +14 sin(2 u) = =12 Z 2 0u 2 du+14 Z 2 0u sin(2u)du=12 13  38 + 14 14 [sin(2 u)2ucos(2u)]   u =2 u=0= = 348 + 16 : Appendice Per mostrare che Zp1 + t2 dt=12 h log(t+pt 2 + 1) +tp1 + t2i +c si procede dapprima con la sostituzionet= sinh(x), da cuidt= cosh(x)dxex= arcsinh(t), e si usa poi l'identita trigonometrica cosh2 (x)sinh2 (x) = 1 ed il fatto che coshx >0 per ottenere Zp1 + t2 dt=Z q1 + sinh 2 (x) coshx dx=Z qcosh 2 (x) coshx dx=Z cosh2 (x)dx=::: Per la formula di duplicazione cosh(2x) = cosh2 (x) + sinh2 (x) abbiamo che cosh2 (x) =1 + cosh(2 x)2 , pertanto :::=Z 1 + cosh(2x)2 dx =12  x+12 sinh(2 x) +c=12 x +12 sinh( x) cosh(x) +c Ritornando alla variabile tabbiamo Zp1 + t2 dt=12 h arcsinh(t) +tpt 2 + 1i +c D'altra parte risulta: arcsinh(t) = log(t+p1 + t2 ), infatti x= arcsinh(t) =)t= sinh(x) =e x e x2 = )2t=ex 1e x= ) =)2tex =e2 x 1 =)e2 x 2tex 1 = 0 Risolvendo l'ultima equazione nell'incognitaex si trovaex =tpt 2 + 1. Dal momento che tpt 2 + 1