Computer Engineering - Fondamenti di Automatica

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Fondamenti di Automatica (cod. 085905) Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Alunni iscritti da PJ a ZZ Prof. Lorenzo Fagiano Anno Accademico 2020 -20 21 Esame del 14 gennaio 20 22 NOME «CognomeNome » CODICE PERSONA «Codice_persona » • Motivare brevemente ma in modo esauriente la risposta fornita ad ogni quesito, riportando tutti i passaggi svolti per ottenere tale risposta . • Utilizzare, per lo svolgimento degli esercizi, fogli bianchi e fogli con diagramma semi -logaritmico. • Attenersi alle indicazioni fornite dal docente sullo svolgimento dell’esame (da remoto o in presenza) . • Non si possono consultare libri, appunti, dispense, ecc. • Si raccomandano chiarezza, precisione e concisione nelle risposte. 1. Si consideri il sistema descritto dalle seguenti equazioni : �̇(�) = [ −2 �������2 1 0 −1 2 �������1(�) 0 −1 ]�(�)+ [ 1 0 0 1 0 0 ]�(�) �(�) = [1 0 0] �(�) �∈ ℝ; � ∈ ℝ3;� ∈ ℝ2;������,������ ∈ ℝ 1.a) [Max. 2 punti] Siano ������ = 3, ������ = 5. Rispondere alle seguenti domande: • il sistema è lineare ? • il sistema è statico ? • il sistema è tempo invariante ? • il sistema è MIMO ? 1.b) [Max. 2 punti] Siano ������ = 0, ������ = 1. Calcolare stato/i e uscit a/e di equilibrio del sistema a fronte di ingresso costante �̅= [1 1]. 1.c) [Max. 2 punti] Siano ������ = 0, ������ = 4. Scrivere le equazioni del sistema linearizzato attorno ad un generico equilibrio (�̅,�̅). 1.d ) [Max. 2 punti] Siano ������ = 0, ������ = 0. Valutare la stabilità del sistema e scrivere le equazioni dei modi. 1.e ) [Max. 3 punti] Siano ������ = 0, ������ = 0. Calcolare l’espressione analitica del movimento libero dell’uscita a fronte di condizioni iniziali �(0)= [ 1 1 2 ]. Inoltre, dire, giustificando la risposta, se tale movimento dipende dal valore di �2(0). 2. Si consideri un sistema SISO LTI di ordine due con funzione di trasferimento: ������(�)= 25 �2+ 3� + 25 2.a) [Max. 2 punti] Tracciare l’andamento qualitativo della risposta forzata del sistema a fronte di un segnale di ingresso la cui trasformata è: ������(�)= 4 � + �−6������4 � A tal scopo si ricorda la formula che lega la sovraelongazione percentuale allo smorzamento del sistema: �% = 100 �−������������ /√1−������2 . 2.b) [Max. 2 punti] Tracciare i diagrammi asintotici di Bode della risposta in frequenza del sistema. 2.c) [Max. 3 punti] Il sistema viene inserito nel seguente schema di controllo , dove ������ ∈ ℝ e �(�), �(�) sono le funzioni di trasferimento di due sistemi dinamici LTI asintoticamente stabili : Scrivere la funzione di trasferimento tra i segnali � e �. Inoltre, dire per quali valori di ������ il sistema complessivo è asintoticamente stabile. 2.d) [Max. 2 punti] Si consideri il seguente diagramma di Nyquist di un sistema LTI asintoticamente stabile, con funzione di trasferimento ������(�): Il sistema è inserito nel seguente schema a blocchi : Sia ������ = 0.25 . D ire se il sistema retroazionato è asintoticamente stabile, e stimare il margine di fase . 2.e) [Max. 3 punti] Si consideri il seguente sistema LTI di ordine 1, dove ������ = 60 : • Valutare l’applicabilità del criterio di Bode, e dire se il sistema è asintoticamente stabile; • Scrivere in prima approssimazione l’equazione, a transitorio esaurito, del movimento forzato del segnale �(�) a fronte dei seguenti segnali di ingresso contemporaneamente : o �(�)= (−4+ sin (0.6�))�������� (�) o �(�)= (3+ cos (0.06 �))�������� (�) o �(�)= (2+ sin (6000 �))�������� (�) 3. Si consideri un sistema dinamico di ordine 2 con la seguente funzione di trasferimento: ������(�)= -1(�+ 5) �(�+ 0.07 ) Il sistema è inserito nel seguente schema di controllo con retroazione dell’uscita: 3.a) [Max. 6 punti] Tradurre le seguenti specifiche in vincoli su modulo e fase della funzione di risposta in frequenza associata alla funzione di trasferimento di anello ������(�)= �(�)������(�). Tracciare tali vincoli sui diagrammi di Bode. • |�∞|≤ 0.11 a fronte di ingresso �(�)= 4 �������� (�); • attenuazione dell’ampiezza di ingressi del tipo �(�)= sin (�������������) inferiore a -20dB nella banda ������������∈ [400 ,+∞ ); • attenuazione dell’ampiezza di ingressi del tipo �(�)= sin (�������������) inferiore a -17dB nella banda ������������∈ [0,4]; • margine di fase superiore a 60 gradi . 3.b) [Max. 4.5 punti] Progettare la funzione di trasferimento �(�) di un regolatore di ordine al massimo pari a 1 in modo da soddisfare le specifiche analizzate al punto 3.a) . Tracciare, sui grafici realizzati al punto 3.a) , i diagrammi asintotici di Bode della funzione di anello ottenuta. Fornire una stima del valore di pulsazione critica e margine di fase ottenuti a valle del progetto. 3.c) [Max. 0.5 punti] Con riferimento al punto 3.b) , il sistema di controllo viene realizzato in digitale . Determinare il pas so di campionamento in modo che la perdita di margine di fase dovuta a mantenitore di ordine zero e campionatore sia superiore a -4 gradi . � ( � ) ������ ( � ) + - + + � � � � � - + �