Computer Engineering - Fisica

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Fisica - Appello del 24/01/22 Soluzione commentataForm 1 - Domande a risposta chiusa [tot. 8 punti] Le domande dal la 1 al la 6 sono presentate a ciascuno studente in ordine casuale. 1.Un sasso e messo in rotazione tramite una onda elastica. La forza centripeta e:[1 punto] (a)esercitata dalla forza elastica della onda. (b)nulla.(c)nulla, perche deve essere considerata la forza centrifuga. (d)costante per ogni velocita di rotazione del sasso. ˆNel moto considerato, la forza risultante agente sul sasso coincide con buona approssima- zione con la forza elastica esercitata dalla onda. ~ Fris =~ Fel Infatti, non si precisano esattamente le condizioni del moto, se questo avvenga per esempio su un piano verticale od orizzontale; anche per questo, e lecito supporre che forze quali la forza peso agente sul sasso o l'attrito viscoso dell'aria siano molto piu piccole rispetto alla forza elastica. ˆSe il moto del sasso e circolare uniforme, l'accelerazione del punto materiale e di tipo centripeto, cioe:~a~a C= !2 R~ur ove!e la velocita angolare di rotazione,Re il raggio del cerchio descritto e~u re il versore radiale, rivolto dal centro di rotazione verso l'esterno (e infatti, per come e scritta~a, e rivolta verso l'interno a causa del segno '-'). ˆPer il Secondo Principio della Dinamica, per il sasso di massamvale: ~ Fris= m~a=m~a C= m!2 R~ur=~ FC cioe la forza risultante ha la forma di una forza centripeta. Per quanto osservato sopra, allora:~ FC=~ Fris=~ Fel e la risposta corretta e la (a). ˆNotiamo che le altre risposte sono errate. Anzitutto, se!6 = 0 eR6 = 0, sicuramenteF C non e nulla. Nemmeno, data la sua espressione, essa e costante al variare di!. 2.Sfruttando una singola trasformazione termodinamica, e possibile trasformare integral-mente tutto il calore assorbito da un gas ideale in lavoro?[1 punto] (a)s, attraverso un'adiabatica. (b)no, per il Secondo Principio della Termodinamica.(c)s, attraverso un'isoterma reversibile. (d)no, perche diminuirebbe l'entropia del sistema termodinamico. 1 ˆ Analizziamo una alla volta le risposte possibili, notando che si potrebbe riscrivere la do- manda nel modo seguente:E' possibile trovare una trasformazione termodinamica per cui valgaQ=L>0? ˆLa risposta (a) e sicuramente falsa, poiche per denizione in un'adiabaticaQ= 0 mentre L 6= 0. ˆLa risposta (b) non e corretta, perche il Secondo Principio della Termodinamica vieta la condizioneQ=L>0 per una trasformazioneciclica, ma non da indicazioni su cio che e consentito a una singola trasformazionegenerica. ˆNon esistono principi sici che vietino la diminuzione dell'entropia diuno specico sistema termodinamico(altra cosa e parlare dell'universo). Percio anche la (d) e falsa. ˆConsideriamo invece una trasformazione isoterma reversibile per un gas ideale. In questo caso, e noto che: Q=L=nRTlnV fV i Se consideriamo un'espansione isoterma di un gas perfetto (per cuiV f> V i), abbiamo trovato un esempio di trasformazione termodinamica per cui valeQ=L>0. La (c) e quindi la risposta corretta. 3.La variazione di entropia di un sistema lungo una trasformazione qualsiasi[1 punto] (a)e pari all'integrale di Clausius di una adiabatica reversibile che approssima la tra-sformazione. (b)e pari all'integrale di Clausius per la trasformazione. (c)dipende dal tipo di trasformazione. (d)puo essere maggiore dell'integrale di Clausius associato. ˆLa variazione di entropia di un sistema termodinamico che compie una trasformazione qualsiasi da uno statoia uno statofe, per denizione, pari all'integrale di Clausius valutato su una trasformazione reversibile che congiungeiadf.
S= rev f iQT ˆSfruttando il Teorema di Clausius, si dimostra nella teoria che questo integrale non dipende dalla trasformazione reversibile scelta. In altri termini,Se funzione di stato e
Sdipende solo daiedf. Quindi,
Snon dipende nemmeno dalla trasformazione (generica) che ha portato il sistema di interesse dallo statoiedf. La risposta (c) e falsa. ˆLa risposta (a) non e corretta. Anzitutto e mal denito come una adiabatica reversibile possa approssimare una qualsiasi trasformazione che adiabatica non e. Inoltre, l'integrale di Clausius su una adiabatica reversibile e sempre nullo. ˆSi nota che la denizione di
Sprevede che il calcolo sia eettuato su una trasformazione reversibilee non sulla specica trasformazione: la (b) e falsa. D'altra parte, si dimostra nella teoria che l'integrale di Clausius calcolato su una trasformazione reversibile che con- giungeiadfe sempre maggiore o uguale all'integrale di Clausius valutato su una qualsiasi altra trasformazione congiungente gli stessi stati. La (d) e l'unica risposta corretta. 4.Una persona di massam= 70 kg sale su una bilancia all'interno di un ascensore che parte verso l'alto. Il viaggio dura 10 s e la persona vede che la bilancia segna 77 kg per i primi 3 s e poi 70 kg per i restanti 7 s. A che altezza e salito l'ascensore?[1 punto] 2 ˆ La bilancia misura la forza risultante che preme contro di essa dall'alto verso il basso, mo- strandone il valore in kilogrammi-peso (kgp). Puo essere conveniente discutere il problema nel sistema di riferimento non inerziale dell'ascensore in movimento. ˆLa forza risultante agente sulla bilancia e pari a: Fris= P+F a doveP=mge la forza peso della persona eF a= mAe la forza apparente agente sulla persona quando l'ascensore accelera con accelerazioneA. Abbiamo qui considerato solo la parte scalare della proiezione di~ Frissu un asse verticale diretto verso il basso; l'accelerazioneAe invece positiva quando e rivolta verso l'alto. ˆDal momento che, nei primi 3 s del moto, la forza misurata dalla bilancia (77 kg p) e maggiore della forza pesoP= 70 kg p, l'ascensore avra un'accelerazione non nulla: A=F ris Pm =77 kg p 70 kg p70 kg =7 kg p70 kg = 7
9:81 N70 kg = 0 :98 m/s2 Il moto dell'ascensore, nel primo tratto, e uniformemente accelerato. ˆNel secondo tratto, invece, svolgendo gli stessi calcoli otteniamo che l'accelerazione dell'a- scensore e nulla e il moto e rettilineo uniforme. ˆConsideriamo ora lo spazio percorso dall'ascensore. Dalle leggi del moto uniformemente accelerato, nel primo tratto di duratat 1= 3 s abbiamo: s1=12 At 2 1 Inoltre, consideriamo che dopo 3 s l'ascensore ha acquisito una velocita: v1= At 1 Nel secondo tratto di duratat 2= 7 s, l'ascensore prosegue di moto rettilineo uniforme secondo la legge: s2= s 1+ v 1t 2=12 At 2 1+ At 1t 2= At 1 12 t 1+ t 2 Concludiamo che l'altezza a cui e giunto l'ascensore e:s2= 0 :98
3
(1:5 + 7)'25 m 5.Nel sistema in gura i due corpi hanno massem 1= 5 kg ed m 2= 8 kg e sono collegati tramite una fune ideale. La forzaFvale 100 N e i piani sono lisci. Calcolare l'accelerazione delle due masse.[1 punto]3 ˆ Scriviamo l'equazione~ Fris= m~aper i due corpi, proiettata su assi adeguati. In particolare per il corpo di massam 1scriviamo l'equazione proiettata su un asse orizzontale, con verso positivo verso destra in gura. Per il corpo di massam 2scriviamo invece l'equazione proiettata su un asse verticale, con verso positivo verso l'alto in gura. Notiamo che, poiche i due corpi sono vincolati dalla fune, l'accelerazione di entrambi avra lo stesso modulo e, data la scelta dei versi positivi degli assi di proiezione, anche lo stesso segno; possiamo scriverla in entrambi i casi comea. (FT=m 1a Tm 2g =m 2a Abbiamo inoltre scritto conTla tensione della fune. ˆRisolvendo il sistema: ( T=Fm 1a Tm 2g =m 2a (T=Fm 1a (Fm 1a )m 2g =m 2a !Fm 2g = (m 1+ m 2) a da cui:a=F m 2gm 1+ m 2= 100 8
9:8113 m/s 2 = 1:65 m/s2 Ribadiamo che l'accelerazione e la stessa per entrambi i corpi. 6.Il lavoro compiuto durante una trasformazione isocora tra lo stato A e lo stato B:[1 punto] (a)e positivo se il gas si espande. (b)e sempre nullo.(c)dipende dalla dierenza di pressione iniziale e nale. (d)dipende dal logaritmo del rapporto tra le pressioni iniziale e nale. ˆPer denizione, una trasformazioneisocorae una trasformazione in cui il volume del sistema termodinamico rimane costante. ˆPer denizione, il lavoro di una trasformazione termodinamica e: L= f ip estdV dovep este la pressione esternaagente sul sistema termodinamico mentreV(di cuidVe il dierenziale) e il volumedel sistema. ˆConsegue dalle denizioni sopra riportate che in una trasformazione isocora, per cuiV= cost:, l'integrale
f ip estdV e sempre nullo. La risposta (b) e corretta mentre le altre sono tutte errate. 7.Se durante il moto di un punto materiale agiscono anche forze non conservative:[1 punto] (a)il teorema delle forze vive permette di calcolare una variazione di energia cineticainferiore a quella eettivamente subita dal corpo. (b)il teorema delle forze vive permette di calcolare una variazione di energia cineticamaggiore a quella eettivamente subita dal corpo. 4 (c)il teorema delle forze vive non si puo applicare. (d)il teorema delle forze vive si puo sempre applicare. ˆIl teorema delle forze vive aerma che, dettoLil lavoro della forza risultante agente su un punto materiale in moto da un punto A a un punto B, tale lavoroLe pari alla variazione della sua energia cinetica: L=
E K= E K( B)E K( A) =12 mv 2 B12 mv 2 A ˆCome si puo confermare anche analizzando la dimostrazione data nella teoria, tale teo- rema non comporta alcuna assunzione sulla natura delle forze agenti, che possono essere conservative o non conservative. Il teorema dunque vale precisamente, anche nel caso in cui agiscano forze non conservative. La risposta (d) e l'unica risposta corretta. 8.Un cilindro omogeneo rotola senza strisciare su un piano orizzontale con velocita di modulove diretta parallelamente al piano stesso. Qual e il modulo della velocita della sommita del cilindro, rispetto al suolo?[1 punto] (a)v (b)0(c)2v (d)nessuna delle altre ˆNel moto di rotolamento senza strisciamento e in un sistema di riferimento solidale con il suolo, in ogni istante i punti del corpo rigido si muovono di moto circolare nel piano verticale, attorno al centro P di istantanea rotazione. Ricordiamo che il centro di istantanea rotazione e il punto di contatto istantaneo tra il cilindro e il piano, quindi e un punto diverso in ogni istante.PCM~v CMR ˆ Nel moto circolare la velocita di un punto materiale e descritta da: ~v=~!~r Per il centro di massa, posto a distanzaRda P abbiamo dunque: vCM= !R Questa coincide con la velocitavdi traslazione del cilindro sul piano, menzionata nel testo dell'esercizio. ˆInvece, un punto posto sulla sommita del cilindro invece si trova a distanza 2Rda P, per cui:v1= !
2R= 2v CM= 2 v La risposta corretta e la (c). 5 Form 2 - Problemi con svolgimento cartaceo [tot. 24 punti] 1.Un piattello di massaMviene sparato con velocita iniziale di modulov 0e con un alzo di 45°rispetto all'orizzontale, dal punto A in gura.(a)Calcolare la quota h Braggiunta dal piattello quando passa sulla verticale del punto B, posto a distanzaddal punto A. La quotah Bsia espressa in forma letterale, in funzione solamente did,v 0e g.[3 punti] ˆIl piattello, soggetto unicamente alla forza peso, si muove di moto parabolico. Fissato un sistema di coordinate con assexorizzontale rivolto verso destra, asseyverticale rivolto verso l'alto e origine in A, il moto e descritto da:8 < :x =v 0xt y=v 0yt 12 gt 2 ˆSapendo che il piattello e sparato con un alzo di 45°, ricaviamo le componentixey della velocita iniziale: v0x= v 0
cos 45 =p2 2 v 0v 0y= v 0
sin 45 =p2 2 v 0 ˆIl piattello passa sulla verticale del punto B, ovvero raggiunge la posizionex B= d, all'istante: tB=x Bv 0x=p2 dv 0 e in quell'istante avra dunque raggiunto una quotah B= y Bdata da: hB= v 0yt B12 gt 2 B=p2 2 v 0
p2 dv 0 12 g
2d 2v 2 0= dgd 2v 2 0 (b)Calcolare la velocitav 0necessaria anche la velocita del piattello formi, sulla verti- cale del punto B, un angolo di 30°con l'orizzontale, sed= 10 m.[3 punti] ˆDate le leggi del moto parabolico, le componentixeydella velocita del piattello seguono:( vx= v 0x vy= v 0y gt ˆGiunto sulla verticale del punto B, il piattello deve possedere una velocita che formi un angolo di 30°con l'orizzontale. Cio signica che, int=t B, deve valere: vyBv xB= tan 30  =p3 3 6 ˆ Sostituendo le espressioni precedentemente ricavate: vyBv xB= v 0y gt Bv 0x=p2 2 v 0 g
p2 dv 0p 2 2 v 0= v 2 0 2gdv 2 0 da cui:v2 0 2gdv 2 0=p3 3 1p3 3 ! v2 0= 2 gd v2 0= 2 gd
33 p3 = gd
6 3 +p3
9 3 v0=pgd
q3 + p3 '21:5 m/s (c)Proprio sulla verticale del punto B, il piattello viene colpito da un proiettile di massam=M=10, sparato in direzione verticale dal punto B sottostante con velocita 10v 0. L'urto e completamente anelastico. Calcolare la componente orizzontale della velo- cita del piattello e del proiettile, nell'istante successivo all'urto, sempre assumendo d= 10 m.[2 punti] ˆDurante l'urto anelastico si conserva la quantita di moto del sistema dei due corpi (piattello e proiettile), non agendo forze esterne impulsive. Ricordiamo che, per de- nizione di urto totalmente anelastico, successivamente all'urto i due corpi procedono con la stessa velocita~ V, tipicamente incastrati l'uno nell'altro. ~ Q=cost: M ~vB+ m~v pro= ( M+m)~ V dove~v Be la velocita del piattello sulla verticale del punto B, poco prima dell'urto, e ~vproe la velocita del proiettile poco prima dell'urto. ˆLa velocita del proiettile prima dell'urto non e data. Il testo ci indica la velocita con cui esso viene lanciato dal suolo e ci indica che il lancio avviene in direzione verticale. Questo ci basta ad aermare che~v proe diretta verticalmente: ~vpro= v pro~u y Possiamo dare per assunto che la velocita di lancio sia suciente per raggiungere la quotah B, altrimenti la richiesta del problema non avrebbe signicato. ˆLa conservazione della quantita di moto puo essere scritta scomposta nelle compo- nenti orizzontale e verticale. In particolare, noi siamo interessati alla componente orizzontale della velocita~ Vdopo l'urto. Scriviamo percio: M vxB+ m
0 = (M+m)V x dato che la velocita del proiettile ha sicuramente componente orizzontale nulla. Con- cludiamo: Vx=MM +mv xB=10 m10 m+mv 0x=1011
p2 2
v 0 Vx=p2 511
pgd
q3 + p3 = 511 q6 + 2 p3
pgd '13:9 m/s 7 2.Una sfera metallica di massa m= 1 kg e appesa a una corda inestensibile di lunghezza l= 20 cm, ssata all'estremita di un asse rotante a velocita angolare!.l m d! (a)Calcolare la distanza ddella massamdall'asse rotante in funzione della velocita angolare!di rotazione.[3 punti] ˆAlla sfera metallica sono applicate solo le seguenti forze: {la forza peso~ P=m~g, diretta verticalmente verso il basso; {la forza~ Tdi tensione della fune, diretta parallelamente alla corda, orientata verso l'estremita piu alta. ˆNella condizione descritta dal testo del problema, la sfera metallica sta compiendo un moto circolare uniforme, di raggiod. La risultante delle forze applicate assume la forma di una forza centripeta.~ FC=~ T+~ P dovej~ FCj =m!2 d. Scomponendo questa uguaglianza su un asse orizzontalexe su un asse verticaleycon verso opportuno, abbiamo: (FC= T x 0 =T y P (m!2 d=T x 0 =T y mg!T y= mg ˆDettol'angolo compreso tra l'asse rotante e la corda, si ha: tan=T xT y= m! 2 dmg = ! 2 dg Inoltre, da considerazioni puramente geometriche, possiamo dedurre: tan=dp l 2 d2 Percio:!4 d2g 2= tan2 =d 2l 2 d2 l2 d2 =g 2! 4 d=rl 2 g 2! 4 8 (b)Al di sopra di quale velocita angolare di rotazione, detta ! 0, si ha una distanza dl=2?[2 punti] ˆImponendodl=2, si ricava: d2 l 24 l2 g 2! 4l 24 3l24  g 2! 4 !4 4 g23 l2 !! 0 con! 0=4 r4 3 rg l ' 7:5 rad/s. (c)Se la corda ha una tensione di rotturaT max= 720 N per quale !la corda si rompe? [3 punti] ˆTenendo conto dei risultati del punto (a) scriviamo la tensione della fune come: T=qT 2 x+ T2 y= =pm 2 !4 d2 +m2 g2 = =sm 2 !4 l2 g 2! 4 +m2 g2 = =pm 2 !4 l2 m2 g2 +m2 g2 =m!2 l ˆLa corda si rompe seTT max, quindi: m!2 lT max !rT maxml ovvero !! max con! max=rT maxml ' 60 rad/s. 9 3.Cinque moli di gas perfetto si trovano in un cilindro di diametro d= 30 cm. All'interno del cilindro il volume del gas puo essere variato mediante un pistone. Le pareti laterali del cilindro ed il pistone sono adiabatici, mentre il fondo del cilindro e in contatto termico con un serbatoio molto grande contenente una miscela di acqua e ghiaccio all'equilibrio termico. Inizialmente sul pistone agisce una pressionep 0= 105 Pa. Successivamente il gas viene compresso aggiungendo molto lentamente sul pistone una massaM= 70 Kg di sabbia. (a)Si calcoli la quantita totale di ghiacciomche si fonde durante la compressione del gas (il calore latente di fusione del ghiaccio e F= 335 J/g); [3 punti] ˆPoiche la compressione del gas avviene molto lentamente si puo assumere che il gas sia sempre in equilibrio con il serbatoio di acqua e ghiaccio alla temperaturaT= 273.15 K. La compressione risulta essere una isoterma quasistatica. Se assumiamo trascurabili le eventuali forze dissipative in gioco (es. attriti del pistone con il cilindro), la trasfor- mazione e anche reversibile e il lavoroLcompiuto sul gas si converte integralmente in caloreQceduto al serbatoio, in quanto l'energia interna non varia. ˆPer un'isoterma reversibile possiamo scrivere: L= f ip dV = Vf VinRTV dV =nRTln VfV i =nRTln pip f : dovep ie p fsono la pressione iniziale e nale del sistema. ˆLa pressione del gas e pari alla pressione insistente sul pistone. Inizialmente si ha pi= p 0. Alla ne della trasformazione invece si aggiunge la pressione dovuta alla forza peso della sabbia, distribuita sulla sua supercie. Poiche la supercie del pistone e S= d2
2 , abbiamo: pf= p 0+PS = p 0+ 4M gd 2 ˆIn generale, lo scioglimento di una massamdi ghiaccio richiede una quantita di calore: QF= m F ˆIl serbatoio assorbe una quantita di calore pari aQ=L, da cui possiamo scrivere: m=L F= nRT Fln p0p 0+ 4M gd 2! = 3:14 g (b)Si calcoli la variazione di entropia
Ssubita dal gas.[3 punti] ˆLa variazione di entropia in una trasformazione isoterma reversibile puo essere calco- lata osservando che: (Q) rev= dU+dL=nRTV dV in quantodU= 0. Allora:
S= f i( Q) revT = Vf VinRV dV =nRln VfV i =nRln pip f =3:85 J/K ˆIn alternativa, si poteva osservare che per una trasformazione reversibile la variazione di entropia dell'universo e nulla. Quindi, la variazione di entropia del gas e oppo- sta a quella del serbatoio. Poiche nel serbatoio avviene un cambiamento di fase (a temperatura costante), si ha:
S=
S serb= QT = m FT e sostituendo i valori numerici si giunge ad analogo risultato. 10 (c)Si deniscano i concetti di trasformazione termodinamica reversibile e irreversibile, specicando a quale categoria appartiene la trasformazione in esame.[2 punti] ˆUna trasformazioneirreversibilee una trasformazione da uno statoia uno statof tale per cui non e possibile riportare (tramite un'altra trasformazione) il sistema ini e anche l'ambiente nel suo stato iniziale. In pratica, rimane sempre una traccia della trasformazione nell'ambiente. ˆUna trasformazionereversibilee una trasformazione daiaftale per cui invece e possibile riportare (tramite un'altra trasformazione) sia il sistema sia l'ambiente nello stato originario. ˆAnche una trasformazione sia reversibile devono sussistere due condizioni: {La trasformazione deve essere quasistatica. {Non devono agire forze dissipative. Tutte le trasformazioni reali hanno sempre un certo grado di irreversibilita, se non altro perche gli attriti (forze dissipative) non possono mai essere eliminati del tutto. Il concetto di trasformazione reversibile e un concetto limite che puo solo essere avvi- cinato da trasformazioni reali, con tanto migliore approssimazione quanto piu queste sono graduali (quasistatiche) e si svolgono in condizioni di attrito trascurabile. ˆDa quanto discusso poco sopra e gia anche nel punto (a) dell'esercizio, la trasforma- zione in esame puo essere consideratareversibile. 11