Computer Engineering - Fisica

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione _______________________________________________ Si ricorda di: - Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA. FIRMARE ogni foglio utilizzato . - MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente ogni risultato. FISICA II Appello del 6 settembre 2019 Proff. Bussetti, Crespi, D'Andrea, Della Valle , Lucchini, Magni, Nisoli, Petti, Pinotti, Puppin 1. Si consideri un ascensore che si muove con accelerazione a = g/3 verso l'alto. All'interno dell'ascensore è posizionata una macchina di Atwood co- stituita da una massa m1 ed una massa m2 = m1/3, collegate fra loro tramite fune ideale ed appese all’ascensore tramite una carrucola di massa trascu- rabile. Si determini l'a ccelerazione di m1 e m2 rispetto: a) un osservatore solidale con l'ascensore; b) un osservatore inerziale al suolo. 2. Un corpo viene lanciato da una quota h (misurata dalla superficie terrestre) con una velocità tale da fargli compiere un'orbi ta circolare intorno alla Terra, di cui si suppone nota la massa M T e il raggio RT. Trascurando ogni forma di attrito, si determinino: a) la velocità iniziale v0 del corpo; b) il periodo T0 della sua orbita. 3. a) Si enunci e si dimostri, a partire dai principi di Newton, il teorema dell’energia cinetica per un singolo punto materiale. b) Si estenda il suddetto teorema al caso di un sistema di punti materiali. 4. Una mole di gas ideale monoatomico compie, partendo dalla temperatura T 1, un ciclo termodinamico composto dalle se- guenti trasformazioni: - una trasformazione isocora reversibile 1 2 che raddop- pia la pressione iniziale; - una espansione isoterma reversibile 2 3 che riporta il gas alla pressione iniziale p1; - una trasformazione irreversibile 3 1 che riporta il gas nello stato iniziale mettendolo a contatto con un serba- toio di calore alla temperatura T 1. Il rendimento complessivo del ciclo è pari a η = 0.1. Esprimendo i risultati in funzione della sola temperatura T1, c alcolare: a) la quantità di calore scambiata col serbatoio T1 durante la trasformazione irreversibile 3  1, specificandone il segno; b) la variazione di entropia dell’universo. ������⃗ m2 m1 Fisica - Appello del 06/09/19 - Traccia di soluzione Problema 1 a)Descriviamo il sistema nel sistema di riferimento non inerziale solidale con l'ascensore. Fis- siamo un assez0 verticale, diretto verso l'alto. Su ogni corpo di massamagisce una forza apparente pari a:~ Ft= ma t~u0 z= mg3 ~u 0 z Su ciascuna delle due masse costituenti la macchina di Atwood agisce, oltre alla forza apparente gia detta, la forza peso (diretta verso il basso) e la forza di tensione della fune (diretta verso l'alto). Scriviamo la legge di Newton (includendo la forza apparente, proiettata sull'assez0 , per la massam 1: m1a0 1= m 1g m 1g3 + T=43 m 1g +T e analogamente per la massam 2: m2a0 2= m 2g m 2g3 + T=43 m 2g +T Sottraendo membro le due equazioni otteniamo: m1a0 1 m 2a0 2= 43 ( m 1 m 2) g Ora, le due masse sono collegate da una fune inestensibile, percio: a0 1= a0 2 L'equazione del passaggio precedente si riscrive come: (m 1+ m 2) a0 2=43 ( m 1 m 2) g Considerando chem 2= m 1= 3 otteniamo: 43 m 1a0 2=43
23 m 1g a0 2=23 g Concludiamo dunque: 8 > < > :~a 0 1= 23 g~u 0 z ~a0 2= +23 g~u 0 zb) L'equazione di trasformazione delle accelerazioni, per due sistemi che traslano senza ruotare, e semplicemente:~a=~a0 +~a t dove nel nostro caso~a t=g3 ~u z. Nel sistema di riferimento inerziale possiamo denire un asse z parallelo az0 per cui~u0 z ~u z. Si conclude allora semplicemente: 8 > > < > > :~a 1= 23 + 13  g~uz= 13 g~u z ~a2= +23 + 13  g~uz= g~u z2 Problema 2 a)In un'orbita circolare il satellite compie un moto circolare uniforme (dovendo conservarsi il momen- to angolare, se non varia il raggio si mantiene costante la velocita scalare). La forza di attrazione gravitazionale deve allora assumere la forma di unaforza centripeta. FG= mM T( R T+ h)2= mv 2 0R T+ h= F C da cui e immediato ricavare:v2 0= M TR T+ h v0=r M TR T+ hb) In questo moto circolare uniforme: v0= !r=2 T 0( R T+ h) T0= 2 R T+ hv 0 T0= 2 ( R T+ h)3 =2( M T)1 =2Problema 4 a)Nella trasformazione isocorapT = cost:: p1T 1= 2 p 1T 2) T 2= 2 T 1 Il calore scambiato dal gas e: Q12= nc V
T=nc V( T 2 T 1) = nc VT 1=32 nRT 1 dove abbiamo anche sostituitoc V=32 R (gas ideale monoatomico). Poiche la trasformazione isoterma e reversibile, vale evidentemente la relazionep 2V 2= p 3V 3 da cui ricaviamoV 3= ( p 2=p 3) V 2= 2 V 2= 2 V 1. In tale trasformazione, a temperatura T 2, il calore scambiato dal gas risulta quindi: Q23= L 23= nRT 2lnV 3V 2= nR(2T 1) ln2 V 1V 1= nRT 1
2 ln 2 Dalle espressioni ricavate sopra e evidente cheQ 12> 0 eQ 23> 0, cioe sono calori assorbiti. Valutiamo ora il segno del calore scambiato durante la trasformazione 3!1. Se per assurdo fosse positivo, ovvero assorbito, allora sarebbe un ciclo in cui il gas non cede calore jQ cedj = 0. Ma allora= 1 jQ cedj =jQ assj = 1 che oltre a essere impossibile (nessun ciclo puo avere rendimento unitario, per il Secondo Principio della Termodinamica) e in contrasto con il dato= 0:1 = 1=10. Si puo dunque aermare con certezza: Q31< 0 e scrivere il rendimento come: =LQ ass= Q totQ ass= Q 12+ Q 23+ Q 31Q 12+ Q 23 3  Dall'espressione del rendimento: (1)(Q 12+ Q 23) = Q 31 Q31= (1)
 32 nRT 1+ 2 nRT 1ln 2 =910  32 + 2 ln 2 nRT1 Poichen= 1 mol eR= 8.31 J mol 1 K 1 : Q31= nRT 1
 2720 + 95 ln 2 =8:31JK
T 1
 2720 + 95 ln 2b) Per ciascuna delle due trasformazioni reversibili
S U= 0. Ne consegue che la variazione di entropia dell'universo su tutto il ciclo coincide con la variazione di entropia dell'universo sulla trasformazione 3!1.
S U=
S Uj 3!1=
S gas;31+
S ambiente;31 Per calcolare la variazione di entropia del gas nella trasformazione irreversibile valutiamo l'integrale di Clausius su una trasformazione reversibile che congiunga gli stessi stati iniziale e nale. Possiamo considerare una isobara alla pressionep 1.
S gas;31= QT = T1 T2nc PdTT = 52 nR lnT 1T 2= 52 nR ln 2 dove abbiamo ricordatoc P=52 R (per un gas monoatomico ideale) eT 2= 2 T 1come dal punto a). L'ambiente coincide con il termostato a temperaturaT 1. Poiche la sua temperatura rimane costante possiamo calcolare la sua variazione di entropia dall'integrale di Clausius su una isoterma che scambi la stessa quantita di calore. Nella trasformazione 3!1 il termostato assorbe l'esatta quantita di calore che il gas gli cede, cioeQ 31. Ne consegue:
S ambiente=
S termostato= Q 31T 1= nR
 2720 + 95 ln 2 Concludendo:
S U= 52 nR ln 2 +nR
 2720 + 95 ln 2
S U= nR 2720 710 ln 2 = 8:31JK
 2720 710 ln 24