Computer Engineering - Fisica

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Politecnico di Milano – Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione ------------------------------------------------------------------------------------------ Si ricorda di: - Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA - FIRMARE l’elaborato; - MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente le formule utilizzate. 5/9/2018 ore 8:30 FISICA (secondo appello) Proff. Bussetti, Crespi, D'Andrea, Della Valle, Lucchini, Magni, Nisoli, Petti, Pinotti 1. In un intervallo di tempo t un punto materiale di massa m, inizialmente fermo, percorre con accelerazione tangenziale costante una semicirconferenza di raggio R. Si calcoli: a) l'accelerazione tangenziale del moto, b) la velocità raggiunta alla fine della semicirconferenza, c) il modulo dell'accelerazione alla fine della semicirconferenza, d) il lavoro della forza risultante agente tra l'inizio e la fine della semicirconferenza. 2. Un anello di massa m è infilato su un’asta rigida lungo la quale può scorrere senza attrito. L’asta è inclinata di un angolo  fisso rispetto alla verticale e ruota con velocità angolare  costante. a) Si elenchino tutte le forze agenti sull'anello osservate in un sistema di riferimento solidale con l'asta e se ne disegni un diagramma. b) Si determini l’energia potenziale della forza risultante agente sull’anello in tale sistema di riferimento, in funzione della coordinata r indicata in figura. c) Si individuino le eventuali posizioni di equilibrio in funzione di r. 3. a) Si definisca il calore molare, chiarendo esplicitamente il significato dei simboli utilizzati. b) Si enunci e si dimostri la relazione di Mayer per i gas ideali. 4. a) Si definisca il rendimento di una macchina termica. b) Una macchina termodinamica compie un ciclo reversibile scambiando le quantità di calore Q 1, Q 2 e Q 3 con tre sorgenti a temperature T 1 = 800 K, T 2 = 400 K e T 3 = 300 K, rispettivamente. Sapendo che Q 1 = 2Q 2, si calcoli il rendimento della macchina. Fisica - Appello del 5/9/18 - Traccia sintetica di soluzione Quesito 1 a)Poiche il moto sulla semicirconferenza e uniformemente accelerato: s(t) =s(0) +v 0t +12 a Tt2 Ma il punto materiale inizialmente e fermo ins(0) = 0, percio dopo un tempo
t: s(
t) =12 a T(
t)2 Imponendo che abbia percorso l'intera semicirconferenza nel tempo
tsi ottiene: s(
t) =R)12 a T(
t)2 =R e quindi il modulo dell'accelerazione tangenziale e:a T=2 R(
t)2b) La velocita alla ne della semicirconferenza (ricordando chev 0= 0) e: v(
t) =a T
tv (
t) =2 R
tc) L'accelerazione del punto materiale e data dalla somma della sua componente tangenziale e della sua componente normale (centripeta): ~a=~a T+ ~a N L'accelerazione normale vale in modulo: aN=v 2R = 4 2 R(
t)2 percio:a=j~aj=qa 2 T+ a2 N=1(
t)2p4 2 R2 + 164 R2a =2 R(
t)2p1 + 4 2d) Per il Teorema dell'Energia Cinetica, il lavoro svolto dalla forza risultante e pari alla dierenza di energia cinetica tra l'istante nale e quello iniziale: L=
E K Inizialmente il punto materiale e fermo, quindi:
E K E K;f inale=12 m (v(
t))2L =2 2 R2 m(
t)21 Quesito 2 a)In un sistema di riferimento solidale con l'asta sono presenti le seguenti forze applicate all'anello: Forza peso~ P, di moduloP=mg, diretta verticalmente e rivolta verso il basso (~ Pk ~!) Forza centrifuga~ FC, di modulo F C= m!2 essendola distanza dell'anello dall'asse di rotazione (lunghezza di un segmento orizzontale che congiunge l'anello all'asse), diretta orizzontalmente verso l'esterno. Forza di Coriolis~ FC or, diretta ortogonalmente al piano su cui giacciono ~re~!, ovvero diretta ortogonalmente al piano del foglio. Il verso dipende dal segno della velocita di spostamento dell'anello sull'asta. Forza di reazione vincolare dell'asta~ Rn, diretta ortogonalmente all'asta. Poiche l'u- nico moto ammesso dell'anello e quello parallelo all'asta, la reazione vincolare bilancia esattamente le componenti di~ Pe~ FCortogonali all'asta stessa; bilancia inoltre la forza di Coriolis. b)Per quanto discusso al punto a), la forza risultante sull'anello sara data dalla somma delle componenti di~ Pe~ FCparallele all'asta. ~ Fris= mgcos~u r+ m!2 sin~u r Poichee la distanza dell'anello dall'asse di rotazione, si puo scrivere come=rsin, da cui:~ Fris= mgcos~u r+ m!2 rsin2 ~ur Osserviamo che la forza risultante dipende solo dalla coordinata radialered e dunque conservativa. In generale, per una forza~ Fconservativa, si ha~ F=~ rU, dove U e l'energia potenziale associata. In questo caso abbiamo una sola direzione rilevante (parallela a~u r) e si ha: Fris
~u r= ddr U (r)
~u r e quindi in forma scalare:Fris= ddr U (r) Consegue che: U(r) = r 0F risdr +U(0) dove tuttavia possiamo ssare arbitrariamenteU(0) = 0 e quindi: U(r) = r 0F risdr = r 0( mgcos+m!2 rsin2 )drU (r) =mgrcos12 m! 2 r2 sin2 c) I punti di equilibrio si trovano perdUdr = 0 o equivalentemente F ris= 0. mgcos+m!2 rsin2 = 0r E Q=g cos! 2 sin2 si ha dunque un unico punto di equilibrio. NOTA: Un'analisi piu approfondita mostrerebbe che in quel puntod 2 Udr 2 < 0 e quindi si tratta di un punto di equilibrioinstabile. 2 Quesito 3 Si veda la teoria. Quesito 4 a)Il rendimentodi una macchina termica (macchina termodinamica ciclica che produce lavoro netto positivo) e denito come il rapporto tra il lavoroLsvolto in un ciclo e il calore netto assorbito Qass> 0 dalla macchina durante detto ciclo. =LQ ass b)Per questo ciclo reversibile il Teorema di Clausius impone: Q1T 1+ Q 2T 2+ Q 3T 3= 0 Poiche sappiamo cheQ 1= 2 Q 2, possiamo scrivere: 2Q 2T 1+ Q 2T 2+ Q 3T 3= 0 da cui si ricava:Q3= T 3T 1T 2( T 1+ 2 T 2) Q 2 e sostituendo i valori numerici delle temperatureT 1, T 2, T 3: Q3= 32 Q 2 Il lavoro svolto dalla macchina termica e pari al calore netto scambiato nel ciclo (per il Primo Principio della Termodinamica): L=Q 1+ Q 2+ Q 3= 2 Q 2+ Q 232 Q 2=32 Q 2 Imponendo che il lavoro svolto sia positivo, otteniamo i seguenti segni per le quantita di calore:Q1> 0Q 2> 0Q 3< 0 Il calore netto assorbito nel ciclo e dunque: Qass= Q 1+ Q 2= 2 Q 2+ Q 2= 3 Q 2 Possiamo ora calcolare il rendimento della macchina termica: =LQ ass=32 Q 23 Q 2 =12 3