Computer Engineering - Fisica

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Politecnico di Milano – Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione - Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA - FIRMARE l’elaborato - MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente le formule utilizzate 8/2/2019 ore 11:30 FISICA (terzo appello) Proff. Proff. Bussetti, Crespi, D'Andrea, Della Valle, Lucchini, Magni, Nisoli, Petti, Pinotti 1) Un blocchetto di legno di massa M è appoggiato su un tavolo orizzontale scabro con coefficiente d’attrito dinamico μ d ed è vincolato ad un punto fisso, O, del tavolo tramite un’asta di lunghezza b, priva di massa. Il blocchetto, inizialmente fermo, viene colpito da un proiettile di massa m, in moto con velocità v 0 parallela al piano e ortogonale alla direzione iniziale dell’asta. Dopo l’impatto il proiettile rimane conficcato nel blocchetto. Considerando gli oggetti come dei punti materiali, si calcoli: a) la velocità del blocchetto immediatamente dopo l’urto; b) quanti giri compie il blocchetto di legno prima di fermarsi. 2) Un satellite artificiale si muove attorno alla Terra lungo un’orbita ellittica con distanza del perigeo r P (minima distanza dal centro della Terra) e dell’apogeo r A (massima distanza). Si ricavino le espressioni della velocità al perigeo, v P, e all’apogeo, v A. Si esprimano i risultati in funzione di r A, r P, della massa della Terra M e della costante di gravitazione uni- versale G. 3) Una ruota omogenea di raggio R e di massa m è appoggiata su un piano orizzontale scabro con coefficiente d’attrito statico μ s. Il centro C della ruota e collegato tramite una molla di costante elastica k (lunghezza a riposo non nulla) ad un punto fisso. La molla rimane sempre in direzione orizzontale. Si calcoli: a) la frequenza d’oscillazione, assumendo che la ruota non strisci; b) la massima ampiezza delle oscillazioni (massima distanza del centro della ruota dalla posizione d’equilibrio) che possono avvenire senza strisciamento. [Il momento d’inerzia del disco rispetto all’asse passante per il centro è 2 2 1 mR I C ] 4) Si ricavi l’equazione delle trasformazioni adiabatiche reversibili di un gas ideale nella forma p = p(V). Nei vari passaggi si spieghino chiaramente le formule applicate e il significato di tutti simboli utilizzati. v0 M m b O m k R C Fisica - Appello dell'08/02/19 - Traccia di soluzione Quesito 1 a)Durante l'urto non ci sono momenti di forze esterne impulsive. Si conserva il momento angolare totale rispetto al polo O. L'urto e completamente anelastico (i due corpi dopo l'urto hanno la stessa velocitaV). Imponendo la conservazione del momento angolare (proiettato su un assezentrante nel foglio) scriviamo: bmv0= b(M+m)V La velocita del blocchetto dopo l'urto e percio:V =mM +mv 0b) Il blocchetto appoggia su un tavolo. Percio, durante il suo moto successivo all'urto, in cui striscia sul tavolo, agisce una forza d'attrito radente: Fa=  dj~ Rnj essendo~ Rnla reazione normale del piano d'appoggio. Poiche non c'e moto nella direzione ortogonale al piano d'appoggio la reazione normale bilancia la forza peso. Poiche dopo l'urto il proiettile e conccato nel blocchetto di legno, va considerata la forza peso complessiva: Rn= P tot= ( M+m)g da cui:Fa=  d( M+m)g Se il blocchetto compieNgiri (di raggiob) prima di fermarsi, in questo moto la forza d'attrito compie un lavoro: La= N giri~ Fa
d~r=F a
(2b)N= 2b dgN (M+m) ricordando che~ Fasi oppone sempre al moto ed e quindi antiparallela a d~rin ogni punto. La forza d'attrito e l'unica forza presente che compie lavoro, si puo quindi applicare il teorema delle forze vive:
E K= L tot= L a 012 ( M+m)V2 =F a(2 b)N 12 ( M+m)m 2( M+m)2v2 0= 2 b dgN (M+m)N =m 2 v2 04 (M+m)2 bdg1 Quesito 2 Nel moto di rivoluzione del satellite (considerato di massam) si conserva l'energia meccanica totale: Etot=12 mv 2 GmMr Uguagliamo l'energia meccanica al perigeo all'energia meccanica all'apogeo: 12 mv 2 P GmMr P= 12 mv 2 A GmMr A da cui, semplicandom, moltiplicando per 2 ambo i membri e riordinando i termini: v2 P v2 A= 2 GMr A r Pr Ar P Nel moto di rivoluzione si conserva anche il momento angolare~ L=~rm~v. All'apogeo e al perigeo~r?~vquindi possiamo scrivere semplicemente: rPmv P= r Amv A) v P= v Ar Ar P Sostituendo la relazione cos trovata trav Pe v Anell'espressione ricavata dalla conservazione dell'energia, otteniamo: v2 A r2 Ar 2 P 1 = 2GMr A r Pr Ar P da cui si ricava: v2 A= 2 GMr 2 Pr 2 A r2 Pr A r Pr Ar P= 2 GMr P( r A r P)( r A+ r P)r A r Pr A= 2 GMr A+ r Pr Pr Av A=r2 GMr A+ r Pr Pr A Riutilizzando la relazionev P= v Ar Ar Pe allora immediato ottenere:v P=r2 GMr A+ r Pr Ar PQuesito 3 a)Fissiamo un sistema di assi cartesiani, avente l'assexorizzontale, con origine nella posizione di equilibrio della molla e orientato verso destra, e l'asseyverticale, orientato verso l'alto. L'asseze quindi uscente dal piano del foglio. In particolare, il sistema di riferimento e ssato in modo che le coordinate del centro C della ruota siano (durante il moto) (x;0). Studiamo le forze applicate alla ruota durante il moto, considerando che rotoli senza strisciare (nel punto di contatto vi puo essere attrito statico e non dinamico). {forza peso~ P=mg~u yapplicata al baricentro C. {forza di reazione del piano~ Rn= R n~u yapplicata al punto di appoggio della ruota sul piano 2 {forza di attrito statico ~ Fa= jF aj ~u x, applicata al punto di appoggio della ruota sul piano. Il suo verso e sempre opposto al moto istantaneo della ruota. {forza elastica della molla~ Fel= kx ~u xapplicata a C Denominiamo P il punto istantaneo di appoggio della ruota sul piano. Scriviamo la seconda equazione cardinale della meccanica per la ruota, usando come polo il centro di istantanea rotazione, ovvero P. L'unica forza che ha momento non nullo rispetto a quel polo e la forza elastica:ddt ~ LP= ~( est) P IP~u z=! P C~ Fel= F elR ~u z= kxR~u z essendol'accelerazione angolare della ruota eI Pil suo momento di inerzia rispetto a P. L'equazione qui sopra puo essere scritta anche scalarmente come: IP =kxR Ora, per il teorema di Huygens-Steiner: IP= I C+ M R2 =32 M R 2 Inoltre, poiche la ruota rotola senza strisciare, l'accelerazione angolare della ruota e legata (in modulo) all'accelerazione del suo centro dalla relazione: ja Cj =Rjj Oraja Cj =  d 2 xdt 2  . Possiamo valutare il segno ricordando che nel sistema di riferimento scelto un'accelerazione angolarepositiva (dal momento che~=~u z) corrisponde a una accele- razione antioraria della ruota. In tale condizione il centro della ruota ha una accelerazione lineare diretta verso sinistra, ovvero negativa rispetto all'assexssato. Quindi: =1R d 2 xdt 2 Sostituendo nell'equazione cardinale: 32 M R 2
1R d 2 xdt 2= kxR 32 M d 2 xdt 2+ kx= 0 Questa e l'equazione del moto per il centro C (ricordiamo che C(x;0)) ed e l'equazione di un moto armonico con pulsazione: =r2 k3 M La frequenza di oscillazione e: = 2 = 12 r2 k3 Mb) Da quanto ricavato al punto a) la legge oraria del moto di C puo essere scritta come: x(t) =Acos( t+) doveAe la massima ampiezza di oscillazione. 3  L'accelerazione del centro C e percio: a(t) =d 2 xdt 2= A 2 cos( t+) a cui corrisponde una accelerazione angolare della ruota: (t) = +AR 2 cos( t+) L'accelerazione angolare massima (in modulo) si raggiunge quando t+=m(conm intero) e vale: jj max=AR 2 Scriviamo ora la seconda equazione cardinale della meccanica per la ruota, ma rispetto al centro C. L'unica forza che da momento non nullo, in questo caso, e la forza di attrito statico.IC =F aR La forza di attrito statico ammissibile e limitata dalla relazione: jF aj   Sj R nj Non essendoci moto in verticale la reazione normale bilancia esattamente la forza peso, per cui: jR nj =M g jF aj   SM g Nel punto del moto con accelerazione maggiore deve quindi essere: ICj j max= F aR  SM gR 12 M R 2 AR 2  SM gR quindi:A2 Sg 2 da cui sostituendo l'espressione di ricavata al punto a):A max= 3 SM gk Quesito 4 Si veda il testo di teoria. Qui di seguito si ripercorrono i punti principali della dimostrazione: Si scrive il Primo Principio della Termodinamica in forma dierenziale, ricordando che per un'adiabaticaQ= 0. dU=QL ncVdT =pdV Dall'equazione di stato dei gas perfettip=nRTV . Percio la precedente diventa: cVdTT = RdVV 4  Integrando tra uno stato iniziale e uno stato nale, rispettivamente a temperatureT 0, T 1e volumiV 0, V 1. cV T1 T0dTT = R V1 V0dVV cVlnT 1T 0= RlnV 1V 0 lnT 1T 0= Rc Vln V 1V 0 T1T 0= V1V 0 Rc V Di nuovo impieghiamo l'equazione di stato dei gas perfettiT=pVnR per scrivere: T1T 0= p 1V 1p 0V 0 da cui:p1V 1p 0V 0= V1V 0 Rc V Portando a sinistra tutti i termini con pedice 1 e a destra i termini con pedice 0: p1V1+ Rc V 1= p 0V1+ Rc V 0 Ora: 1 +Rc V= c V+ Rc V= c Pc V= dove abbiamo utilizzato la relazione di Mayer (c P= c V+ R) e denito =c Pc V. Si giunge quindi all'equazione di Poisson nella forma usuale: p0V 0= p 1V 1= cost: Assumendo uno stato di riferimento a pressionep 0e volume V 0, possiamo scrivere la pressione pdi uno stato generico a volumeV, durante la trasformazione adiabatica, come:p =p(V) =p 0 V0V  5