Computer Engineering - Fisica

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Politecnico di Milano – Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione - Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA - FIRMARE l’elaborato - MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente le formule utilizzate 21/7/2017 ora: 13:30 FISICA (primo appello) Prof. Magni 1) Un punto materiale può scorrere lungo un binario inclinato di un an- golo β rispetto alla verticale. Il binario ruota con velocità angolare co- stante ω 0 attorno alla verticale, sicché descrive un cono di semi-ampiezza β con vertice in O. Si determini: a) la distanza, r, da O alla quale il punto materiale rimane in equilibrio, trascurando qualsiasi attrito; b) la condizione a cui deve soddisfare il coefficiente d’attrito statico, μ S, tra il punto e il binario, supposto ora scabro, affinché tale punto ri- manga alla distanza r determinata nel quesito a) quando la velocità di rotazione venga raddoppiata. 2) a) Si enunci il teorema Koenig per l’energia cinetica di un sistema di punti materiali, definendo con precisione il significato di tutti i simboli utilizzati. b) Si dimostri la validità del teorema, motivando i passaggi necessari alla dimostrazione. c) Sulla base di tale enunciato si discuta l’urto completamente anelastico tra due punti materiali. 3) Una carrucola è costituita da due dischi di raggi R 1 ed R 2 = 2R 1 fissati ad uno stesso asse orizzontale. Sui due dischi sono avvolte due funi ideali le cui estremità sono fissate a due corpi di massa m 1 e m 2 = 2m 1. Si calcoli l’accelerazione angolare della carrucola e la tensione delle due funi. Si consideri noto il momento d’inerzia I della carrucola rispetto all’asse di rotazione. 4) Si consideri un cilindro munito di un pistone scorrevole, entrambi adiabatici. Nel cilindro è contenuto un gas ideale monoatomico (n moli) e una massa m di ghiaccio in equilibrio con acqua (temperatura T0). Il gas viene compresso in maniera reversibile finché il 20% del ghiaccio presente fonde. Trascurando la variazione di volume dell’acqua e del ghiaccio, la presenza del vapore nel cilindro e, infine, la capacità termica del recipiente, si calcoli: a) il lavoro termodinamico del sistema nella trasformazione considerata; b) il rapporto tra la pressione finale e quella iniziale del gas; c) la variazione di entropia del sistema; d) la variazione di entropia del gas. [Indicare con λ il calore latente di fusione del ghiaccio] β ω r O m2 R1 R2 m1 Politecnico di Milano – Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione 21/7/2017 FISICA (primo appello) Prof. Magni SOLUZIONI 1) a) Nel sistema di riferimento rotante con l’asta l’equilibrio è determinato dall’annullarsi della risultante di peso, reazione vincolare e forza di trascina- mento, perciò occorre: β ω β cos sin 2 0R m mg N+ = , β ω β sin cos 2 0R m mg= , dove β sinr R= è la distanza del punto materiale dall’asse di rotazione. ⇒ β ω β β 2 20sin cos sin g R r = = . b) In presenza d’attrito statico, se la velocità dell’asta è ω = 2ω 0 e la posizione è ancora quella calcolata in a) occorre: ββ µ β ωβ ω β µ β ω β µβ β ω ω β β ω sincos 3 1 sin cos sin ) cos sin (cos 3 cos ) 1 ( cos sin 2 2 02 2 2 max2 0 2 2 + =        + = + = ≤= − = − = mg mg R m mg Fmg mg mg R m F S S s S S ⇒ ) cos3 1( sin cos3 2β β β µ + ≥S . 2) Teoria, v. testi. 3) Poiché le funi sono inestensibili, le velocità dei due corpi appesi sono legate alla velocità angolare della carrucola dalle relazioni (assi indicati in figura): 1 1x R  = θ , 2 2x R  = θ . La I e la II eq. cardinale della dinamica (con polo sull’asse di rotazione) danno: 2 2 1 1T R T R I+ − = θ  , 1 1 11 T g m x m + −= , 2 2 22 T g m x m − = , dove 1 1T = T , 2 2 T= T . Risolvendo le precedenti equazioni si ottiene: () 2 1 11 1 2 2 2 2 1 11 1 2 2 9 3 R m Ig R m R m R m Ig R m R m + = + +− = θ  , ( ) g m R m I R m I g m R m R m I R R R m I T 1 211 211 1 22 2 211 2 1 2 2 1 9 12 + + = + + + + = , () g m R m IR m I g m R m R m IR R R m I T1 2 1 12 1 1 2 2 2 2 2 1 12 1 1 1 2 2 93 ++ = + ++ + = . 4) a) Il sistema compie una trasformazione isoterma, essendo in equilibrio con la miscela di ghiaccio e acqua. In tale trasformazione l’energia interna del gas non cambia, perciò il lavoro delle forze esterne è pari all’energia necessaria per fondere una massa m/5 (il 20%) di ghiaccio: 5 m L L E gas λ−= −= . b) Per l’isoterma del gas si ha: f i i f V V gas gas p p nRT V V nRT dV V nRT L Q m f i ln ln 5 0 0 0 −= −= −= −= −= ∫ λ , ⇒ 0 5nRTm i f e p p λ = c) Essendo la trasformazione adiabatica e reversibile la variazione d’entropia del sistema è zero: 0 2 = + = O H gas tot S S S ∆ ∆ ∆ . β r O β β R N FS mg FTR m2 R1 R2 m1 θ T2 -T2 T1 -T1 x2 x1 Politecnico di Milano – Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione d) 0 25 Tm S S O H gas λ ∆ ∆− = − = .