Computer Engineering - Fisica

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Politecnico di Milano – Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione - Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA - FIRMARE l’elaborato - MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente le formule utilizzate 7/7/2017 ore 16:30 FISICA (preappello) Prof. Magni 1) Un corpo puntiforme è sostenuto da un filo di lunghezza b, inestensibile e di massa tra- scurabile, fissato sul bordo di un disco di raggio R che ruota con velocità angolare costante attorno all’asse verticale. Si osserva che il filo è inclinato di un angolo α rispetto alla verticale. Si determini la velocità angolare del disco. 2) Un disco omogeneo di raggio R e una cassa, entrambi della stessa massa m, sono appoggiati su un piano orizzontale scabro. La cassa è collegata al centro del disco da una fune ideale (inestensibile e di massa trascurabile) che forma un angolo α con l’orizzontale. All’asse del disco è applicato un momento M parallelo all’asse e entrante nel foglio (v. figura). a) Assumendo che il sistema sia in equilibrio si calcolino le forze d’attrito statico agenti sulla cassa e sul disco, pre- cisandone l’intensità e il verso. b) Assumendo che il sistema sia in movimento, che il disco rotoli senza strisciare e trascurando la forza d’attrito dinamico agente sulla cassa si calcoli l’accelerazione angolare del disco. [Il momento d’inerzia del disco rispetto all’asse passante per il centro è 2 21mR IC= ] 3) Due stelle di masse m 1 ed m 2 ruotano su orbite circolari intorno al loro centro di massa mantenendosi a distanza b. a) Si calcoli il periodo di rotazione delle due stelle nel sistema di riferimento del CM. b) Sempre nel riferimento del CM, si ricavi l’espressione dell’energia meccanica del sistema (assumere l’energia po- tenziale nulla all’infinito). Esprimere il risultato in funzione m 1 , m 2 , b e della costante di gravitazione universale G. 4) a) Si dia la definizione di rendimento di una generica macchina termica. b) Si spieghi che cos’è una macchina di Carnot. c) Si enunci il teorema di Carnot. d) Si dimostri che il rendimento di una qualsiasi macchina reversibile che utilizza un arbitrario numero di sorgenti di calore, non può essere superiore a quello di una macchina di Carnot che funziona utilizzando le sorgenti con le temperature estreme (la più alta e la più bassa). b α R M α Politecnico di Milano – Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione 7/7/2017 FISICA (preappello) Prof. Magni SOLUZIONI 1) Con il secondo principio di Newton si ottiene: mg T T b R m = = + α α α ω cos sin ) sin (2 ⇒ α α ω sin tan b Rg + = NB: il problema si può risolvere anche nel SR solidale col disco usando la forza di trascinamento. 2) a) Per l’equilibrio devono essere zero la risultante e il momento risultante applicati a ogni parte del sistema. Risultante per cassa, proiezione in orizzontale: α cosT F cassaS = . Risultante per disco, proiezione in orizzontale: α cosT F discoS = . Momento risultate con polo in P: α cos RT M = . ⇒ R M F F discoS cassaS = = . I simboli indicano i moduli di forze e momenti. I versi delle due forze d’attrito sono indicati nella figura. b) Il momento d’inerzia del disco rispetto all’asse passante per P è 2 23 2 mR mR I I C P = + = . La seconda eq. cardinale applicata al disco con polo in P, la prima applicata alla cassa e il vincolo di fune inestensibile danno: α θ cos RT M IP − = , α cosT xm = θ    R x=. ⇒ 2 2 52 mRM mR IM P = + = θ  . 3) Dalla definizione di CM si ricavano le distanze r 1 e r 2 delle due stelle dal CM: b m m m r b m m m r 2 1 1 2 2 1 2 1 , + = + = . a) Il secondo principio di Newton applicato a ciascuna stella dà: 22 1 2 2 2 22 1 1 2 1 ,bm m G r m bm m G r m= = ω ω . Inserendo le due espressioni di r 1 e r 2 nelle precedenti equazioni e semplificando si ottiene ) ( 2 2 1 3 m m G b T + = π , dove ω π2=T . b) Basta sommare energia cinetica, energia potenziale e poi semplificare: b m m G bm m G r m r m E 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 − = − + = ω ω . 4) Teoria, v. testi. CM r1 r2 m1 m2 M α FS cassa FS disco T -T R θ x P