Computer Engineering - Fisica

Second partial exam

Politecnico di Milano – Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione - Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA - FIRMARE l’elaborato - MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente le formule utilizzate 7/7/2017 ore 16:30 FISICA (seconda prova in itinere) Prof. Magni 1) Un blocco di massa M è appoggiato fermo su un piano orizzontale liscio ed è collegato ad una molla ideale non deformata. Una pallina di massa m in moto con velocità v 0, inclinata di un angolo α rispetto all’orizzontale, urta il blocco e rimbalza in direzione orizzontale. Dopo l’urto, il blocco compie oscillazioni con periodo T e ampiezza A. Si determini il modulo della velocità (v 1) della pallina dopo l’impatto. 2) Un disco omogeneo di raggio R e una cassa, entrambi della stessa massa m, sono appoggiati su un piano orizzontale scabro. La cassa è collegata al centro del disco da una fune ideale (inestensibile e di massa trascurabile) che forma un angolo α con l’orizzontale. All’asse del disco è applicato un momento M parallelo all’asse e entrante nel foglio (v. figura). a) Assumendo che il sistema sia in equilibrio si calcolino le forze d’attrito statico agenti sulla cassa e sul disco, pre- cisandone l’intensità e il verso. b) Assumendo che il sistema sia in movimento, che il disco rotoli senza strisciare e trascurando la forza d’attrito dinamico agente sulla cassa si calcoli l’accelerazione angolare del disco. [Il momento d’inerzia del disco rispetto all’asse passante per il centro è 2 2 1mR I C= ] 3) Le trasformazioni adiabatiche reversibili di un particolare gas (non necessariamente ideale) sono descritte dall’equa- zione costante = V p . Il gas inizialmente nello stato A, con pressione p A = 3×10 6 Pa e volume V A = 2×10 -3 m3, compie un’adiabatica reversibile che lo porta nello stato B, con volume V B = 3 V A. a) Si tracci un grafico qualitativo della trasformazioni nel piano V-p e si calcoli il lavoro del gas in tale trasforma- zione. Si consideri poi una seconda trasformazione che porta il gas nello stato B tramite un’isobara (AC) alla pressione p A seguita da un’isocora CB con volume V B. b) Si aggiunga al grafico precedente quello della trasformazione ACB e si calcoli il calore scambiato in tale trasfor- mazione. c) Si calcoli la variazione d’entropia per l’intera trasformazione ACB. 4) a) Si dia la definizione di rendimento di una generica macchina termica. b) Si spieghi che cos’è una macchina di Carnot. c) Si enunci il teorema di Carnot. d) Si dimostri che il rendimento di una qualsiasi macchina reversibile che utilizza un arbitrario numero di sorgenti di calore, non può essere superiore a quello di una macchina di Carnot che funziona utilizzando le sorgenti con le temperature estreme (la più alta e la più bassa). M α Politecnico di Milano – Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione 1 7/7/2017 FISICA (seconda prova in itinere) Prof. Magni SOLUZIONI 1) Poiché in direzione orizzontale non agiscono forze esterne impulsive, nell’impatto si conserva la componente oriz- zontale della quantità di moto del sistema: 1 0 cosmv MV mv− = α , dove V è il modulo della velocità del blocco e v 1 quello della pallina immediatamente dopo l’impatto. Con la conserva- zione dell’energia nel moto armonico e la cinematica si ottiene il legame tra periodo, pulsazione e ampiezza: A A V Tπ ω 2= = . ⇒ α π cos 20 1v A m M T v − = . 2) a) Per l’equilibrio devono essere zero la risultante e il momento risultante applicati a ogni parte del sistema. Risultante per cassa, proiezione in orizzontale: α cosT F cassaS = . Risultante per disco, proiezione in orizzontale: α cosT F discoS = . Momento risultate con polo in P: α cos RT M= . ⇒ R M F F discoS cassaS = = . I simboli indicano i moduli di forze e momenti. I versi delle due forze d’attrito sono indicati nella figura. b) Il momento d’inerzia del disco rispetto all’asse passante per P è 2 2 3 2 mR mR I I C P = + = . La seconda eq. cardinale applicata al disco con polo in P, la prima applicata alla cassa e il vincolo di fune inestensibile danno: α θ cos RT M I P − =   , α cosT xm = θ    R x=. ⇒ 2 2 52 mRM mR IM P = + = θ  . 3) a) L’equazione delle adiabatiche reversibili di tale sostanza si possono scrivere come: 2 2 2 B B A AV p V p K pV= = = . Il lavoro nell’adiabatica A-B è kJ4 1 1 1 2 = −=     − =      − = =∫ U V V Vp V V K dV V K L B A A A B A V V B A ∆ , dove ΔU = U(B) - U(A) é la variazione di energia interna tra gli stati A e B. b) Nell’isocora CB il gas non compie lavoro, quindi il calore nell’intera trasforma- zione ACB è . kJ 8 kJ 4 - kJ 12 1) ( ) ( ) ( = = +        − =+ − = − + = U V V V pU V V p A U B U L Q A B A AA B A AC ACB ∆∆ c) Gli stati A e B sono isoentropici poiché stanno sulla medesima adiabatica rever- sibile. Pertanto, 0 ) ( ) (= − =A S B S S ACB ∆ 4) Teoria, v. testi. M α FS cassa FS disco T -T R θ x P A B p C V