Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

First partial exam

Teoria dei fenomeni aleatori e della stima { 02/05/2017 Ogni esercizio viene valutato da 0 a 4 punti Verranno valutate solo le parti scritte in penna { non usare correttori Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. Riportare il proprio nome, cognome, e numero di matricola su ogni foglio consegnato 1. Quanti anagrammi distintidella parola AMICO ci sono? E della parola AMACA? Si scelga un anagramma di AMACA a caso. Supponendo che tutti gli anagrammi distinti siano equiprobabili, qual e la probabilita di scegliere una parola con tre A consecutive? Un anagramma e una parola formata dal le stesse lettere del la parola originale, ma disposte in ordine diverso. 2. SianoAeBdue eventi tali che Pr(A) = 0:5, Pr(B) = 0:4. Quanto devono valere Pr(A\B), Pr(AjB), Pr(BjA), anche gli eventi siano indipendenti? SiaCun evento tale cheC\A=;e Pr(C)>0. Gli eventiAeCsono indipendenti? Giusticare la risposta. 3. Su un canale di comunicazione possono essere trasmesse solo le sequenze di 4 bit '0000' e '1111', con lastessa probabilita. Il canale riporta correttamente al ricevitore ogni bit '0' con probabilitap 0= 0 :8, e ogni bit '1' con probabilitap 1= 0 :9, indipendentemente dagli altri bit. Sapendo di aver ricevuto la sequenza '0111', quali sono le probabilita di aver trasmesso '0000' e '1111' ? 4. SiaXuna v.a. conf X( x) = x 3 per x1;ef X( x) = 0 altrimenti. Determinare il valore di . Determinare per quali naturalin= 1;2; : : :, il momentoE[Xn ] esiste, ed eventualmente se ne calcoli il valore. 5. SiaX U[2;2], e si consideri la funzioneg(x) = 1x2 per1x1 eg(x) = 0 altrimenti. Sia Y=g(X). Determinare la funzione cumulativa di probabilitaF Y( y) = Pr(Yy) e rappresentarla gracamente. 6. Una moneta bilanciata viene lanciatanvolte. Secondo il teorema fondamentale del limite, qual e il valore minimo dinche garantisce al 95% che il numero di teste osservate non si discosta dal valore atteso per piu del 5%? 7. SiaX U[1;1] eY n= X2 n1 pern= 1;2;


. DeterminareVar[Y n]. Mostrare che la sequenza fY ng converge a 0 in probabilita usando la diseguaglianza di Chebyshev. 8. Si supponga che in questa prova in itinere abbiate risposto correttamente ad ogni esercizio (questo escluso)con probabilitap= 0:6, indipendentemente dagli altri esercizi. Qual e la distribuzione della v.a. che conta il numero di esercizi errati? (Determinarne anche i parametri). Sapendo che ogni esercizio corretto vale 4 punti, e che si assegnano o 0 o 4 punti ad ogni esercizio, qual e la probabilita di aver ottenuto almeno 24 punti su 28? Soluzioni Problema 1 Nella parola AMICO ci sono 5 lettere distinte, quindi ci sono 5! = 120 anagrammi distinti.Nella parola AMACA ci sono 3 lettere distinte, ovvero, scambiando di ordine le A non si ottiene un nuovo anagramma. Il numero di anagrammi distinti e quindi 5!=3! = 20. Tra questi, il numero di quelli che contengono 3 A consecutive e 3
2! = 6, quindi la probabilita di pescarne una a caso e 6=20 = 0:3. Problema 2 Gli eventiAeBsono indipendenti se e solo se Pr(A\B) = Pr(A) Pr(B) = 0:5
0:4 = 0:2. L'indipendenza implica che Pr(AjB) = Pr(A) e Pr(BjA) = Pr(A). Gli eventiAeCnon possono essere indipendenti, perche 0 = Pr(A\C) = Pr(AjC) Pr(C), e dunque 0 = Pr(AjC)6 = Pr(A). Problema 3 Si indichi con Tx e Rx le sequenze di bit trasmessi e ricevuti, rispettivamente. Applicando il teorema di Bayes si ha Pr(Tx 0000jRx 0111) =Pr(Rx 0111 jTx 0000) Pr(Tx 0000)Pr(Rx 0111 jTx 0000) Pr(Tx 0000) + Pr(Rx 0111jTx 1111) Pr(Tx 1111) =p 0(1 p 0)3
1=2p 0(1 p 0)3
1=2 + (1p 1) p3 1
1=2 =0 :8
0:230 :8
0:23 + 0:1
0:93 = 0:0807 Pr(Tx 1111jRx 0111) = 1Pr(Tx 0000jRx 0111) = 0:9193 Problema 4 Il valore di si ottiene imponendo che l'integrale della densita di probabilita sia 1: 1 =Z 1 1 x 3dx =   2 x2  1 1= 2 quindi = 2. Il momento di ordinene E[Xn ] =Z 1 1x n 2x 3dx =Z 1 12x 3 ndx =  2x  1 1= 2 n= 1 1n2 quindi esiste solo il momento del primo ordine, ed eE[X] = 2. Problema 5 Si haf X( x) = 1=4 per2x2 ef X( x) = 0 altrove. La funzione e Y= 1X2 1X1 0jXj 1 dunque si nota subito che 0Y1, cioeF Y( y) = 0 pery