Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima { 02/07/2019 Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti Verranno valutate solo le parti scritte in penna { non usare correttori Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. Riportare il proprio nome, cognome, numero di matricola su ogni foglio consegnato Esercizio da escludere dal punteggio nale:1Un caposquadra deve formare la propria squadra scegliendo da un gruppo di npersone: egli puo scegliere un numerokqualsiasi di persone,k= 0;1; : : : ; n. Supponendo che ogni persona sia stata estratta in maniera indipendente dalle altre e in maniera equiprobabile, qual e la probabilita che sia stata scelta una squadra dikpersone, perk= 0;1; : : : ; n?2I treni della metro arrivano alla stazione vicino casa ogni quarto d'ora a partire dalle 6:00. Entrate in stazione ogni mattina dalle 7:10 alle 7:30, e il vostro istante di arrivo e distribuito uniformemente in questo intervallo di tempo. Qual e la legge di probabilita del tempo di attesa all'arrivo del primo treno?3Sia X U[1=2;1=2] eY U[1;1], conXeYindipendenti. Calcolare la legge di probabilita di Z=X+Y.4Sia fX i; i = 1; : : : ; ngun insieme di v.a. iid conX i U [0;1]. Dire quali delle seguenti successioni di v.a. converge in probabilita pern! 1e a quale valore. Giusticare le risposte. (a)fS ng doveS n=P n i=1X i (b)fM ng doveM n=S nn =1n P n i=1X i5Si consideri la catena di Markov tempo-discreta in gura. La catena si trova nello stato 1 al tempo 1. (a)Determinare la probabilita di transizione mancanti. (b)Classicare gli stati in transienti e ricorrenti.(c)La catena e periodica? Giusticare la risposta discutendo laprobabilita di trovarsi nello stato 1 dopo un lungo tempo.264 5131 =21 =21 =21 =26Sia   U[0;1] efXjg  N(0;). Determinare: (a)lo stimatore MAP di  basato sull'osservazioneX.Suggerimento: fare attenzione al dominio di denizione di. (b)lo stimatore LMS linearedi  basato sull'osservazione X.Suggerimento: e suciente calcolare Cov[X;]per concludere che... Teoria dei fenomeni aleatori e della stima { 02/07/2019 { Compito II Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti Verranno valutate solo le parti scritte in penna { non usare correttori Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. Riportare il proprio nome, cognome, numero di matricola su ogni foglio consegnato Esercizio da escludere dal punteggio nale:1Sia fX i; i = 1; : : : ; ngun insieme di v.a. iid conX i U [0;1]. Dire quali delle seguenti successioni di v.a. converge in probabilita pern! 1e a quale valore. Giusticare le risposte. (a)fS ng doveS n=P n i=1X i (b)fM ng doveM n=S nn =1n P n i=1X i2In una certa zona del lago si sa che il numero di pesci pescati in un'ora segue una legge di Poisson con media 4. Appena arrivati in zona notate un pescatore che ha gia pescato 3 pesci. Nell'istante del vostro arrivo, qual e stato il tempo medio di pesca del pescatore?3Si consideri la catena di Markov tempo-discreta in gura. La catena si trova nello stato 1 al tempo 1. (a)Determinare la probabilita di transizione mancanti. (b)Classicare gli stati in transienti e ricorrenti. (c)La catena e periodica? Giusticare la risposta discutendo laprobabilita di trovarsi nello stato 1 dopo un lungo tempo.264 5131 =21 =21 =21 =24Partendo da un generatore di campioni indipendenti U idistribuiti come U U[0;1], descrivere un al- goritmo che genera la sequenza di stati campionati secondo la legge Markoviana illustrata nella gura dell'esercizio 3. Si inizializzi il processo partendo dallo stato '1'.5Si consideri la successione degli stati X 1; X 2; : : : ; X 10della catena di Markov illustrata nella gura dell'esercizio 3. Qual e la minima lunghezza del messaggio (in bit) necessario a descrivere univocamente la sequenza degli stati?6Sia   U[0;1] efXjg  N(0;). Determinare: (a)lo stimatore MAP di  basato sull'osservazioneX.Suggerimento: fare attenzione al dominio di denizione di. (b)lo stimatore LMS linearedi  basato sull'osservazione X.Suggerimento: e suciente calcolare Cov[X;]per concludere che... Soluzioni compito II Problema 11.La sommaS nnon converge in probabilita perche Var[S n] =n X i=1Var [X i] = nVar[X 1] =n12 ! 1 : 2.La v.a.M ne la media campionaria delle X i. Siccome le X isono iid, la successione fM ng converge in probabilita aE[X 1] = 1 =2 per la legge debole dei grandi numeri. Problema 2 SiaTl'istante di tempo del vostro arrivo misurato dall'inizio del tempo di pesca del pescatore. Siccome sappiamo che ci sono gia stati 3 pesci pescati, cioe 3 arrivi di Poisson sull'asse temporale prima del tempoT, sappiamo cheT=T 1+ T 2+ T 3+ X doveT i Exp(4) sono i tempi di interarrivo tra gli istanti di pesca, eXe il tempo che intercorre tra il terzo pesce pescato e il vostro arrivo. A cause del fenomeno della perdita di memoria dei processi di Poisson, anche il tempoXExp(4), pertanto E[T] = 4E[T 1] = 1 : Problema 31.Tutte le probabilita di transizione mancanti sono 1, poiche sono le uniche probabilita uscenti dagli stati. 2.Tutti gli stati sono ricorrenti 3.La catena e periodica, infatti ci sono 3 classi periodiche: la classeC 1= f1;4g, la classeC 2= f2;5ge la classeC 3= f3;6g. E' facile vericare che nell'istante di temponci si trova nella classeC nmod 3, dove nmod 3 e il resto della divisione dincon 3. La probabilita 1( n) di trovarsi nello 1 al tempon! 1e 1( n) = 1=2nmod 31 0 mod 361 dove il termine 1=2 e dovuto alla simmetria della catena: con probabilita rimanente 1=2 ci si trovera nell'altro stato della classeC 1, cioe lo stato 4. Problema 4 L'algoritmo deve mantenere una memoria che e lo stato della catena MarkovianaX n, e ad istanti di tempo opportuni generare il numero casuale che decide su quale stato della classeC 3saltare. 1.InizializzaX 1= 1 e n= 1. 2.Senmod 32, generaU U[0;1]. SeU