Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

Full exam

Informazione e stima { 10/02/2021 Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. Riportare il proprio nome, cognome, e codice persona su ogni foglio consegnato. Nominare il le da caricare con il proprio codice persona. Indicare l'esercizio da escludere dal punteggio nale.1Si consideri un gioco dove si lancia un dado ben bilanciato a 6 facce e successivamente si pesca una carta da un mazzo ben mescolato di 52 carte. Si vincono 100ese la carta pescata ha un valore minore al risultato del dado, altrimenti si perde la somma puntatap. Qual e il minimo valore dipche rende il gioco sostenibile per il banco nel lungo periodo? Le gure (fante, regina, e re) valgono10. Ad ogni giocata si rimescola il mazzo con tutte le carte.2Sia X=log(jUj) doveU U[1;1]. Determinare la ddp diX. Suggerimento: determinare prima la distribuzione diT=jUj.3Sia XPoisson(10). Condizionando ad un certoX=x, si sa chefYjX=xg Poisson(x). Calcolare Var[Y] tramite la legge della variazione totale.4All'ucio postale arrivano due tipi di clienti che richiedono servizi diversi. I clienti di tipo AeBarrivano secondo un processo di Poisson con tasso 20 e 10 all'ora, rispettivamente. Qual e la probabilita che i primi 3 clienti arrivati all'ucio siano tutti di tipoA?5Partendo da campioni uniformemente distribuiti in [0 ;1], usare il metodo acceptance-rejection per cam- pionare una v.a.Xcon ddp fX( x) = 34 (1 (x1)2 ) 0x2; 0 altrimenti. Scrivere l'algoritmo acceptance-rejection con la miglior ecienza possibile. Mediamente quanti campioni bisogna generare per vederne uno accettato?6Il numero di giorni di vita di una lampadina e una v.a. XGeom(p). Qual e il minimo numero medio di bit necessari a rappresentare il valoreX? Soluzioni Problema 1 ChiamandoXil risultato del lancio del dado, eVl'evento vittoria, si ha Pr(V jX=x) =4( x1)52 = x 113 ; x =f1;2;3;4;5;6g;(1) e mediando sui possibili risultati dixsi ha Pr(V) =6 X x=116 Pr( V jX=x) (2) =6 X x=1x 178 (3) =5
62
78= 1578 = 526 : (4) Siccome la puntatape sempre persa, mentre si vincono 100enel solo eventoV, per trovare il valore minimo dipbisogna impostare la disequazione 100 Pr(V)p 100 Pr(V) =50026  19:23e:(6) Problema 2 Siccome la distribuzione diU U[1;1] ha simmetria pari, ancheT=jUje uniforme conT U[0;1]. Dunque abbiamo cheX=log(T)>0, perche 0< T 0 0x