Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

Full exam

Informazione e stima – 11/01/2022 ˆOgni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. ˆVerranno valutate solo le parti scritte in penna – non usare correttori. ˆNon riportare solo il risultato, ma cercare di argomentare sinteticamente la risposta. ˆRiportare il proprio nome, cognome, e codice persona su ogni foglio consegnato. ˆEsercizio da escludere dal punteggio finale:1Si estraggono 5 carte da un mazzo di 52 ben mescolato. Si considerino gli eventi A={solo le prime due carte sono di cuori},B={prime due carte di cuori e le altre di fiori}, eC={prime due di cuori, terza e quarta di fiori, e ultima di quadri o picche}. (a)Senza fare calcoli, dire quale traAeB`e l’evento pi`u probabile. Giustificare la risposta. (b)Calcolare le probabilit`a degli eventiA,B, eC. Le estrazioni sono senza reinserimento. Nel mazzo ci sono13carte di ogni seme.2Sia Xla differenza tra il numero di teste e il numero di croci ottenute in due lanci di una moneta ben bilanciata. Si calcolinoE[X] eE X2 . Come cambierebbero i valori diE[X] eE X2 se si facessero 100 lanci?3Sia X∼Exp(λ) eY= arctan(X). Si calcoli la legge di probabilit`a diY. Si presti attenzione ai valori assunti daY.4Si consideri un processo di Poisson con intensit`a di 10 arrivi al minuto. Usando il teorema fondamentale del limite, dare un’approssimazione della probabilit`a che ci siano meno di 550 arrivi in un’ora.5Si consideri un esperimento aleatorio e un suo evento Adi cui si vuole stimare la probabilit`a. Per stimare p= Pr(A) si ripete l’esperimentonvolte, ottenendo una stimab Pntramite media campionaria. (a)In quale caso bisogna usare un numero di provenelevato? QuandoA`e un evento raro o frequente? Giustificare la risposta. (b)Quale tecnica si pu`o usare per ridurre il valore dinsenza peggiorare la qualit`a della stima?6Si consideri un mazzo nonmescolato di 52 carte, vale a dire un mazzo di cui conoscete l’ordine esatto di tutte le carte. Chiedete ad un’altra persona ditagliareil mazzo in un punto a caso creando due mazzetti, e di ricomporlo invertendo l’ordine dei due mazzetti. Cominciate a svelare una carta alla volta, fino a svelarle tutte. Qual `e la quantit`a totale di bit di informazione a voi rivelata? Soluzioni Problema 11.SiccomeA⊃B, abbiamo Pr(A)>Pr(B). 2.Possiamo risolvere tutti i casi ragionando su cosa accade in ogni stadio di scelta. Si hanno 5 stadi discelta, e in ogni stadio rapportiamo casi favorevoli su casi totali. Pr(A) =1352 1251 3950 3849 3748 ≈ 0.0274 (1) Pr(B) =1352 1251 1350 1249 1148 ≈ 0.000858 (2) Pr(C) =1352 1251 1350 1249 2648 ≈ 0.00202 (3) Problema 2 Xvale 2, 0 oppure−2 con probabilit`a14 ,12 e14 , rispettivamente. Dunque E[X] = 214 − 214 = 0 eE[X2 ] = 414 + 4 14 = 2 . 100 lanci equivalgono a 50 coppie di lanci (indipendenti) e quindi valore medio e varianza sono moltiplicati per 50. Problema 3 Applichiamo il metodo della cumulata: FY( y) = Pr(Y≤y) = Pr(arctan(X)≤y) (4) = Pr(X≤tan(y)) (5) =F X(tan( y)) (6) =  1 y≥π/2 1−e− λtan(y) ,0≤y < π/2 0y 60) = Pr Y550− E[Y 550]p Var [Y 550]> 60 −E[Y 550]p Var [Y 550]! (9) CLT≈Pr Z >60 −550·110 q 550 ·1100  (10) = Pr (Z >2.132) (11) = 1−Φ(2.132)≈0.0165,(12) dove abbiamo usatoE[T i] =110 e Var[T i] =1100 . Problema 5 Vedere la teoria. Problema 6 Il fatto che il mazzo di carte sia inizialmente ordinato significa che non vi porta alcuna informazione. L’atto di tagliare il mazzo in un punto a caso `e equivalente a scegliere una carta uniformemente a caso tra le 52. Infatti, una volta svelata la prima carta del nuovo mazzo, che `e a voi ignota, tutte le altre carte sono prevedibili.Dunque, l’unica fonte di informazione (o sorpresa) `e la prima carta del nuovo mazzo, che `e il risultato di una v.a. uniforme da 1 a 52. Il numero di bit di informazione cos`ı generato `e H(X) = log 2(52) ≈5.7 bit.(13) 3