Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

Full exam

Informazione e stima { 11/09/2020 Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. Riportare il proprio nome, cognome, e codice persona su ogni foglio consegnato. Nominare il le da caricare con il proprio codice persona. Esercizio da escludere dal punteggio nale:1Un docente deve formare 4 gruppi di 4 persone scegliendo tra 4 tutor e 12 studenti. Qual e la probabilita che in ogni gruppo ci sia esattamente un tutor, se le formazioni dei gruppi sono fatte in modo casuale?2Due variabili aleatorie XeYhanno legge di probabilitaf X;Y( x; y) =cnella regioneRin gura. Deter- minare: (a)il valore della costantec. (b)Le leggi marginali diXeYe gracarle. (c)La leggef YjX( yj1:5) e gracarla.x0 4321123y R 3Sia XExp(1) eY n= X=npern1. Dire se la successione di v.a.fY ng nconverge in probabilita e, in caso aermativo, a quale valore.4I clienti di una libreria vengono serviti secondo un processo di Poisson con un ritmo di utenti all'ora. Ogni cliente compra un libro con probabilitap, indipendentemente da tutto il resto. Trovare: (a)la legge di probabilita del tempo al primo acquisto; (b)la probabilita che nessun libro venga venduto in un'ora;(c)il numero atteso di clienti che comprano un libro tra le 12:00 e le 13:30.5Il numero  di carrelli di un supermercato e uniformemente distribuito tra 1 e 100. I carrelli sono numerati sequenzialmente da 1 a . Quando entrate nel supermercato, osservate il numeroXsul carrello che prendete, assunto uniformemente distribuito nell'intervallo da 1 a , e usate questa informazione per stimare il valore di . Determinare e gracare lo stimatore MAPb MAP( X).6Si considerino n= 108 lanci indipendenti di una moneta sbilanciata conP(Testa) = 0:8. Si vogliono memorizzare i risultati dei lanci in un le in modo compresso, senza perdita di informazione. Qual e il minimo valore atteso possibile (in Byte) della lunghezza del le? Quale principio si puo usare per ottenere un le di tale lunghezza? Usare l'equivalenza 1 Byte = 8 bits. Soluzioni Problema 1 Il problema si puo interpretare come una partizione in 4 gruppi. Ogni gruppo deve contenere necessariamente 1 tutor e 3 studenti. La probabilita cercata, intesa come rapporto tra casi favorevoli e casi totali, si puo impostare grazie ai coecienti multinomiali come segue: 4 1;1;1;1
12 3;3;3;3
16 4;4;4;4
=4 4 16 4
0:14 (1) Problema 21.Essendo la distribuzione congiunta uniforme, si hac= 1=Area(R) = 1=4. 2.Le distribuzioni marginali sono: fX( x) =Z 3 1f X;Y( x; y)dy=8 < :1 =4 1< x