Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima { 12/02/2019 Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. Verranno valutate solo le parti scritte in penna { non usare correttori. Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. Riportare il proprio nome, cognome, e numero di matricola su ogni foglio consegnato.1Si consideri l'alfabeto italiano di 21 lettere e tutte le parole (anche di senso non compiuto) che si possono formare con 5 lettere (anche ripetute). (a)Qual e la probabilita che una parola formata a caso sia palindroma? (b)Ipotizzando di avere formato una parola palindroma con 3 lettere diverse, qual e la probabilita chepermutando a caso le lettere si ottenga una parola palindroma? Una parola e palindroma se non e distinguibile letta da sinistra a destra o viceversa. Ad es. AVEVA.2Una v.a. continua Xha ddpf X( x) =p1 x2 per1< x 5. Qual e la probabilita di osservare un segnale non distorto all'uscita dell'amplicatore?4Si consideri un mazzo ben mescolato di carte con 20 carte rosse e 20 carte nere, ed un esperimento dove si estraggono (con reinserzione) delle carte una dopo l'altra da tale mazzo. L'esperimento si conclude quando vengono estratte 3 carte consecutive dello stesso colore. (a)Proporre una catena di Markov che descriva l'evoluzione dell'esperimento. Individuare gli stati, letransizioni di stato e le probabilita di transizione.5Sia XExp(1), da cui si genera un valorexper ottenere un'osservazione distribuita comeY N(0; x). Trovare lo stimatore MAP diXbasato sull'osservazioneY.6Si vuole determinare numericamente il valore di I=R 1 0e x2 =2 dx. Partendo da un generatore di campioni distribuiti comeU U[0;1], proporre un algoritmo che produca una stimab IdiI. Soluzioni Problema 11.L'evento cercato e equivalente a imporre prima e ultima lettera della parola uguali, e seconda e quartalettera uguali. La probabilita dell'evento e: 21
21
21
1
121 5=121 2 0:0023 2.Partendo da una parola palindroma con 3 lettere diverse si possono formare solo due parole palidrome,perche la lettera centrale non puo cambiare la sua posizione, mentre le due lettere esterne e le due interne possono scambiarsi di ruolo. Quindi i casi favorevoli sono 2
2
2 (considerando anche le permutazioni ottenute scambiando tra loro le 2 coppie di lettere uguali), mentre i casi totali sono tutte le permutazioni con 5 lettere. La probabilita e dunque235!  0:0667 Problema 21.Il valore disi ottiene imponendo l'integrale della ddp a 1, o piu semplicemente si puo notare chef X( x) descrive un semicerchio di raggio 1 e centro nell'origine. L'area sottesa dal semicerchio e=2, dunque deve essere= 2=. Il valore atteso diXe zero perchef X( x) ha simmetria pari. 2.AncheYe una v.a. a valor atteso zero e con unaf Y( y) con simmetria pari. Senza fare calcoli si puo vedere subito cheVar[Y]>Var[X], perchef Ye piu dispersa attorno all'origine rispetto a f X. Problema 3 Siccome tutte le componenti sono Gaussiane indipedenti, ancheXsara Gaussiana conE[X] = 0 eVar[X] = P10 i=1Var [N i] = 10. La probabilita si calcola come: Pr(X