Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

Full exam

Informazione e stima { 13/01/2021 Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. Riportare il proprio nome, cognome, e codice persona su ogni foglio consegnato. Nominare il le da caricare con il proprio codice persona. Indicare l'esercizio da escludere dal punteggio nale.1Si pescano 5 carte da un mazzo ben mescolato di 52 carte. Qual e la probabilita di ottenere una doppia coppia?2Due variabili aleatorie XeYhanno legge di probabilitaf X;Y( x; y) =cnel disco di raggiorcentrato nell'origine. Determinare: (a)il valore della costantec. (b)Le legge diT=X2 +Y2 . (Suggerimento: calcolare la legge cumulata diT, e ragionare sul signicato geometrico dell'evento associato alla cumulata)3Siano X 1; X 2;


; X 1000delle v.a. i.i.d. con X i Exp(1),i= 1; : : : ;1000. Calcolare una stima accurata di Pr(P 1000 i=1X i 1017).4Si consideri un processo di Bernoulli con parametro p= 1=3. Ogni 3 arrivi, si smista l'arrivo in un nuovo processo. (a)Il nuovo processo e di Bernoulli? Giusticare la risposta. (b)Come sono distribuiti i tempi di interarrivo nel nuovo processo?5Si vuole determinare numericamente il valore di I= Pr(0X1), doveXExp(). Partendo da un generatore di campioni distribuiti comeU U[0;1], proporre un algoritmo che produce una stimab IdiI.6Si consideri la v.a. Xche conta il numero di lanci di un dado ben bilanciato per ottenere il risultato 1. Mediamente quanti bit di informazione sono prodotti dall'osservazione diX? Soluzioni Problema 1 I casi totali sono 52 5
. Per contare i casi favorevoli, procediamo come segue. Essendoci 13 valori diversi nel mazzo di 52, bisogna scegliere: i 2 valori tra i 13 disponibili che formeranno la doppia coppia. Le scelte sono 13 2
. i semi che formano le coppie. Ogni coppia ha 4 2
scelte possibili. Dunque in totale si hanno 4 2
2 = 36 scelte. la carta che non fara parte delle coppie. Dobbiamo innanzitutto sceglierne il valore, e poi il seme. Le scelte rimanenti per il valore sono 132 = 11, e 4 scelte per il seme. In totale fa 44. La probabilita cercata ep= 13 2

36
44 52 5
= 0:0475 (1) Problema 21.Siccome la legge congiunta e uniforme nel disco di raggior, la costantece pari al reciproco dell'area del disco: fX;Y( x; y) =1r 2; (x; y) : 0x2 +y2 r2 : 2.La legge cumulata diTsi calcola come segue Pr(Tt) = Pr(X2 +Y2 t) (2) che geometricamente si puo interpretare come il calcolo della probabilita che un punto (X; Y) lanciato casualmente nel disco di raggiorcada nel disco di raggiopt . Questa probabilita si calcola facilmente come il rapporto tra aree, essendo lo spazio di probabilita uniforme: Pr(Tt) =8 < :0 t r2 La distribuzione di probabilita si ottiene calcolando la derivata rispetto at, ottenendoT U[0; r2 ]. Problema 3 In questo caso si puo applicare il CLT. Si noti cheE[X i] = 1 e Var[X i] = 1. Standardizzando l'evento di interesse, si ottiene: Pr P1000 i=1X i 1000p 1000  1017 1000p 1000 ! C LTPr (Z0:54) (3) = (0:54)0:7054:(4) Problema 41.Il nuovo processo non e di Bernoulli, perche la legge di smistamento e deterministica nel tempo. Adesempio, se nel processo nuovo c'e un arrivo al tempot, al tempot+ 1 non ci puo essere un nuovo arrivo; dunque la probabilita di avere un arrivo nel nuovo processo cambia nel tempo. 2.SiaT i Geom(1=3) il tempo di interarrivoiesimo nel processo originale, eX iil tempo di interarrivo iesimo nel nuovo processo. Allora si ha Xi= T 3i2+ T 3i1+ T 3i Pascal(p= 1=3; k= 3) Da notare che tutti i tempiX isono indipendenti. Problema 5 L'integraleIsi puo stimare numericamente ricorrendo ad una simulazione Monte Carlo. In particolare, si puo notare che: I=Z 1 0e x dx=Z 1 0e xf U( x)f U( x)dx=E e Uf U( U) =E e U doveU U[0;1] ef U( u) = 1 per 0u1. L'algoritmo e fatto come segue: 1.Generoncampioni indipendentiU i U [0;1], peri= 1; : : : ; n. 2.Calcolob I=1n P n i=1e U i . Problema 6 Sappiamo cheXGeom(1=6), e dunque pX( x) =16  116  x1 ; x= 1;2;


: Il numero medio di bit di informazione dati dall'osservazione diXsi puo calcolare tramite l'entropia. L'autoinformazione dell'eventoX=xe i(x) = log 21p X( x)= log 2 6 65  x1! = log2(6) + ( x1) log 265 ; x = 1;2;


: L'entropia diXe: H(X) =E[i(X)] = log 2(6) + ( E[X]1) log 265 (5) = log2(6) + 72 1 log265 (6) 3:2425 bit (7) 3