Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima { 15/02/2020 Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. Verranno valutate solo le parti scritte in penna { non usare correttori. Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. Riportare il proprio nome, cognome, e numero di matricola su ogni foglio consegnato. Esercizio da escludere dal punteggio nale:1Si consideri il risultato Xdel lancio di un dado bilanciato a 6 facce. Successivamente, si lanci una moneta bilanciataXvolte. Qual e la probabilita di ottenere esattamente una testa (a)dopo aver osservatoX, (b)prima di conoscereX.2Sia Z= (X+Y)2 , conXY U[1;1] eXeYindipendenti. Calcolare la legge di probabilita diZ. Suggerimento: calcolare prima la legge diX+Y.3Sia X U[0;1] eY n= nXn pern2N. Determinare se la successionefY ng nconverge in probabilita, e, in caso aermativo, a quale numero.4Si hanno due monete AeBle cui probabilita di dare testa sonop Ae p B, rispettivamente. Ad ogni istante di tempo si lanciano le monete contemporaneamente, e se si ottengono due teste si decide di continuare a lanciare solamente una delle due monete, scelta a caso. La moneta rimanente viene lanciata nche non si ottiene un'altra testa. Qual e il numero medio di turni di durata del gioco?5Partendo da un generatore di variabili aleatorie U n U [0;1], proporre un algoritmo di Importance Sam- pling per calcolareI=R 1 1e xx dx . Suggerimento: fare attenzione al dominio di integrazione.6Siano X 1; X 2; : : : ; X nvariabili aleatorie discrete e indipendenti tra loro e identicamente distribuite con Xi U f 1;2; : : : ; Mg. Calcolare l'entropiaH(X 1; X 2; : : : ; X n). Soluzioni Problema 1 SiaN xil numero di teste ottenute dopo aver osservato X=x. Si ha cheN x Bin(x;0:5), dunque pNx(1) =x2 x; x = 1; : : : ;6: La probabilita di osservare una testa prima di conoscereXsi calcola tramite la legge delle probabilita totali: pN(1) =6 X x=1p X( x)p Nx(1) =6 X x=116 x2 x= 0 :3125: Problema 2 La legge di probabilita diW=X+Ysi ottiene eettuando l'integrale di convoluzione delle leggi diXeY. Sfruttando l'identicita delle distribuzioni diXeY, si ottiene che la legge diWha una forma di triangolo isoscele con base in [2;2] e altezza 1=2. Ora si haZ=W2 =jWj2 . Si puo notare cheT=jWjha una legge a forma di triangolo rettangolo con base l'intervallo [0;2] e altezza di misura 1: fT( t) = 1t2 ; 0t2: Usando l'approccio della funzione cumulativa si ha:FZ( z) = Pr(Zz) = Pr(T2 z) = Pr(Tpz ) =F T(pz );0z4;(1) e dunquefZ( z) =ddz F T(pz ) =f T(pz )ddz pz = (1pz 2 ) 12 pz = 12 pz 14 ; 0z4: Problema 3 Il sospetto e che perngrandi i valori diY nsi concentrino attorno al valore 0. Testiamo la convergenza a 0 della successione calcolando, per un arbitrario >0, Pr(jY nj > ) = Pr(Y n>  ) (2) = Pr Xn >n  (3) = Pr X > n  1=n (4) = 1 n  1=n (5) da cui segue che limn!1Pr( jY nj > ) = 0, dunque confermando cheY n! 0 in probabilita. Problema 4 La probabilita di ottenere due teste durante un turno di gioco ep Ap B. Il numero di turni per osservare questa combinazione e una variabile aleatoriaXGeom(p Ap B), quindi il numero medio di turni di questa prima fase eE[X] =1p Ap B. Ragionando analogamente, la durata media seconda fase sara p 1 Ao p 1 Ba seconda che sia stata lanciata la monetaAoB, rispettivamente. Mediando su questi due casi si ottiene: Turni medi totali =1p Ap B+ 12 p A+ 12 p B: Problema 5 Siccomef X( x) =e x e la legge di probabilita di una v.a. esponenziale, l'integrale si puo reinterpretare come segue: I=Z 1 1e x1x dx =Z 1 0e x1x 1 fx>1gdx =E 1X 1 fX >1g doveXExp(1), e 1 fX >1gvale 1 se l'evento fX >1ge vericato, e 0 altrimenti. Un possibile algoritmo per generare i campioni esponenziali e per stimare l'integrale e il seguente: 2 1.Genero ncampioni indipendentiU i U [0;1] peri= 1; : : : ; n. 2.Genero i campioni esponenziali comeX i= log(U i) per i= 1; : : : ; n. 3.Stimo numericamente l'integrale comeb I=1n P n i=11X i1 fX i> 1g=1n P n i=11log( U i)1 fU i