Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

Full exam

Teoria dei fenomeni aleatori e della stima { 22/01/2019 Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti Verranno valutate solo le parti scritte in penna { non usare correttori Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. Riportare il proprio nome, cognome, numero di matricola su ogni foglio consegnato Esercizio da escludere dal punteggio nale:1Si consideri una scacchiera quadrata con nncaselle, conn2. Si posizioninontorri in modo casuale sulla scacchiera, dove una casella e occupata al piu da una torre. Qual e la probabilita che da questa congurazione nessuna torre possa minacciarne un'altra? Una torre puo minacciarne un'altra se e solo se si trovano sul la stessa riga o colonna del la scacchiera.2Si hanno due v.a. discrete XeYdistribuite come in tabellax = 1x = 2x = 3y = 11 =40?4 =40 y= 2a= 4002 =40 y= 32 =4010 =408 =40 (a)Determinare la probabilita mancante Pr(X= 2; Y= 1). (b)Determinare la ddp diXdatoY= 3, Pr(X=xjY= 3) per ognix. (c)CalcolareE[XjY= 3]. (d)Le v.a.XeYsono indipendenti?3Sia X N(0;1). Qual e la legge di probabilita diZ=X2 ?4Gli istanti di caduta dei frutti da un albero si possono modellare come un processo di Poisson con tasso = 2 frutti al giorno. Al contatto col terreno i frutti si rompono con probabilitap= 0:5, indipendentemente dagli altri frutti. Calcolare la probabilita di trovare piu di 2 frutti integri sul terreno in un periodo di 3 giorni.5Sia Y N(0;1), da cui si genera un valoreyper ottenere un'osservazione distribuita comeXExp(y2 ). Trovare lo stimatore MAP diYbasato sull'osservazioneX.6Proporre un algoritmo che, sfruttando un generatore di campioni indipendenti U idistribuiti uniformemente in [0;1), generi una stima numerica del numeroe 1 . Suggerimento: il numeroe 1 va interpretato come la probabilita che si verichi un determinato evento. Farebbe comodo, ad esempio, usare una v.a.XExp(1)per costruire un evento la cui probabilita ee 1 . Soluzioni Problema 1 Tutte le congurazioni delle torri sulla scacchiera sono equiprobabili. Si proceda dando un ordinamento alle torri (ad esempio numerandole da 1 an) e posizionandole a caso sulla scacchiera. Il numero di congurazioni possibili sulla scacchiera e: N=n2
(n2 1)


(n2 n+ 1) =n 1 Y i=0( n2 i) =( n2 )!( n2 n)! Costruiamo ora le congurazioni che rispettano il criterio chiesto: La torre 1 puo sceglieren2 posizioni perche non ha vincoli. La torre 2 e vincolata a non scegliere le stesse riga e colonna della torre 1: se dalla scacchiera si eliminano tutte le caselle con stessa riga e colonna della torre 1, rimane una scacchiera quadrata di dimensioni (n1)(n1). Dunque la torre 2 puo scegliere (n1)2 posizioni. Si itera il procedimento nche la torren-esima puo scegliere solo una casella. Il numero totale di combinazioni che soddisfano il requisito eQ n i=1i2 = (n!)2 . La risposta nale e p=( n!)2N = n !n! (n2 n)!( n2 )!= n ! n2 n
: Problema 21.La prob. mancante e4027a40 = 13 a40 : 2.Si ha Pr(X=xjY= 3) =Pr( X=x; Y= 3)Pr( Y= 3)= Pr( X=x; Y= 3)P 3 x0 =1Pr( X=x0 ; Y= 3)=8 > < > :2 =4020 =40x = 1 10=4020 =40x = 2 8=4020 =40x = 3=8 < :110 x = 1 510 x = 2 410 x = 3 3.Condizionando aY= 3 si ha: E[XjY= 3] =3 X x=1x Pr(X=xjY= 3) = 1
110 + 2
510 + 3
410 = 2310 : 4.Le v.a.XeYnon possono essere indipendenti, ad esempio Pr(X= 2; Y= 2) = 0 esclude questa possibilita. Problema 3 Di sicuro la v.a.Ze positiva, quindif Z( z) = 0 perz 0: 2 Problema 4 I frutti integri sul terreno si possono modellare come arrivi di un processo di Poisson di tassop= 2
0:5 = 1 frutti al giorno. In un dato periodo di tempo, dunque, il numero di frutti integri sul terreno e una variabile aleatoria di Poisson di parametrop. Nel nostro caso= 3 giorni, dunque la v.a. cercata eNPoisson(p= 3). La probabilita di trovare piu di 2 frutti integri e: Pr(N >2) = 1Pr(N2) = 12 X i=0p N( i) = 12 X i=03 ii !e 3 0:5768: Problema 5 Seguendo la denizione di stimatore MAP si ha: b YMAP( x) = arg max y2Rf YjX( yjx) (1) = arg maxy2Rf XjY( xjy)f Y( y) (2) = arg maxy2Ry 2 e y2 x1p 2 e y2 =2 (3) dove in (2) abbiamo tralasciato i termini non dipendenti dax. Per trovare il minimo della (3) rispetto ay, poniamone a zero la derivata rispetto ay: @@ y h y2 e y2 xy2 =2i =ye y2 xy2 =2 ((1 + 2x)y2 2)! = 0!y! = 0; y! =r2 1 + 2 x: Ci sono 3 punti estremanti, ma e facile vedere chey= 0 e un punto di minimo per la funzione in (3). Pertanto, le due soluzioni sono b YMAP( X) =r2 1 + 2 X: (4) Problema 6 Si procede col determinare l'evento la cui probabilita ee 1 , ad esempio si puo impostare: Pr(X > t) =Z 1 tf X( x)dx =Z 1 te x dx = e x 1 t= e t! =e 1 da cui segue che l'evento cercato efX >1g. Tramite il generatore di campioniU ibisogna simulare la sorgente che genera i campioni distribuiti comeX. Dalla teoria si vede cheX i= ln(U i) e distribuito come XExp(1). L'algoritmo per la stima numerica die 1 puo essere come segue: 1.GeneroncampioniU i [0;1) e calcoloX i= ln(U i) per i= 1; : : : n. 2.SiaS nil numero di campioni generati tali che X i> 1. Allora la stima die 1 sarag e 1 =S n=n . 3