Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima { 02/05/2018 Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. Verranno valutate solo le parti scritte in penna { non usare correttori. Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. Riportare il proprio nome, cognome, e numero di matricola su ogni foglio consegnato. Esercizio da escludere dal punteggio nale:1Si consideri un mazzo di 40 carte ben mescolato. Si distribuiscono 5 carte a ognuno di 3 giocatori. Qual e la probabilita che ogni giocatore riceva esattamente un 2?2Si consideri il lancio di una moneta bilanciata. Se esce testa si estraggono 2 biglie da un'urna con 5 biglie nere e 5 bianche. Se esce croce si estraggono 2 biglie da un'urna con 3 biglie nere e 7 bianche. Calcolare: (a)La probabilita di estrarre due biglie nere (b)La probabilita di ottenere croce e due biglie nere (c)Avendo estratto due biglie nere, la probabilita di aver ottenuto croce3In un triangolo rettangolo la lunghezza dell'ipotenusa e unitaria e uno dei restanti angoli viene scelto in maniera uniformemente distribuita tra 0 e=2 radianti. Com'e distribuita la lunghezza del lato opposto all'angolo?Suggerimento:ddx arcsin (x) =1p 1 x24Considerare la regione Rin gura delimitata dal poligono di 4 lati. Due v.a.XeYhanno distribuzione congiunta uniforme nella regioneRe zero altrimenti. (a)Determinare l'espressione dellaf X;Y, della f X, e della f YjX (b)CalcolareE[X] eE[YjX=x] per ognix2R (c)CalcolareVar[X]x0 211y R 5Sia X i; i = 1;2;


una successione di v.a. i.i.d. conX i U [1;1]. Determinare se le seguenti successioni convergono in probabilita a qualche limite: (a)(1)i Xi; i = 1;2;


(b)(X i)i ; i= 1;2;


(c)S i=P i k=1X k=i; i = 1;2;


6Dovete commissionare un sondaggio per stimare il risultato di un referendum. Una nuova societa e disponibile sul mercato, e vi ore una stima del "s" con un'accuratezza di 0:01 e adabilita del 98%. Adereste l'incarico a questa nuova societa? Discuterne i motivi. Assunzioni: tutte le persone rispondono al sondaggio in maniera indipendente e con la stessa probabilita di "s". Considerare il caso pessimista sulla varianza della stima. Le probabilita vengono approssimate con il teorema fondamentale del limite. Soluzioni Problema 1 Lo spazio di probabilita e uniforme. Si puo interpretare il problema con 4 partizioni delle carte totali: 3 partizioni sono corrispondenti ai 3 giocatori, mentre l'ultima partizione e il mazzo. Ci sono due sottoinsiemi di interesse: l'insieme dei 4 "2" e le restanti 36 carte. La probabilita cercata e: 4 1;1;1;1
36 4;4;4;24
40 5;5;5;25
=4!
36!
(5!)3
25!(4!) 3
24!
40!= 4! 5 3
2540
39
38
37(1) Problema 21.Si puo usare il teorema delle probabilita totali: Pr(NN) = Pr(NNjT) Pr(T) + Pr(NNjC) Pr(C) = 5 2
5 0
10 2

12 + 3 2
7 0
10 2

12 =1390 (2) 2.Usando la regola moltiplicativa si ha:Pr(NN eC) = Pr(NNjC) Pr(C) =3
210
9
12 = 130 (3) 3.Usando il teorema di Bayes:Pr(CjNN) =Pr(NN e C)Pr(NN) = 1 =3013 =90= 313 : (4) Problema 3 Il lato cercato ha lunghezzaX= sin() dove U(0; =2). La legge cumulata diXe FX( x) = Pr(sin()< x) = Pr(