Biomedical Engineering - Bioingegneria del Sistema Motoria

11 - Problema dinamico inverso

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Il Problema Dinamico Inverso L’analisi del movimento umano è intesa ad ottenere informazioni quantitative sui fenomeni connessi allo svolgimento di un atto motorio. Gli aspetti di rilevan te interesse sono di carattere: 1) temporale 2) cinematico 3) din amico 4) energetico 5) neuromuscolare Essi rivestono anche un rilevante interesse clinico in quanto permettono di descrivere quantitativamente un gesto mo torio alterato da una patologia , di quantificar ne le variazioni rispetto al comportamento ‘normale’ , di confrontare a distanza di tempo le modifiche indotte dall’evoluzione della patologia e di valutare gli effetti di eventuali trattamenti terapeutici. Anche se esistono studi ed applicazioni cliniche in cui alcuni degli elementi di cui sopra vengono qu antificati singolarmente, o in numero ridotto, ed in maniera molto specifica in relazione a particolari gesti e distretti del corpo umano, generalmente si intende per Analisi del Movimento una procedura complessa che, mediante tecniche strettamente integra te, permette di ottenere l’andamento temporale di variabili cinematiche, variabili dinamiche, e segnali elettromiografici. L’intera procedura si basa sulla misurazione non invasiva di un certo numero di grandezze fisiche i n funzione del tempo: 1) coordinate spaziali di punti di repere appartenenti al corpo in esame 2) forze di interazione con l’ambiente (tipicamente le reazioni d’appoggio al terreno) 3) segnali elettromiografici 4) altri segnali complementari (es. segna li on -off di contatto tra alcune parti del corpo e l’ambiente –tipicamente microswitches sotto la pianta del piede) L’ottenimento delle variabili di interesse per l’esame cinesiologico richiede di elaborare queste grandezze misurate e di adottare alcune i potesi semplificative a riguardo della struttura del sistema muscoloscheletrico. Si deve in sostanza adottare un ‘modello’ del sistema in esame. La modellizzazione riguarda in generale: 1) la definizione di segmenti anatomici e delle loro proprietà geome triche, strutturali e inerziali 2) la definizione delle articolazioni di collegamento tra i segmenti anatomici e delle loro proprietà cinematiche 3) la definizione del tipo di interazione tra i segmenti anatomici Generalmente nella descrizione cinematica e dinamica del corpo umano, si tende ad attribuire ai vari segmenti anatomici le proprietà del ‘corpo rigido’, e di conseguenza la definizione dei segmenti anatomici consiste nell’individuare le parti del corpo umano che più si avvicinano a tale comportamento. Spesso quindi il segmento anatomico è individuato dalla presenza di un osso lungo ed è delimitato da una o due articolazioni alle estremità (es. coscia, gamba). A seconda degli scopi dello studio si possono considerare segmenti anatomici an che strutture anatomicamente complesse, di cui interessi però solo una descrizione cinematica complessiva (es. piede). In biomeccanica per modellizzare il corpo umano sono stati utilizzati diversi approc ci, dipend enti dal contesto di utilizzo. H anavan (19 64) per esempio usava 15 semplici solidi geometrici considerati r igidi e aventi densità uniforme. Le articolazi oni erano considerate cerniere tridimensionali di massa trascura bile. Jensen (1976), Hatze (1980), Yeadon (1990) ed altri hanno successivamente pr oposto modelli alternativi, orientati prin cipalmente alla determinazione delle proprietà inerziali del corpo umano. Queste ultime erano calcolate mediante equazioni di regressione, ottenute da misure antropometriche effettuate su campioni statisticamente s ignificativi di soggetti umani. Per effettuare l'analisi cinematica di un qualsiasi corpo, la prima cosa da fare è definire un sistema di riferimento cartesiano (O , X, Y, Z ) "assoluto" (preferibilmente fisso e inerziale), rispetto al quale si osservano le posizioni e i movimenti di tutti i corpi d'interesse. Generalmente questo sistema di riferimento è quello solidale al laboratorio. Un corpo rigido nello spazio ha sei gra di di libertà e per localizzarlo univocamente rispetto al sistem a di riferimento assoluto, occorrono informazioni sulla sua posizione rispetto all'origine e sul suo orientamento rispetto agli assi cartesiani. Per fare questo si definisce un nuovo siste ma di riferimento cartesiano (O’, x, y, z) solidale con il Corpo rig ido in esam e e quindi mobile rispetto ad (O, X, Y. Z). La posizione del corpo in un dato istante è individuata dalle tre compon enti del vettore traslazione (O’ -O); l'orientamento del corpo è determinato dai coseni dir ettori degli assi x, y, z rispetto al sistema di riferimento fisso (O , X, Y, Z) L’insieme delle coordinate lineari e angolari di tutti i corpi rigidi con cui è stato modellizzato il corpo umano e delle velocità e delle accelerazioni costituisce la descriz ione cinematica del movimento. Come noto le variabili cinematic he sono intrinsecamente correlate alle forze e ai momenti interni ed esterni applicati alla struttur a. Il legame tra variabili cinematiche e forze (in senso generalizzato) è definito dalle equ azioni di equilibrio dinamico, che nella loro forma generale sono le seguenti (secondo principio della dinamica) : �Γ ������� = ∑ ������ �� ������� = ∑ � Dove �Γ ������� è la derivata del momento della quantità di moto dell’intero sistema rispet to ad un punto qualunque , ∑ ������ è la sommatoria (e perciò la risultante) di tutti i momenti, interni ed esterni applicati al sistema, �� ������� è la derivata della quantità di moto del sistema, ∑ � è la sommatoria (e perciò la risultante) di tutte l e forze, interne ed esterne, applicate al sistema. X Y Z O O’ z x y O’ -O Ricordiamo che per un corpo rigido si ha in generale, rispetto ad un punto O qualunque: �⃗ L I 8�⃗⃗⃗⃗ e Γo⃗⃗⃗ = (� − �)⋀�⃗ E ,�� �������� + �������� �������� + �������� ��������⃗ (VG = Velocità del baricentro G; m=massa del corpo; Jxx , Jyy , Jzz = momenti principali d’inerzia ; x, y, z = componenti della velocità angolare rispetto al sistema di assi cartesiani solidali con il corpo in movimento, i, j, k = versori degli assi mobil i) e che per un insieme di corpi rigidi si ha: � = ∑ ������� e Γ = ∑ Γj Si riconosce che le variabili cinematiche sono contenute, insieme ai parametri inerziali, nei termini �Γ ������� e �� ������� . Qu indi , s e le forze ed i momenti sono n oti, e sono note le proprietà inerziali dei corpi rigidi che costituiscono il sistema (masse e momenti d’inerzia), si possono calcolare le variabili cinematiche e determinare quindi il moto del sistema. In questo caso si risolve il cosiddetto ‘problema din amico diretto’ . Se invece sono note le variabili cinematiche , ottenute mediante l’analisi del movimento, oltre ovviamente ai parametri inerziali dei segmenti anatomici, si possono calcolare le risultanti delle forze e dei momenti connessi al movimento. In questo caso si parla di soluzione del ‘problema dinamico inverso’ . Ora consideriamo una parte dell’intera struttura, per esempio l’arto superiore come insieme di braccio, avambraccio e mano, incernierato al tronco mediante l’articolazione della spalla. Supponiamo che all’estremità sia applicata una forza esterna Fe (di contatto con una superficie, per esempio). Per evidenziare tutte le forze e i momenti che sono applicati a lla part e d i interesse , utilizziamo l’approccio classico che consiste nel l’isolare idealmente questa parte della struttura dal resto del corpo e nel sos tituire all’insieme delle forze e dei momenti che il resto del corpo es ercitava sulla parte in esame il loro equivalente, e cioè una sola forza e un solo momento risultante appl icati in un punto della superficie di separazione (per semplicità il centro dell’articolazione). L’interazione meccanica tra segmenti anatomici adiacenti, si può infatti ridurre all’azione di una forza e di un momento risultanti dall’azione delle varie str utture presenti nell’articolazione: superfici articolari di contatto, legamenti, tessuti molli, muscoli. Inoltre ai segmenti anatomici che compongono la struttura in esame saranno applicate le forze peso (nei rispettivi baricentri) . Quindi le equazioni di equilibrio dinamico, con riferimento al punto ‘ o’ si riscrivono nel seguente modo: � Γ������ ������� = ������ ������ + ������ � + ������ �� e � Q ������� = ������� + �1 + �2 + �3 + �� M o = Momento risultante delle forze intersegmentarie Fo = Forza risultante delle forze intersegmentarie Articolazione della spalla e strutture periarticolari (legamenti tessuti molli, muscoli) Accelerazioni lineari : a1, a2, a3 Accelerazioni angolari:       a1 a2 a3       Fe Forze intersegmentarie �Γ������1 ������� �Γ������ ������� Fe G1 G2 G3 PFe P 1 �Γ������2 ������� �Γ������3 ������� P 2 P 3 M 0 F0 Si noti che Γo= Γo1 + Γo2 + Γo3 è il momento della quantità di moto dei vari segmenti calcolato rispetto al punto ‘ o’. Se, come spesso accade, il momento della quantità di moto è nota con riferimento al baricentro del corpo, per il segmento j vale la relazione : Γoj = ΓGj + (Gj− o)⋀Qj Nell’equazione dei momenti, si è considerato �������= ∑ (�������− �)⋀ ������ ������� e �������� = (��� − �)∧�� Se si applica il principio di D’Alembert, il problema dinamico si può ricondurre ad un problema statico considerando le forze e i momenti d’inerzia come forze e momenti esterni applicati al sistema. Le forze e i momenti d’inerzia sono dati rispettivamente da lle seguenti equazioni: �������= − �� ������� e ������ ������= − �Γ ������� E quindi la distribuzione di forze applicate al sistema sarà quella rappresentata nella figura seguente. Le equazioni di equilibrio (statico) s aranno in questo caso: ������ ������ + ������ ������+ ������ ������� + ������ � + ������ �� = 0 ������� + ������� + �� + �� = 0 dove si è posto: ������ ������= ∑ ������ ������������ = ������ − ∑ dΓGj dt j ; ������ ������� = − ∑ (�������− �)∧ ������������� ������ ; ������ � = ∑ (�������− �)∧ ������� ������ ; ������ �� = (��� − �)∧ �� �������= ∑ ������������� ������ = − ∑ �� ������ ������� ������ ; �� = ∑ �������� ������ Forze d’inerzia: Fi1, Fi2, Fi3 Momenti d’inerzia: M i1, M i2, M i3 Forze peso: P 1, P 2, P 3 Fi2 Fi3 P 1 Fi1 M i1 M i2 M i3 P 2 P 3 Fe M o Fo G1 G2 G3 PFe o J=1,2,3…(indice identificativo del singolo segmento anatomico considerato) Si riconosce come questa espressione sia esattamente equivalente all’espres sione precedente dell’equilibrio dinamico se consideriamo che : ������ ������+ ������ ������� = − (∑ dΓGj dt j + (�������− �)∧ �� ������ ������� ) In definitiva, essendo l e forze peso e le eve ntuali forze di contatto Fe da ritenersi note , ed essendo possibile cal colare i termini �Γ�� ������� e �� ������ ������� conoscendo la cinematica del sistema , le sole incognite risultano essere M 0 ed F0, e si possono ottenere nel seguente modo: ������ 0 = − ������ ������ − ������ ������� − ������ � − ������ �� �0 = − ������� − �� − �� Si noti che M o ed Fo sono le reazioni vincolari nette all’articolazione considerata. Dal punto di vista biomeccanico, esse vengono considerate forze e momenti interni, in quanto prodotte dalle strutture anatomiche sopra citate ‘interne ’ al corpo (superfici articolari a contatto, legamenti, tessuti molli, muscoli). Spesso si è indotti ad associare il momento di reazione interna al momento prodotto dall’azione dei soli muscoli e la forza di reazione interna alla forza di interazione tra l e superfici articolari. Ciò è assolutamente errato, in quanto, per ciò che riguarda il momento, l’effetto delle componenti non muscolari non è trascurabile e può addirittura divenire determinante in vicinanza degli estremi del range di movimento dell’artic olazione; per ciò che riguarda la forza di reazione inoltre va considerato che tutte le forza muscolari e legamentose che contribuiscono a produrre il momento risultante hanno un’azione in termini di forza che va a sommarsi alla forza di reazione netta, e quindi la forza intra - articolare può ri sultare notevolmente superiore a quella richiesta per il semplice equilibrio dinamico alla traslazione del sistema. Per evitare questo fraintendimento, è consigliabile adottare la convenzione di considerare come Forze e Momenti articolari quelli applicati esternamente al sistema, e cioè rispettivamente la somma delle forze esterne e la somma dei momenti delle forze esterne . Pur essendo fondamentalmente diverso il significato, i n termini analitici si tratta semplicement e di introdurre un cam biamento di segno , cioè: ������ ������ = − ������ ������ = ������ ������ + ������ ������� + ������ � + ������ �� ������� = − ������� = � ������ + �� + �� Come risolvere il problema dinamico inverso Dalla formulazione precedente risulta chiaro che l’analisi del movimento è necessaria per poter calcolare i t ermini : �Γ ������� e �� ������� oltre che i valori dei bracci di leva delle varie forze rispetto al punto ‘o’. Consideriamo un singolo segmento per volta e trascuriamo per il momento la forza peso e le eventuali forze esterne di contatto. Per produrre una variazione di quantità di moto si dovrà applicare al corpo una forza � = �� ������� , e la forza d’inerzia sarà ������� = − �� ������� ) Le componenti della forza d’inerzia sono date perciò da: �������� = − ������ �̈ �������� = − ������ �̈ �������� = − ������ �̈ Si noti che le componenti delle accelerazioni: �̈, �̈, �̈ sono riferite ad un sistema di assi cartesiani inerziale, per esempio fisso rispetto al laboratorio. Per produrre una variazione del momento della quantità di moto si dovrà app licare al corpo un momento ������ = �Γ ������� (il momento d’inerzia sarà ������ ������ = − �Γ ������� ) Se consideriamo un sistema di riferimento cartesiano con origine nel baricentro del corpo e orientamento qualunque l e componenti del momento M sono date dalla for mula seguente : = + E’ da considerare che questa formula è piuttosto complicata da implementare, s oprattutto perché richiede la conoscenza di tutti i termini della matrice del momento d’inerzia (momenti d’inerzia principali: J xx, J yy , J zz, e prodotti d’inerzia: J xy, J xz, J yx, J yz, J zx, J zy) oltre che le componenti delle accelerazioni angolari x, y, z e delle velocità angolari  x,  y,  z. Basta cambiare l’orientamento di questo sistema di riferimento e far coincidente gli assi cartesiani con gli assi principali d’inerzia per far si che i prodotti d’inerzia siano nulli, e che quindi il sistem a di equazioni si riduca al seguente (equazioni d Eulero): ������ � = ��������̇− (������� − �������)�� ������ � = ��������̇− (�������− �������)�� ������ �= ��������̇− (�������− �������)��           Mz My Mx Jzz Jzy Jzx Jyz Jyy Jyx Jxz Jxy Jxx                 z y x    0 0 0 x y x z y z         Jzz Jzy Jzx Jyx Jyy Jyx Jxz Jxy Jxx                 z y x    Dove p, q, r sono le componenti del vettore velocità angolare ri spetto al sistema di assi cartesiani suddetto (baricentrale e principale d’inerzia). Il momento d’inerzia da applicare al corpo in esame sarà M I= -M (cioè M ix = -Mx; MI y= -My; M Iz = -M z) Per ottenere le componenti del vettore M I rispetto al sistema di riferimento inerziale (lo stesso a cui sono riferite le forze e le coordinate dei loro punti di applicazione) occorre applicare al vettore stesso una trasformazione definita da una matrice detta ‘ di rotazione ’ R, che per maggiore specificazione definir emo ‘da Gj a o ’, e indicheremo con ������� ������������� in quanto permette di trasformare le componenti M Ix, M Iy, M Iz , note nel sistema di riferimento con origine in Gj e orientato come gli assi principali del segmento j , nelle componenti dello stesso ve ttore MI nel sistema di riferimento con origine in ‘ o’ e orientato come gli assi del laboratorio . Fatte queste trasformazioni sarà possibile sommare tutti gli eleme nti che costituiscono il momento delle forze esterne per ottenere il momento articolare (es terno) . Si dovrà cioè implementare la seguente equazione : ������ ������ = ∑ [ ������� ������������� ] ������ ������������ ������ + ∑ (�������− �)⋀������������� ������ + ∑ (�������− �)⋀������� ������ + (��� − �)⋀�� Per quanto riguarda l’equilibrio alla traslazione, vale la seguente equazione: ������� = ∑ ������� ������ + ∑ �� ������ + �� Il moment o di reazione interno sarà M o = -MA , mentre la forza di reazione interna sarà: Fo=-FA Spesso il momento e la forza di reazione riferiti ad assi solidali con il laboratorio non sono molto significativo dal punto di vista del’interpretazione dei fenomeni biomeccanici interni all’articolazione. E’ generalmente più importante riferire le componenti del momento e della forza ad un sistema di riferimento che abbia gli assi orientati come gli assi funzionali dell’articolazione, cioè gli assi rispettivamente di Flesso/Estensione, Rotazione Interna/Esterna, Adduzione/Abduzione. La proiezione del momento e della forza sugli assi funzionali dell’articolazione si esegue mediante una operazione di rotazione che utilizza la matrice �������������′ : ������������′= [ �������������′ ] ������������ �������′= [ �������������′ ] ������� Dove con o’ si intende un sistema di riferimento con origine coincidente con o ma assi orientati come gli assi funzionali dell’art icolazione. (per comprendere il significato e le proprietà della matrice di rotazione nonché del concetto di assi funzionali si veda il capitolo seguente Cinematica dei corpi rigidi applicata al modello biomeccanico )