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Biomedical Engineering - Technology for Regenerative Medicine
Emofiltro
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Caratterizzazione di un emofiltro per rene bioartificiale In un sistema di rene bioartificiale (Renal tubule Assist Device, RAD), il primo stadio è costituito da un emofiltro che ha il ruolo di ultrafiltrare acqua e soluti dal plasma del paziente, trattenendo la frazione corpuscolata e le proteine plasmatiche. L’emofiltro ha un coefficiente di ultrafiltrazione K UF di 200 ml/h/mmHg ed esercita la sua funzione attraverso una membrana impermeabile alle proteine, con superficie di filtrazione A pari a 0.3 m 2. 1) In fase di progetto, si vuole determinare la differenza di pressione idrostatica che è necessario applicare a cavallo della membrana per ottenere una ultrafiltrazione corrispondente alla funzione glomerulare fisiologica di un adulto. La portata di ultrafiltrazione Q UF dipende dalla differenza di pressione di transmembrana ∆p secondo la legge: QUF = K UF (∆p – Π) (1) Dove Π indica la pressione oncotica (cioè la pressione osmotica delle proteine plasmatiche), la quale a sua volta dipende dalla concentrazione delle proteine plasmatiche C p secondo la legge di Landis e Pappenheimer: Π = 2.1 Cp + 0.16 Cp2 + 0.009 Cp3 (2) con Π espressa in mmHg e C p in g/dl. La concentrazione fisiologica delle proteine plasmatiche è pari a circa 7 g/dl. 2) Si consideri lo strato di plasma adiacente alla membrana, non popolato dai corpuscoli del sangue, il cui spessore δ si stima essere di circa 3 µm. Si calcoli il numero di Péclet per questo strato sottile, considerando il fenomeno di diffusione e convezione monodirezionale che avviene lungo l’asse cartesiano x rappresentato in figura, con velocità del fluido v e coefficiente di diffusione delle proteine nel plasma D = 6 ⋅ 10 –8 cm 2/s. Si determini il profilo di concentrazione delle proteine plasmatiche nello strato di plasma in condizioni stazionarie. Si assuma che in corrispondenza dell’interfaccia con la regione corpuscolata la concentrazione corrisponda al valore fisiologico c 0. All’interfaccia con la membrana semipermeabile la concentrazione assume il valore c w , da utilizzarsi come parametro. 3) In condizioni di esercizio, la portata di ultrafiltrazione del dispositivo è risultata circa 1/3 di quella prevista in fase di progetto. Si cerchi una possibile interpretazione, anche quantitativa, per questa evidenza sperimentale. δ D v x x = 0 x = δ 1) Determinare la differenza di pressione idrostatica che è necessario applicare a cavallo della membrana Applicando la legge di Landis e Pappenheimer con C p = 7 g/dl si ottiene una pressione oncotica fisiologica: Π = 25.6 mmHg Per ottenere una filtrazione corrispondente alla funzione glomerulare fisiologica, la portata di ultrafiltrazione dell’emofiltro deve uguagliare la portata di filtrazione glomerulare (GFR) fisiologica di un umano adulto: Q UF = GFR = 100 ml/min = 6000 ml/h Esplicitando la (1) rispetto a ∆p e sostituendo i valori noti, si ottiene dunque il valore di progetto della differenza di pressione di transmembrana: ∆������������= ������������������������������������ ������������������������������������ +Π=6000 ������������������������ ℎ 200������������������������ ℎ ������������������������������������������������ +25.6 ������������������������������������������������=( 30+25.6) ������������������������������������������������=55.6 ������������������������������������������������ 2.1) Si calcoli il numero di Péclet La velocità caratteristica del fluido nello strato di plasma adiacente alla membrana deriva dal fenomeno di filtrazione attraverso la membrana stessa e si può ottenere dal rapporto fra la portata di ultrafiltrazione e l’area utile della membrana: ������������=������������ ������������������������ ������������ =100 ������������������������ ������������������������������������ 0.3 ������������ 2 =100 60 ������������������������ 3 ������������ 3000 ������������������������ 2= 5.56∙10 −4 ������������������������ ������������ Assumendo lo spessore dello strato di plasma come dimensione lineare caratteristica del fenomeno, il numero di Péclet risulta: ������������é=������������������������ ������������ =5 .56∙10 −4 ������������������������ ������������ ∙3∙10 −4 ������������������������ 6∙10 −8 ������������������������ 2 ������������ =2.78 Poiché Pé differisce di poco dall’unità, i fenomeni di diffusione e di convezione delle proteine plasmatiche nello strato considerato sono entrambi rilevanti. 2.2) Si determini il profilo di concentrazione delle proteine plasmatiche nello strato di plasma in condizioni stazionarie Volume di controllo: 0≤������������≤ ������������������������������������������������ =������������������������ 2������������+������������−������������−(������������∙������������)������������ - Condizioni stazionarie: ������������������������ ������������������������ =0 - Convezione monodirezionale: v x = v - Consumo nullo: V = 0 - Produzione nulla: P = 0 L’equazione di conservazione della massa risulta: ������������������������ 2������������−( ������������∙������������) ������������=0 In coordinate cartesiane monodimensionali lungo x: ������������������������ ������������������������ ������������������������� ������������������������ �− ������������������������������������ ������������������������ =0 DEFINIZIONE DELLE CONDIZIONI AL CONTORNO E GIUSTIFICAZIONE FISICA c.c.1) in x=0 c(x)=c 0 in corrispondenza dell’interfaccia con la regione corpuscolata la concentrazione corrisponda al valore fisiologico c.c.2) in x=δ c(x)=c w all’interfaccia con la membrana semipermeabile la concentrazione assume un valore usato come parametro, e quindi considerato come noto DETERMINARE IL PROFILO DI CONCENTRAZIONE NELLO STRATO DI PLASMA L’equazione da integrare è una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del secondo ordine. L'equazione caratteristica è data da: ������������������������ 2−������������ � ������������ 1= −1 E, per sostituzione: ������������ 2=− −1 Il profilo di concentrazione nello strato di plasma, scritto usando c w come parametro, risulta pertanto: ������������( ������������) = é−1 ������������������������ é−1 DIAGRAMMA DEL PROFILO DI CONCENTRAZIONE NELLO STRATO DI PLASMA Il profilo cresce secondo un andamento esponenziale a partire da c 0 in x = 0 fino a c w in x = δ 3) In condizioni di esercizio, la portata di ultrafiltrazione del dispositivo è risultata circa 1/3 di quella prevista in fase di progetto. Si cerchi una possibile interpretazione. Come dimostrato al punto 2.2, la concentrazione delle proteine in corrispondenza della membrana, c w , assume un valore incrementato rispetto al valore fisiologico, c 0 , utilizzato per i calcoli in fase di progetto. Questo fenomeno è noto, ed è detto effetto di polarizzazione delle proteine. Riprendendo la (1) ed esplicitandola per la pressione oncotica, Π, il valore che spiega una riduzione di Q UF da 6000 ml/h a Q UF = 2000 ml/h risulta: Π=∆������������− ������������������������������������ ������������������������������������ =55.6 ������������������������������������������������−2000 ������������������������ ℎ 200������������������������ ℎ ������������������������������������������������ =( 55.6−10) ������������������������������������������������=45.6 ������������������������������������������������ Risolvendo la (2) per tentativi, oppure facendo uso di un metodo numerico, a questo valore di pressione oncotica corrisponde all’incirca una C p = 10 g/dl, che rappresenta ragionevolmente il valore incrementato, c w , assunto dalla concentrazione delle proteine plasmatiche in corrispondenza della membrana per effetto della polarizzazione. c(x) c0 cw v x = 0 x = δ