Biomedical Engineering - Fondamenti di Statistica e Segnali Biomedici

Appunti completi segnali biomedici

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Introduzione ai biosegnali (20.04.2022) Un segnale biomedico (biosegnale) è una grandezza fisica di origine biologica (ad es. differenza di potenziale, valori di pressione, flusso…) che varia in funzione di una o più variabili indipendenti (ad es. tempo, spazio, …). = segnali biologici portano informazione sullo stato dei sistemi biologici, sul sistema, sull’organo, sul processo che lo ha generato. L’informazione contenuta dipende dall’organo che l’ha generata quindi posso usare i segnali come sonde che da nno informazioni sul funzionamento dell’organo. Un segnale non è una singola misura ma una misura che evolve in funzione del tempo o può essere una grandezza che varia in funzione di un’altra grandezza. =n generale non è una singola misura ma una sequenza di misure. Elettroencefalogramma (EEG) L’elettroencefalogramma è una misura della differenza di potenziale tra gli elettrodi posti sul c apo. È una misura non invasi va dell’attività a livello della corteccia cerebrale. Nell’ EEG non ci sono onde chiare che si ripetono simili, ci sono oscillazioni , il segnale fluttua attorno a un valore medio , alcune aree hanno fluttuazioni coordinate e ritmiche, altre meno. Ha caratteristiche simili a un segnale di tipo stocastico, la variabilità è definita da un parametro statistico che descrive le proprietà del segnale. I neuroni hanno una precisa conformazione geometrica perciò è possibile fare una misurazione dell’EEG in superficie quando un certo numero di neuroni si attiva contemporaneamente. Per questo l’EEG non è dato da delle oscillazioni così chiare, perché dipend e dall’attivazione più o meno sincrona a livello della corteccia. Il segnale presenta fluttuazioni, alcune più lente altre più veloci. In una crisi epilettica alcune aree si sincronizzano. Nel caso dell’EEG è la diversità che mostra uno stato di salute. No n si parla di forma d’onda ma di ritmi , di come il segnale fluttua intorno al valor medio. Ci sono ritmi diversi in diversi intervalli di frequenza. Il sistema di misura principalmente utilizzato è il sistema 10 -20 il cui nome deriva dal fatto che, presi d ei punti di riferimento (Nasion e I nion), si dividono gli spazi in segmenti del 10 o 20% del totale sia lungo la linea che separa gli emisferi sia perpendicolarmente ad essa su tutta la sua lunghezza. C’è simmetria sia tra gli emisferi sia tra parte occipi tale e parte frontale. Vanno coperte tutte le aree cerebrali. A seconda delle patologie si osservano variazioni in certe aree piuttosto che in altre. Elettrocardiogramma (ECG) L’elettrocardiogramma è una misura dell’attività elettrica del cuore legata al suo ritmico contrarsi organizzato e sequenziale tra atri e ventricoli. La contrazione di atri e ventricoli è legata a un’ onda di depolarizzazione e ripolarizzazione delle fibre di atri e ventricoli che fa sì che atri e ventricoli si contraggano in maniera sincrona in modo che l’attività del cuore come pompa risulti efficiente. L’ECG è dato da una serie di onde che si ripetono in sequenza una in fila all’altra con una certa regolarità ; ciò è detto ritmo sinusale normale . Se non ci sono problemi, visto un b attito i successivi sono simili. C’è un certo determinismo . Il segnale ECG deriva da una sequenza di attivazioni ordinate di atri e ventricoli, fondamentali affinché il cuore svolga il suo lavoro di pompa. Gli atri si riempiono -> contrazione degli atri -> i ventricoli si riempiono -> contrazione dei ventricoli. Atri e ventricoli devono contrarsi in maniera ordinata. Il cuore è dotato di un sistema di conduzione dell’impulso che fa sì che l’impulso nasca da una parte eccitabile, detta nodo seno -atriale , che si autoeccita ritmicamente : esso genera un potenziale d’azione che stimola tutte le fibre a valle. Batte lo stesso anche se manca lo stimolo dal sistema nervoso autonomo (che in realtà funge da controllo). Nella prima fase ho la depolarizzazione di tutt e le cellule dell’atrio. Essa risulta nell’ onda P nell’ECG. La ripolarizzazione porta alla contrazione degli atri. Tra l’attivazione delle fibre atriali e ventricolari c’è un delta temporale ( 100ms ) dovuto al fatto che l’impulso si sposta da atri e ventric oli attraverso un solo punto (atri e ventricoli sono elettricamente separati) , il nodo atrio -ventricolare , che ritarda la propagazione elettrica che altrimenti sarebbe troppo veloce: i ventricoli si contrarrebbero prima di essere pieni. Gli atri sono picco li quindi l’impulso raggiunge tutte le cellule più o meno contemporaneamente. I ventricoli sono più grandi quindi per farli contrarre allo stesso tempo c’è un sistema di conduzione , NAV -> fascio di Hys -> poi ci sono due linee di conduzione veloce in modo che la contrazione sia coordinata. La depolarizzazione del ventricolo genera il complesso QRS . Tutte le fibre hanno zona di plateau , poi c’è la ripolarizzazione che causa l’ onda T . Aritmia : un battito è anticipato e ha una forma diversa, perché qualche cellula del ventricolo ha fatto partire un potenziale d’azione prima quindi la propagazione segue un percorso diverso. Una singola aritmia isolata non è problematica. Aritmia = alterazione del ritmo. =l sistema di misura dell’ECG utilizza 12 derivazioni ; derivazione = misura di differenze di potenziali o tra due elettrodi (derivazione bipolare) o tra un elettrodo e un potenziale di riferimento (unipolare). Gli elettrodi vanno messi sul braccio destro, sinistro e piede sinistro per le derivazioni che giacci ono sul piano frontale, cioè I, II, III, aVF , aVL , aVR ; le prime tre sono bipolari , le ultime tre sono unipolari (a = augmented). Sono sei misure prese da tre elettrodi: per la legge delle maglie, solo due sono indipendenti, le altre vengono ricostruite. G li elettrodi identificano un potenziale di riferimento, il terminale centrale di Wilson , che è la media dei potenzial i registrati tra braccio sinistro, destro e gamba sinistra. Le altre sei sono dette precordiali e sono ottenute posizionando elettrodi partendo a sinistra e destra dello sterno e procedendo negli spazi intercostali da destra a sinistra. Sono unipolari perché misurano la differenza di poten ziale tra ciascun elettrodo e il terminare centrale di Wilson . Forniscono informazioni sull’attività elettrica cardiaca sul piano trasversale. Queste sei sono tra loro misure circa indipendenti. Con queste informazioni ricostruisco una quantità vettoriale de tta bipolo cardiaco . Elettromiogramma (EMG) L’elettromiog ramma è ottenuto posizionando elettrodi in prossimità del muscolo da analizzare. Ogni volta che il muscolo si contrae recluta un certo numero di fibre, si ha un attività a burst . L’EMG è una serie di burst seguite da calma piatta, il segnale si evidenzia s olo quando il muscolo lavora, l’ampiezza dei burst è correlata al numero di fibre reclutate. Tre segnali di tre tipologie diverse: essi vengono analizzati da algoritmi diversi. Per avere informazioni da un segnale è necessario che sia stato standardizzat o un sistema di misura (es. misura dell’ECG). = biosegnali portano informazione, ma la sola analisi visiva non è sufficiente. L’ elaborazione dei segnali biomedici mira ad estrarre informazioni clinicamente rilevanti contenute nei segnali : - ridurre la soggettività di misure manuali e ne aumenta l’ accuratezza e la riproducibilità; - estrarre parametri (misure) per caratterizzare il segnale ed estrarre l’informazione di interesse clinico/diagnostico; - ridurre il rumore di misura. Metodi: - filtraggio e rimozione degli artefatti; - riconoscimento di eventi; - estrazione di caratteristiche ; - analisi spettrale ; - … L’analisi del segnale deve tenere conto che di altre informazioni, ad esempio provenienti da altri sensori. Possono esserci fonti di rumore esogene o endogene (es. l’ECG mentre misuro la respirazione). Classificazione dei segnali:  Natura del segnale :  elettrica;  meccanica;  chimica  …  Modalità di acquisizione /Strumentazione :  in laboratorio;  monitoraggio;  dispositivi indossabili;  …  Apparato /sistema d’interesse :  cardiovascolare;  neurosensoriale;  muscolo scheletrico;  motorio;  …  Caratteristiche del segnale :  deterministico;  stocastico;  periodico;  aperiodico;  … I segnali periodici possono essere scomposti in un numero al limite di sinusoidi con frequenze che sono multipli del periodo del segnale. Segnali digitali (22.04.2022) Un segnale analo gico è una qualsiasi variabile fisica misurabile da un sistema biologico. Trasduttori convertono una grandezza fisica in segnale elettrico. Il segnale viene poi ampl ificato. Questa prima parte di analisi e preprocessing avviene del dominio analogico , in cui il segnale è descritto da una funzione continua nel tempo . Prima dei calcolatori l’analisi veniva fatta nel dominio analogico (più complicato). Ora tutta l’analisi e l’elaborazione vengono fatte nel dominio digitale perché è più facile progettare filtri o metodi di elaborazione più performanti e con maggiore fless ibilità. Nell’analogica filtri ecc. sono strumenti fisici che nel tempo vanno incontro a deterioramento. Un filtro digitale è una serie di numeri in un calcolatore. La conversione AD è costituita da due operazioni fondamentali: - campionamento : converte una funzione/forma d’onda/segnale continuo nel tempo. Campionare = convertire un segnale in una serie di numeri , leggere un segnale continuo in precisi istanti di tempo. Un se gnale campionato è una grandezza che in analogico è funzione continua del tempo, in digitale si converte in una serie di valori chiamati campioni (samples) che vanno a leggere l’ampiezza del segnale in specifici intervalli di tempo. Intervallo di campionamento ⪋⪔: ◊⥛ tra una lettura e a successiva. L’inverso è la frequenz a di campionamento ⪗⪔, che esprime il numero di campioni al secondo; - quantizzazione : si discretizzano le ampiezze del segnale campionato . In un segnale reale la grandezza fisica può assumere un valore continuo sull’asse delle ordinate, invece un segnale quantizzato può assumere valori su una serie di li velli prestabiliti , che dipendono dalla codifica numerica di questi valori. Usiamo un numero finito di li velli che fa sì che le ampiezze del segnale analogico vengano rappresentate in una serie di nuove amp iezze che non sono più continue ma discrete. Un segnale campionato è discreto sia nel tempo sia nell’ampiezza dei suoi valori . Bisogna scegliere con accuratezza la frequenza di campionamento e il numero dei li velli perché si rischia di distruggere l’inform azione portata dal segnale. Il segnale campionato è la versione di ⥟(⥛) osservata a multipli dell’intervallo ⥁ⷡ. Gli istanti di tempo in cui il segnale analogico x viene letto sono gli istanti di tempo identificati dalla variabile ⥕⥁ ⷡ con n appartenente all’insieme dei numeri naturali (con n=0 istante presente). L’asse delle ascisse è espresso in termini di tempo (sec) o può essere una serie di indici (0, 1, 2…) perché c’è un legame diretto tra indici e tempo. Il segnale a tempo discreto ⥟[⥕] si ottiene campionando ⥟(⥛) cioè prendendo solo alcuni valori di ⥟(⥛), uniformemente spaziati nel tempo , ⥟(⥕⥁ ⷡ) di un intervallo ⥁ⷡ. Quanto frequentemente devo leggere i valori del segnale per non perdere informazioni? Cioè, come scegliere ⥁ⷡ e ⥍ⷡ? Il teorema del campionamento dice che d ato un segnale analogico ⥟(⥛) la cui banda di frequenze sia limitata dalla frequenza massima ⥍ⷑ, il segnale ⥟(⥛) può essere univocamente ricostruito a partire dai suoi campioni ⥟(⥕⥁ ⷡ) se ⥍ⷡ= ⵀ ⷘ⻙> ╿▹⥍ⷑ. Data la frequenza di campionamento, la sua metà è detta frequenza di Nyquist ⪗⪅. Fenomeno dell’ aliasing : frequenze presenti nel segnale superiori alla frequenza di Nyquist vengono equivocate ed interpretate come altre frequenze . Avendo scelto una ⥍ⷡ, bisogna eliminare tutte le componenti eventualmente presenti oltre la frequenza di Nyquist prima del campionamento. Le componenti eliminate possono essere dovute a rumore oppure a dettagli in alta frequenza (componenti veloci) del segnale che non si vuole (o non si può) acquisire. Prima del campionamento pongo un filtro passabasso ( filtro anti -aliasing ) che fa passare le frequenze fino a ⥍ⷒ e cancella quelle superiori . Il filtro dipende dal segnale e dall’applicazione. Dato uno s tesso segnale, a seconda delle informazioni che voglio estrarre, la frequenza di campionamento può essere differente . Frequenza di campionamento più alta significa maggiori dettagli ma anche processi di elaborazione più complicati. Un segnale quantizzato è un segnale la cui rappresentazione avviene su un numero finito ( n) di livelli . Il segnale da campionare ha una dinamica D (variazione attesa) . L’ampiezza del livello di quantizzazione è data dalla formula : ⪢= ⩻ ⪟. Il passo di quantizzazione determina la precisione della conversione di un segnale da analogico a digitale. L’errore di quantizzazione ha come valore massimo la metà del la differenza tra i livelli , quindi per ridurlo devo ridurre la distanza tra i livelli. =dealmente voglio l’error e più piccolo possibile, che implica aumentare n. I livelli di quantizzazione di un segnale numerico vengono normalmente rappresentati in forma binaria. Il numero di livelli n dipende dal numero di bit L utilizzati per la codifica. La quantizzazione è espr essa in n o in L, ma in ogni caso le cose sono legate dalla formula: ⪟ = ⳦⪃. Problema della saturazione ( overflow ): bisogna limitare o amplificare il segnale in ingresso per sfruttare tutta la dinamica del quantizzatore . Per questo esiste l’amplificatore, che adatta la dinamica del segnale a quella del convertitore. 1 Segnali digitali fondamentali Impulso : ⧧[⥕]= {╾⏬⥕= ╽ ╽⏬⥕≠ ╽ Treno di impulsi : ◊ⷘ[⥕]= ◎ ⧧[⥕− ⥒] ⷁⷩⵋⵊⷁ Segnale generico : ⥟[⥕]= ◎ ⥟[⥒]⧧[⥕− ⥒] ⷁⷩⵋⵊⷁ Un segnale generico è un treno di impulsi di ampiezze diverse. È descrivibile come una sommatoria di prodotti tra le varie ampiezze e ciascun impulso traslato. Segnali sinusoidali : ⥟[⥕]= ⤮ⴿ⊐⊜⊠ [⧼ⴿ⥕+ ⧹] ⤮ⴿ ampiezza ⧼ⴿ pulsazione [rad/campioni] ⥁ⴿ periodo [campioni] ⧹ fase [rad] ⥍ⴿ= ⵀ ⷘ⸷ frequenza [1/campioni] ⧼ⴿ= ⵁ⸢ ⷘ⸷= ╿⧳⥍ⴿ limiti sulla pulsazione : ⧼ⴿ⥁ⷡ= ╿⧳⥍ⴿ⥁ⷡ≤ ⧳❧ ⥍ⴿ≤ ⵀ ⵁⷘ⻙= ⷤ⻙ ⵁ= ⥍ⷒ (risultato del teorema del campionamento , oltre si ha aliasing ). Sinusoide comple ssa : ⥟[⥕]= ⥌ⷨ⸫⸷ⷬ= ⊐⊜⊠ [⧼ⴿ⥕]+ ⥑⊠⊖⊛ [⧼ⴿ⥕] Il segnale x[n] può essere visto come un vettore di modulo unitario e fase ⧼ⴿ⥕, ovvero ⧼ⴿ assume il significato di passo angolare per ogni campione. Operatori Operatore ritardo : ⥟[⥕]❧ ⥟[⥕− ⥒] Prodotto scalare (due segnali della stessa lunghezza N): ⥋= ◎ ⥟[⥒]⥠[⥒] ̅̅̅̅̅̅ ⷒⷩⵋⵀ = ⥟▹⥠ⷘ= ␌⥟␌␌⥠␌⊐⊜⊠ (⧫). I campioni del segnale sono visti come gli elementi di un vettore. Se x//y il prodotto è massimo, se x ⟂y il prodotto è nullo. cos( θ) è una misura della “vicinan za” tra x e y. Convoluzione : ⥠[⥕]= ◎ ⥟[⥒]⥏[⥕− ⥒]= ⥟[⥕]⟦⥏[⥕] ⷁⷩⵋⵊⷁ . Prodotto scalare del segnale con una funzione a differenti ritardi. Proprietà del la convoluzione:  commutativa  associativa  distributiva  convoluzione con un impulso: ⥠[⥕]= ◎ ⧧[⥒− ▁]⥟[⥕− ⥒]= ⥟[⥕− ▁] ⷁⷩⵋⵊⷁ . Significa spostare il segnale sull’impulso. Trasformata lineare di un segnale : ⥋[⧤]= ◎ ⥟[⥒]⥠[⥒⏬⧤] ⷒⷩⵋⵀ Prodotto scalare su una famiglia di funzioni. Se esiste la trasformata inversa, allora il segnale può essere ricostruito dalle sue trasformate : ⥟[⥕]= ◎ ⥋[⧤]⥠[⥕⏬⧤] ⸓ . La trasformata proietta il segnale x[n] su una famiglia di funzioni, ciascuna delle quali è detta base. Le basi sono ortogonali se ⣎⥠[⥕⏬⧤]⏬⥠[⥕⏬⧥]⣏= ╽ ⥐⥍ ⧤≠ ⧥. Se le basi sono ortogonali, questo significa che ogni proiezione contien e informazioni non ridondanti rispetto alle altre e il segnale può essere ricostruito “retroproiettando” dalle basi. Trasformata discreta di Fourier (26 -29.04.2022) L’analisi dei segnali richiede spesso di spostarsi dal dominio del tempo al dominio della frequenza. Passare nel dominio della frequenza permette di evidenzia re le principali componenti oscillatorie o armoniche del segnale: - scomposizione del segnale e analisi armonica; - caratterizzazione dei sistemi lineari e loro risposta; - progetto dei filtri lineari. La DFT per un segnale x[n] disc reto è così definita (equazione di analisi ): ⪏[⪜]= ◎ ⪩[⪟]⪖ⵊ⪛⳦⫕⪜⪅⪟ ⪅ⵊ⳥ ⪟ⵋⳤ , con k={0,1,2,…N -1} che è il parametro che identifica una classe all’interno della famiglia di funzioni. La DFT permette di ottenere a partire da N valori nel dominio del tempo, N valori nel dominio delle frequenza, con pulsazioni multiple di 2 π/N (o ⥍ⷩ= ⷩ ⷒ multiple di ⵀ ⷒ). Dalla definizione vediamo che l’estrazione della k -esima componente in frequenza X[k] avviene attraverso un prodotto scalare del segnale con la k -esima sinusoide considerata. Le sinusoidi complesse sono le basi della trasformata DFT. X[k] è in generale un numero complesso : viene quindi rappresentato in modulo e in fase su due grafici diversi. Entrambe le rappresen tazioni non sono continue nelle frequenze ma sono multiple di una pulsazione. Il prodotto scalare di due sinusoidi di diversa frequenza che sono basi della DFT è nullo: le basi sono ortogonali . Quindi l e X[k] contengono componenti non ridondanti del segnale originale. Infatti: ◎ ⥌ⷨ⸹⼚⻡⸹⻊ ⷬ⥌ⵊⷨ⸹⼚⻡⸸⻊ ⷬ ⷒⵊⵀ ⷬⵋⴿ = ◎ (⥌ⷨ⸹⼚(⻡⸹⹂⻡⸸) ⻊ ⷬ)ⷬ ⷒⵊⵀ ⷬⵋⴿ = { ◎ ╾ⷬ= ⤻⏬⥚⥌ ⥒ⵀ= ⥒ⵁ ⷒⷬⵋⵀ ⷣ⻠⸹⼚(⻡⸹⹂⻡⸸) ⻊ ⻊ⵊⵀ ⷣ⻠⸹⼚(⻡⸹⹂⻡⸸) ⻊ ⵊⵀ = ╽⏬⥚⥌ ⥒ⵀ≠ ⥒ⵁ dove si è sfruttata la proprietà: ◎ ⥙ⷬ= ⷰ⻊ⵊⵀ ⷰⵊⵀ ⷒⵊⵀ ⷬⵋⴿ . Se le basi fossero ortonormali oltre che ortogonali, il prodotto scalare sarebbe uguale a 1. La DFT proietta il segnale su sinusoidi complesse (assimilabili a versori). Poiché le basi sono ortogon ali, è possibile ricostruire il segnale dalle sue proiezioni tramite l’ equazione di sintesi : ⪩[⪟]= ⳥ ⪅◎ ⪏[⪜]⪖⪛⳦⫕⪜⪅⪟ ⪅ⵊ⳥ ⪜ⵋⳤ . Il seg nale può essere immaginato come scomposto in differenti componenti oscillatorie, ciascuna con una frequenza. La DFT dice il peso di ciascuna componente sinusoidale del segnale. Il calcolo della DFT richiede N prodotti per ogni sinusoide e, siccome le sinusoidi sono N, complessivamente avremo una complessità computazionale di o( ⤻ⵁ). La Fast Fourier Transform (FFT ) è un algoritmo di calcolo dei coefficienti della DFT computazionalmente efficiente. Divide il calcolo degli N coefficienti della DFT in due DFT di dimensioni p iù piccole ⤻ⵀe ⤻ⵁ con ⤻ = ⤻ⵀ⤻ⵁ. Si può dimostrare c he è possibile eseguire il calcolo degli N valor i della DFT con una complessità computazionale o( ⤻⤻ⵀ+ ⤻⤻ⵁ). Nel caso in cui ⤻ = ╿ⷑ allora si ha o( ⤻ ⊙⊜⊔ ⵁ⤻). Esempi di DFT  Impulso: ⥅[⥒]= ◎ ⧧[⥕]⥌ⵊⷨ⸹⼚⻡⻊ⷬ ⷒⵊⵀ ⷬⵋⴿ = ╾ ⟕⥒⏯  Esponenziale complessa (con ⧼ⴿ multiplo di ⵁ⸢ ⷒ): ⥅[⥒]= ◎ ⥌ⷨ⸹⼚⻡⸷⻊ ⷬ⥌ⵊⷨ⸹⼚⻡⻊ⷬ ⷒⵊⵀ ⷬⵋⴿ = ◎ ⥌ⵊⷨ⸹⼚(⻡⹂⻡⸷) ⻊ ⷬ ⷒⵊⵀ ⷬⵋⴿ = ⤻⧧ [⥒− ⥒ⴿ].  Coseno/seno (con ⧼ⴿ multiplo di ⵁ⸢ ⷒ): ⥅[⥒]= ◎ ⊐⊜⊠ [ⵁ⸢ⷩ⸷ ⷒ ⥕]⥌ⵊⷨ⸹⼚⻡⻊ⷬ ⷒⵊⵀ ⷬⵋⴿ = ⷒ ⵁ⧧[⥒− ⥒ⴿ]+ ⷒ ⵁ⧧[⥒+ ⥒ⴿ].  Esponenziale complessa (con ⧼ⴿ NON multiplo di ⵁ⸢ ⷒ): i n questo caso ⥒ⴿ non è un i ntero, quindi l’espressione è più complessa (⥒ⴿ non è tra le frequenze che posso usare perché non è un intero; il contributo di questa frequenza viene quindi sparpagliato tra le altre: questo effetto è detto spectral leakage). Proprietà  Linearità : ⥡[⥕]= ⥈⥟ [⥕]+ ⥉⥠ [⥕]❩ ⥇[⥒]= ⥈⥅ [⥒]+ ⥉⥆ [⥒].  Inversione temporale : ⥟[−⥕]❩ ⥅[−⥒]= ⥅[⤻ − ⥒]. S e inverto il segnale nel dominio del tempo, viene invertito anche nel dominio delle frequenze.  Coniugazione ⥟[⥕] ̅̅̅̅̅̅❩ ⥅[−⥒] ̅̅̅̅̅̅̅̅= ⥅[⤻ − ⥒] ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅  Sequenza x[n] reale (x[n]=x*[n]): ⥅[⥒]= ⥅[−⥒] ̅̅̅̅̅̅̅̅= ⥅[⤻ − ⥒] ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅. Se la sequenza è reale, il suo complesso coniugato è il segnale stesso. La trasf ormata del seg nale è uguale alla trasformata invertita del complesso coniugato, perciò se il segnale è reale i coefficienti della DF T sono simmetrici . Data la DFT di un segnale reale, per verificare che sia corretta bisogna innanzitutto verificare che sia simmetrica; se non c’è simmetria, o sono sbagliati i calcoli o il segnale non è reale. Serie di Fourier La serie di Fourier è un’es pansione di una funzione periodica ⥟(⥛)= ⥟(⥛+ ⥁) di periodo T e integrabile in [0,T] in termini di una somma infinita di sinusoidi (seni e coseni con frequenze multiple di una frequenza fondamentale ⥍ⴿ= ⵀ ⷘ). ⥟(⥛)= ⿘ ⥊[⥒]⥌ⷨⵁ⸢ⷘⷩⷲ ⷁ ⷩⵋⵊⷁ ⏬ ⥊[⥒]= ╾ ⥁⾼ ⥟(⥛)⥌ⵊⷨⵁ⸢ⷘⷩⷲ⥋⥛ ⷘ ⴿ La serie di Fourier considera infinite sinusoidi , invece la DFT ne considera solo N perché viene calcolata a partire da un segnale con N campioni. La DFT è periodica con periodo N, quindi le frequenze superiori alla N - esima si rica vano dalle prime N. ⥅[⤻ + ⥒]= ⿘ ⥟[⥕]⥌ⵊⷨⵁ⸢(ⷒⵉⷩ) ⷒ ⷬ ⷒⵊⵀ ⷬⵋⴿ = ⿘ ⥟[⥕]⥌ⵊⷨⵁ⸢ⷒⷒ ⷬ⥌ⵊⷨⵁ⸢ⷩⷒ ⷬ ⷒⵊⵀ ⷬⵋⴿ = ⿘ ⥟[⥕]⥌ⵊⷨⵁ⸢ⷩⷒ ⷬ ⷒⵊⵀ ⷬⵋⴿ = ⥅[⥒] DFT: il segnale campionato è rappresentabile come una serie di sinusoidi con frequenze tutte multiple di ⵀ ⷒ. SDF: un segnale continuo è rappresentabile come somma di al limite infinite sinusoidi con frequenze tutte multiple di ⵀ ⷘ. The picket -fence effect e lo zero -padding La DFT scompone il segnale in N componenti sinusoidali, multiple di una frequenza minima ⵁ⸢ ⷒ, quindi non tutte le frequenze vengono calcolate. I valori della DFT sono tanto più fitti quanto più N è elevato (aumentare N significa aumentare il numero di campioni). La tecnica dello zero -padding consiste nell’aggiungere degli zeri fittizi al segnale, che non aggiungono alcuna informazione, ma servono solo per infittire la DFT. L’uso dello zero -padding può aiutare a meglio identificare i picchi o le componenti dello spettro. Siccome abbiamo aggiu nto una serie di zeri al segnale, non abbiamo aggiunto alcuna informazione. L’aggiunta di zeri viene anche utilizzata per ottenere una sequenza di lunghezza N che sia una potenza i ntera di 2 per poter usare l’algoritmo FFT e rendere il calcolo computaziona lmente più veloce. Discrete Time Fourier Transform Per ⤺ ❧ ◆ la DFT tende ad una nuova trasformata: la DTFT , che diventa continua nelle frequenze (per ⤺ ❧ ◆ si ha ⵀ ⷑ ❧ ╽). Si noti che non ha un utilizzo pratico perché non si può avere ⤺ ❧ ◆. ⥅(⥍)= ⿘ ⥟[⥕]⥌ⵊⷨⵁ⸢ⷤⷬ ⷁ ⷬⵋⵊⷁ Segnale finestrato I campioni che prendo non sono necessariamente multipli della periodicità del segnale (⪅ ≠ ⪅ⳤ). In questi casi, il segnale che sto analizzando non è quello originale: non faccio la trasformata del segnale periodico origina le, ma solo del segnale periodico che ho tagliato . Tagliare il segnale significa moltiplicarlo per una funzione finestra w, che ad esempio vale 1 nei punti considerati, 0 negli altri ( questa è detta funzione rettangolare implicita): ⪩̃[⪟]= ⪨[⪟]⪩[⪟]. Per an alizzare l’effetto di una finestratura (implicita) dobbiamo capire come diventa la DFT del segnale finestrato. Un segnale che è prodotto di altri due segnali ha DFT uguale alla convoluzione circolare delle trasformate dei sue segnali. Il prodotto nel domin io del tempo diventa la convoluzione nel dominio delle frequenze . Allora la DFT di un segnale finestrato diventa la convoluzione (circolare) tra la trasformata del segnale e quella della finestra: ⫫(⥟̃[⥕])= ⫫(⥞[⥕])⟦⫫(⥟[⥕]). (Siccome la DFT considera il segnale come periodico, non posso fare la convoluzione di segnali limitati, la devo fare rendendo i segnali periodici; si dice circolare perché quando finisce un’onda ricircola, affinché anche il risultato sia periodico) DFT di una finestra rettangolare: ◎ ⥌ⵊⷨ⸹⼚⻡⻉ⷬ= ◎ ⥌ⵊⷨ⸹⼚⻡⻉ⷬ= ⷒⵊⵀ ⷬⵋⴿ ⷑⵊⵀ ⷬⵋⴿ ⷣ⹂⻠⸹⼚⻡⻉⻊ⵊⵀ ⷣ⹂⻠⸹⼚⻡⻉ ⵊⵀ = ⷣ⹂⻠⼚⻡⻉⻊ ⷣ⹂⻠⼚⻡⻉ ⵼⵲⵷ [⼚⻡⻉ⷒ] ⵼⵲⵷ [⼚⻡⻉]= ⥌ⵊⷨ⼚⻡⻉(ⷒⵊⵀ)⵼⵲⵷ [⼚⻡⻉ⷒ] ⵼⵲⵷ [⼚⻡⻉] Il modulo della funzione seno cardinale periodico ha un picco ( lobo principale ) di ampiezza N e larghezza inversamente proporzionale a N. Al crescere di N il picco diventa sempre più alto e stretto. I lobi laterali hanno oscillazioni ( ripples ) che decrescono all’aumentare di N. Lo spettro del segnale è costituito da una serie di impulsi a specific he frequenze. Per effetto della convoluzione, il seno cardinale periodico viene replicato su ogni impulso, ottenendo un effetto chiamato spectral leakage : le componenti armoniche sono spalmate su più frequenze . Ho introdotto delle frequenze che non ci sono , quindi si ha un versamento. Esso si origina dalle discontinuità che si vengono a creare dalla replica del segnale nella finestra (la discontinuità richiede tante sinusoidi per essere descritta). Consideriamo un segnale composto da due sinusoidi con freq uenze ⥍ⵀ e ⥍ⵁ. Con risoluzione in frequenza di intende la capacità di riconoscere come distinte nella DFT queste due sinusoidi . In pratica, ciò accade se i due lobi principali legati alla finestratura implicita non sono troppo vicini, e quindi se: ◊⫞ = ⧼ⵀ− ⧼ⵁ≥ ⳦⫕ ⪅ ◊⪗= ⥍ⵀ− ⥍ⵁ≥ ⳥ ⪅ Notare che la larghezza del lobo dipende da N, ma non da M (quindi lo zero -padding non migliora la risoluzione in frequenza ). Se la finestra implicita rettangolare limita eccessivamente la risoluzione, posso pensare di adott are una finestra diversa. Ne esistono varie: Più è piatta, più rispetta le derivate, più elimino le discontinuità, quindi i ripple sono più bassi. Le finestre più dolci sono più strette nel tempo quindi in frequenza hanno un lobo principale più largo, perdendo risoluzione in frequenza. Il grafico a destra mostra come ci sia un trade -off tra larghezza del lobo principale e ampiezze dei lobi laterali : lobo principale stretto -> lobi laterali alti. L’unico modo per avere lobi più stretti e ripple più bassi è aumentare il numero dei campioni. In sintesi: discreto in un dominio -> periodico nell’altro. Nel dominio della frequenza un segnale campionato è periodico di periodo ⵀ ⷘ⻙. Da cui, imponendo ⥁ⷡ❧ ╽, ricavo la trasformata in frequenza di un segnale continuo: Quindi il segnale campionato diventa in frequenza la replica dello spettro del segnale continuo a intervalli ⵀ ⷘ⻙. Da queste considerazioni deriva l’enunciato del teorema del campionamento di Shannon : la frequenza di campionamento deve essere almeno doppia rispetto alla massima frequenza presente nella banda occupata dal segnale, ovvero ⪗⪔> ⳦⪗⪄ (⥍ⷑ=B nel grafico). Se le repliche si sovrappongono, si confondono le frequenze: è aliasing . Trasformata Z ⪏(⪫)= ⿘ ⪩[⪟]⪫ⵊ⪟ ⷁ ⪟ⵋⵊⷁ ⥊⥖⥕ ⥡= ⥌ⷨ⸫ La trasformata Z si calcola sulla circonferenza unitaria del piano complesso z, cioè nei punti ⥡= ⥌ⷨ⸫ , con ⧼ ⟛[−⧳⏬⧳]. Proprietà:  operatore ritardo : ⥟[⥕− ⥒]❧ ⥅[⥡]⥡ⵊⷩ  convoluzione : ⥟[⥕]⟦⥏[⥕]❧ ⥅[⥡]▹⤵[⥡]. Filtri digitali (29.04.2022 -06.05.2022 ) Un filtro digitale 1-D è un sistema che riceve un segnale digitale in ingresso (serie di numeri) e lo trasforma in un nuovo segnale in uscita in cui certe proprietà del segnale in ingresso sono amplificate o depresse. È definito da una trasformazione ⪋[ ] le cui proprietà definiscono le caratteristiche del filtro. Utilizzo dei filtri:  Miglioramento del rapporto segnale/rumore (SNR), in genere quando segnale e rumore occupano bande diverse: o eliminazione di componenti in frequenza non utili; o riduzione del ru more di rete; o eliminazione di artefatti.  Estrazione di caratteristiche/onde : o detezione di onde; o estrazione di componenti ritmiche (es ritmi EEG). Classificazione:  Filtri lineari/non lineari: un filtro è lineare se vale la seguente relazione: ⥁⽮⥈⥟ [⥕]+ ⥉⥠ [⥕]⽲= ⥈⥁ ⽮⥟[⥕]⽲+ ⥉⥁ [⥠[⥕]].  Filtri tempo -invarianti/tempo -varianti: un filtro è detto tempo -invariante se la trasformata T[] che lo definisce non dipende dal tempo ; s e il segnale in ingresso è ritardato, l’uscita sarà uguale all’uscita ritardata. Un modo per c aratterizzare le proprietà di un filtri LTI è quello di studiarne le risposte a segnali di caratteristiche note. Due tipologie di segnali che sono rilevanti per definire tali proprietà nei filtri LTI sono l’impulso e le sinusoidi a differenti frequenze. Risposta all’impulso Si supponga di inviare in ingresso ad un filtro un impulso δ[0] e di valutarne l’uscita che chiamiamo h[n]. La risposta all’impulso definisce in maniera univoca le proprietà del filtro e permette di: - calcolare l’uscita del filtro per q ualunque ingresso; - valutare le causalità/anti -causalità del filtro; - valutare la stabilità del filtro; - definire diverse tipologie di filtro. Per un segnale generico (esprimibile sempre come somma di impulsi ritardati e modulati in ampiezza) si ricava che l’ uscita di un filtro LTI è ottenuta come convoluzione dell’ingresso con la risposta all’impulso del filtro . Un filtro è detto causale se l’uscita y[n] per un generico istante n* dipende dai valori dell’ingresso x[n] definiti solo per valori di n ≤n* . La cond izione di causalità è molto importante se la variabile indipendente è il tempo e se si tratta di un sistema fisico: se il sistema non fosse causale infatti significherebbe che l’uscita del sistema sarebbe in funzione di ingressi futuri. Nel caso di filtri digitali esistono anche filtri anti -causali. Condizione necessaria e sufficiente perché un filtro sia causale è la seguente: ⪙[⪟]= ⳤ ⟕⪟< ⳤ. Un filtro è detto stabile se, dato un ingresso x[n] limitato in ampiezza, l’uscita y[n] è anch’essa limitata . Condi zione necessaria e sufficiente perché un filtro sia stabile è la seguente: ◎ ␌⪙[⪟]␌ ⷁ⪜ⵋⵊⷁ < +◆. Se la risposta all’impulso h[n] è una sequenza di durata finita, il filtro corrispondente è detto FIR (finite impulse response). Il filtro FIR è stabile per definizione: ◎ ␌⪙[⪟]␌ ⷁ⪜ⵋⵊⷁ ⠨ ◎ ␌⪙[⪟]␌ ⪅⪜ⵋⳤ < +◆. Se la risposta all’impulso h[n] è una sequenza di durata infinita, il filtro corrispondente è detto IIR (infinite impulse response). La stabilità non è garan tita. Condizione necessaria per la stabilità: ⤟⤜⤠⪟❧ⷁ␌⪙[⪟]␌❧ ⳤ. Filtri in serie: ⪙⪔[⪟]= ⪙⳥[⪟]⟦⪙⳦[⪟] Filtri in parallelo: ⪙⪔[⪟]= ⪙⳥[⪟]+ ⪙⳦[⪟] Risposta in frequenza In un sistema LTI, una sinusoide in ingresso ad una certa pulsazione appare in uscita come una sinusoide alla stessa pulsazione , ma con ampiezza e fase cambiate . Al variare del valore della pulsazione delle sinusoidi in ingresso ottengo una funzione H[ ω] chiamata risposta in frequenza del filtro. H[ ω] è un numero complesso. La risposta viene rappresentata con due diagrammi: diagramma di modulo e diagramma di fase. Il modulo è espresso in decibel (dB) secondo la relazione: (ⷒ⸸ ⷒ⸹)ⷢⷆ = ╾╽ ⊙⊜⊔ ⵀⴿ (ⷒ⸸ ⷒ⸹). L’asse delle ascisse (frequenze) è spesso espresso in frequenze normalizzate [0 π], con π che corrisponde a ⷤ⻙ ⵁ. Grazie alla DFT posso sempre vedere il segnale come somma di sinusoidi: ⥟[⥕]= ◎ ⥅[⧼ⷩ]⥌ⵊⷨ⸫⻡ⷬ ⷩ ❧ ⥠[⥕]= ◎ ⤵[⧼ⷩ]⥅[⧼ⷩ]⥌ⵊⷨ⸫⻡ⷬ ⷩ . Faccio la DFT di y[n]: ⥆[⧼]= ◎ ⤵[⧼ⷩ]⥅[⧼ⷩ]⧧(⧼ − ⧼ⷩ) ⷩ = ⤵[⧼]⥅[⧼]. Classificazione in base al modulo della risposta in frequenza: - filtro passa -basso , lowpass (LP): fa passare le basse frequenze da 0 a una certa cut -off frequency ⥍ⷮ (frequenza di taglio) e blocca le alte frequenze ; - filtro passa -alto , highpass (HP): fa passare le alte frequenze da una certa cut -off frequency ⥍ⷮ alla frequenza di Nyquist (o a π) e blocca le frequenze più basse; - filtro passa -banda , bandpass (BP): fa passare un certo intervallo di frequenze [ ⥍ⵀ, ⥍ⵁ], che non include lo 0, e blocca le altre frequenze; - filtro arresta -banda , bandstop (BS): blocca un certo intervallo di frequenze [⥍ⵀ, ⥍ⵁ], che non include lo 0, e fa passare le altre frequenze. Dai grafici a lato si ricava l’importanza della fase: - fase costante : il segnale in uscita (rosso) è praticamente sovrapposto al segnale in ingresso (nero). - fase lineare : il segnale in uscita (azzurro) è una versione scalata e ritardata del segnale in ingresso (nero) – stessa morfologia . - fase non lineare : il segnale in uscita (blu) ha una morfologia diversa dal segnale in ingresso (nero). La risposta in frequenza H[ ω] è la DFT della risposta all’impulso h[n]: infatti, nel dominio del tempo (mediante risposta all’impulso) si ha ⥠[⥕]= ⥟[⥕]⟦⥏[⥕], nel dominio della frequenza (mediante risposta in frequenza) si ha ⥆[⧼]= ⤵[⧼]⥅[⧼], applicando la DFT alla prima espressione si ricava ⥆[⧼]= ⥅[⧼]⫫(⥏[⥕]), che è equivalente alla seconda espressione. Relazione ingresso -uscita Le relazioni ingresso -uscita di un fil tro LTI sono descrivibili, in forma generale dalla seguente equazione alle differenze : ⥠[⥕]= ◎ ⥈ⷩ⥠[⥕− ⥒] ⷏ⷩⵋⵀ + ◎ ⥉ⷫ⥟[⥕− ⥔] ⷑⷫⵋⴿ . La prima parte è detta auto -regressiva e dipende solo dalle precedenti uscite del filtro. La seconda parte è detta media mo bile e dipende dai valori del segnale in ingresso. ⥈ⷩ e ⥉ⷫ sono costanti nel tempo (trattiamo filtri TI) e li scelgo per modulare la risposta come voglio. Se applico la trasformata Z a entrambi i membri dell’equazione, ricavo ⥆[⥡]= ◎ ⥈ⷩ⥆[⥡]⥡ⵊⷩ ⷏ⷩⵋⵀ + ◎ ⥉ⷫ⥅[⥡]⥡ⵊⷫ ⷑⷫⵋⴿ , da cui si ricava H[z] , detta funzione di trasferimento del filtro : ⩿[⪫]= ⪐[⪫] ⪏[⪫]= ⪓ⳤ⪫⪂ⵊ⪄ⵉ⳥◍ (⪫ⵊ⪫⪞) ⪄⹂⳥ ⪞⹃⳥ ◍ (⪫ⵊ⪫⪡) ⪂⪡⹃⳥ . Dedurre la stabilità da H[z]:  un sistema LTI è asintoticamente stabile (converge a zero se non perturbato) se e solo se tutti i poli si trovano all’interno del cerchio di raggio unitario, ␌⥗ⷩ␌< ╾;  se ␌⥗ⷩ␌< ╾ tranne che per alcuni poli con ␌⥗ⷩ␌= ╾ non sovrapposti (molteplicità pari a 1) allora il sistema è semplicemente stab ile (se non perturbato mantiene uno scostamento o delle oscillazioni di ampiezza costante rispetto allo 0);  con almeno un polo fuori dal cerchio di raggio unitario o poli sovrapposti sul cerchio unitario (molteplicità superiore a 1) il sistema è instabile . In un sistema causale , il numero di zeri non può essere superiore a numero dei poli, e quindi il grado del polinomio al numeratore non può essere superiore al grado del polinomio al denominatore (ovvero M10 -15 Hz. Devo quindi realizzare un filtro passa -banda con le frequenza d’interesse. Si usa un filtro derivatore per amplificare le componenti del complesso QRS rispetto alle altre onde del segnale al fine di eseguire il riconoscimento del l’onda mediante l’applicazione di una soglia sulla derivata . La soglia deve essere sia positiva sia negativa (la polarità del picco dipende dalla derivazione). Il picco R corrisponderà al punto di attraversamento dello zero della derivata tra due picchi d i segno opposto nella derivata stessa. La soglia funziona se applicata alla derivata e non al segnale di partenza poiché questo può presentare delle oscillazioni. Se l’ampiezza o la morfologia variano, occorre rendere adattativo il valore di soglia variando tale valore in base agli ultimi valori di soglia trovati. In presenza di rumori ad alta frequenza, questi vengono amplificati dall’operazione derivata (ed erroneamente interpretati come picchi del QRS), perciò vanno ridotti prima di applicare la derivata. Algoritmo di Pan -Tompkins : si esegue un filtraggio passa -banda per rimuovere le frequenze non di interesse prima dell’operazione di derivazione; successivamente si esegue la quadratura , cioè si ricava il valore assoluto del segnale, in modo da avere i picchi di segno concorde; si smussa no le possibili oscillazioni applicando la media mobile ; infine si applica la soglia. Riconoscimento mediante template Consideriamo il caso in cui il segnale sia caratterizzato da una forma d’onda nota (template ) che si vuole riconoscere in un tracciato. Il template può essere fissato a priori : è una forma nota che si vuole riconoscere in ogni tracciato da esaminare. Altrimenti la forma d’onda può essere estratta da un tratto del singolo tracciato scegliendo una specifica onda o la media di più onde: la forma scelta sarà cercata poi in tutto il tracciato; l’estrazione delle onde usate per determinare il template può essere fatta con un algoritmo basato sul contenuto in frequenza (vedi sopra) o manualmente come par te di una procedura semi -automatica.  Metodo della distanza segnale -template : Scelto un template w[k] con k=[0,…N -1], lo si trasla rispetto al segnale ( w[n]=w[k -n]) calcolando la distanza d[n] come norma della differenza tra template e campioni del segnale : ⪕[⪟]= ␌⪨[⪟]− ⪪⪅[⪟]␌. Si cerca un minimo di d[n], che viene confrontato con una soglia th ; se il minimo è sotto soglia, l’evento è individuato. Con le convenzioni della figura, questo indica l’inizio dell’onda: gli altri punti fiduciari (es. il massimo) si ottengono per traslazione. Esistono diverse misure della distanza segnale -template, che corrispondono a diverse definizioni della norma di un vettore.  norma L1 : ␌⪕␌⳥= ◎ ␌⪕[⪜]␌ ⪅ⵊ⳥ ⪜ⵋⳤ ; facilità di calcolo (somme e differenze); poco sensibile a rumore impulsivo (valori errati = outliers);  norma L2 : ␌⪕␌⳦= ⾲◎ ⪕[⪜]⳦ ⪅ⵊ⳥ ⪜ⵋⳤ ; sotto opportune ipotesi, nei punti di minima distanza tende alla potenza (varianza) del rumore.  norma L ◆: ␌⪕␌ⷁ = ⤠⤔⤫ [⪜ⵋⳤ⏬⳥⏬⏰⏬⪅ⵊ⳥]␌⪕[⪜]␌; sensibile al rumore (occorre un filtraggio preventivo); tollerante rispetto a differenze di morfologia. Vantaggi: semplice e di facile implementazione. Svantaggi:  la distanza da t emplate è sensibile a derive lente (oscillazioni della linea di base); queste comportano variazioni locali del valor medio m del segnale, che causano un aumento pari a |m| di L1 e L◆ e pari a ⊚ⵁ di L2; occorre un filtraggio preventivo passa -alto o derivator e (ovviamente il template va scelto sul segnale filtrato o derivato);  la distanza è anche sensibile alle variazioni di ampiezza (es . il segnale ECG è spesso modulato in ampiezza dai movimenti respiratori); le differenze in ampiezza non devono essere disc riminate, occor re una preventiva equalizzazione (normalizzazione).  Metodo della cross -correlazione : il metodo della cross -correlazione calcola il prodotto scalare tra template e segnale per diverse porzioni del template (w[n]=w[n -k]): ⫈⪪⏬⪨[⪟⏬⪜]= ⪪⪅[⪟]▹⪨[⪟]. La funzione che si ricava è nota come cross -correlazione. Si cerca il massimo di γ[n,k], che viene confrontato con una soglia th ; se il massimo è sopra soglia, l’evento è individuato. Anche la cross -correlazione soffre di problemi legati a var iazioni di ampiezza del segnale. Per ridurre queste dipendenze, si utilizza la cross - correlazione normalizzata : ⫈⪪⏬⪨[⪟⏬⪜]= ⪪⪅[⪟]▹⪨[⪟] ␌⪪⪅[⪟]␌⳦▹␌⪨[⪟]␌⳦. È compresa nell’intervallo [ -1,1] essendo equivalente al coseno dell’angolo compreso tra i vettori w[n] e ⊦ⵝ[⊛]. È possibile descrivere il metodo della cross -correlazione come un esempio di filtraggio. Il filtro che si ricava prende il nome di matched fil ter . Ad un generico istante n, la cross -correlazione vale ⧦ⷷ⏬ⷵ[⥕⏬⥒]= ⥠ⷒ[⥕]▹⥞[⥕]= ◎ ⥠[⥕+ ⥑]⥞[⥑] ⷨ o con un cambio di variabile n+j=k ⧦ⷷ⏬ⷵ[⥕⏬⥒]= ◎ ⥠[⥒]⥞[⥒− ⥕]= ◎ ⥠[⥒]⥏[⥕− ⥒] ⷩ ⷩ da cui si evince che il filtro matched coincide con la cross - correlazione se com e risposta all’impulso del filtro prendo il template ribaltato nel tempo . In questo caso, l’andamento è simile a quello della cross -correlazione ma:  il segnale ottenuto non è normalizzato,  i picchi sono ritardati rispetto ai complessi (N -1 campioni),  si no ta un transitorio di inizializzazione del filtro per i primi N -1 campioni. Processi stocastici (13.05.2022) In un segnale stocastico, il valore della funzione y in un generico istante y[n] non è definito ma viene trattato come una variabile casuale con una distribuzione di probabilità p(y[n]) . Il segnale ⥠ⷩ[⥕] è così visto come una delle tante possibili realizzazioni di un processo stocastico. Le diverse realizzazioni di uno stesso processo condividono le stesse caratteristiche ma i segnali non son o copie esatte dello stesso fenomeno. Per definire completamente un processo stocastico occorre conoscere:  la distribuzione di probabilità p(y[n]) per ogni n;  le distribuzioni congiunte p(y[n], y[m]) per ogni (n,m) , n ≠m, fino ad ogni ordine p(y[n], y[m], y[p], …, y[z]) per ogni (n, m, …, z). Spesso ci si limita alle distribuzioni mono - e bivariate e di queste ai momenti di primo (valor medio) e di secondo (varianza e covarianze) ordine. Il valor medio è il valore atteso (baricentro) E{y[n]} della distribuz ione di probabilità p(y[n]) (con ⥠ⷩ[⥕] il valore sulla k -esima realizzazione): ⩼{⪪[⪟]}= ◎ ⪪⪜[⪟]⪡(⪪[⪟]) ⪜ . Come per ogni variabile causale, la varianza Ⳗ⳦ esprime la dispersione intorno al valore atteso: ⪍⪒⪣ {⪪[⪟]}= ⫗⪪[⪟] ⳦ = ◎ (⪪⪜[⪟]− ⩼{⪪[⪟]})⳦⪡(⪪[⪟]) ⪜ . La deviazione standard σ esprime la dispersione intorno al valore atteso nella stessa unità dell’ampiezza di y[n] e viene anche indicata come ampiezza efficace del segale (il vantaggio rispetto alla misura della varianza è di avere la stessa unità di misura d ella media). Il coefficiente di variazione ⫗ ⩼(⪪⳥) esprime in percentuale il rapporto fra ampiezza efficace e valor medio (polarizzazione del segnale): ⩺⪍ {⪪[⪟]}= ⫗⪪[⪟] ⩼{⪪[⪟]}. La funzione di autocorrelazione (ACF ) considera la similarità di un proces so casuale con sé stesso: ⫈⪩⏬⪩[⪟⏬⫙]= ⩼{⪩[⪟]⪩[⪟+ ⫙]}. Nel caso di un processo stocastico, la funzione definisce le relazioni del processo stesso a diversi lag (intervalli -τ) temporali. Serve per caratterizzare le proprietà del processo. Studia come esso varia a diversi istanti. Non dipende da n se il processo è stazionario. È una funzione pari : γ(-τ)= γ(τ). Sottraendo la media prima della moltiplicazione produce la funzione di autocovarianza : ⪜⪩⏬⪩[⪟⏬⫙]= ⩼{(⪩[⪟]− ⪞ )(⪩[⪟+ ⫙]− ⪞ )}= ⫈⪩⏬⪩[⪟⏬⫙]− ⪞ ⳦. Un processo bianco è un processo stocastico in cui la conoscenza di un campione non dice niente sui campioni successivi. Ogni campione del segnale è scorrelato da tutti gli altri , produce un risultato diverso da 0 solo se confrontato con sé stesso. Invece, un processo colorato presenta campioni in qualche modo correlati tra loro. La stazionarietà (invarianza nel tempo) richiede che le proprietà statistiche non dipendano da un riferimento temporale assoluto. In termini statistici, p(y[n]) deve essere uguale pe r ogni n e p(y[n], y[n+1], …, y[n+…]) deve dipendere solo dalle distanze temporali tra campioni. La stazionarietà debole si limita a considerare i momenti di primo e secondo ordine:  E{y[n]}=m; valor medio costante del processo;  Var{y[n]}= ⑛ⵁ; varianza costante ;  E{y[n] ∙y[n+τ]}=γ(τ)+ ⊚ⵁ; correlazione dipendente solo dal ritardo τ . Un processo stocastico si dice ergodico quando le medie statistiche convergono quasi ovunque alle medie temporali . L’ipotesi di ergodicità (debole) consente di stimare le caratt eristiche (del primo e secondo ordine) di un processo stazionario dallo sviluppo temporale di una singola realizzazione del processo . La proprietà di ergodicità ha una grande importanza pratica perché di solito di sp oniamo di un unico tracciato del segnale. ⩼{⪪[⪟]}= ◎ ⪪⪜[⪟]⪡(⪪[⪟]) ⪜ ≈ ⳥ ⪅◎ ⪪[⪟] ⪅⪟ⵋ⳥ , ⫈⪩⏬⪩[⫙]= ◎ ⪩[⪜]⪩[⪜+ ⫙] ⪜ Come si può notare dal calcolo di valore atteso, basato sulla distribuzione di prob abilità di p(y[n]), viene sostituita una media temporale: osservando il segnale per un tempo sufficientemente lungo (N grande) si suppone di avere un’esatta rappresentazione statistica del valore e delle combinazioni di valori del processo. In molti prob lemi di elaborazione di segnali si con sid era un segnale misurato ⊦⿧, somma di un segnale ideale y e di un rumore w (per comodità supposti a media nulla). Il segnale può essere descritto come deterministico o come un processo stocastico ; il rumore viene descritto come un processo stocastico indipendente dal segnale o almeno scorrelato da esso. La scor relazione permette di ricavare la varianza (ACF) di ⊦⿧ come somma della varianza (ACF) del segnale e del rumore: ⫗⤬⿧⳦= ⫗⤬⳦+ ⫗⤪⳦. Da ciò si vede che può valere la pena confrontare i due termini a destra dell’uguale per capire quale termine prevale: si introduce il rapporto segnale -rumore (Signal -to-Noise Ratio, SNR): ⪊⪅⪉ = ⫗⪪⳦ ⫗⪨⳦, ⪊⪅⪉ ⪕⩹ = ⳥ⳤ ⤟⤢⤚ ⳥ⳤ(⫗⪪⳦ ⫗⪨⳦). Detezione di eventi – Potenziali evocati (13 -17 .05.22) È frequente lo studio di risposte fisiologiche evocate da un evento esterno (es. uno stimolo sensoriale) che può essere ripetuto un numero indefinito di volte. Questa situazione si presenta quando la risposta d’interesse riguarda i potenziali relativi all’a ttivazione di vie nervose (tratti, nuclei o gangli, aree corticali) a seguito di uno stimolo: per questo si parla di potenziali evocati . [Altre volte si rilevano potenziali nervosi legati ad una azione volontaria: si parla di potenziali evento -relati.] Anc he se la singola risposta ⊠⵴[⊛] (in ⊥⵴[⊛]= ⊠⵴[⊛]+ ⊤⵴[⊛]) è nascosta da un SNR sfavorevole (segnale e rumore appartengono alle stesse frequenze), può essere estratta attraverso un procedimento di media sincrona. I potenziali evocati sono risposte elettriche a stimoli sensoriali misurate da elettrodi sulla superficie corporea (quasi sempre sullo scalpo). A cosa servono:  diagnosi di lesioni nel particolare sistema sensoriale esaminato (uditivo, visivo, somatico) ;  evidenziano disfunzioni dell’intero sistema nervos o. = potenziali evocati sensoriali si originano in seguito alla stimolazione di un organo sensoriale quale l’occhio, l’orecchio, la cute con uno stimolo visivo, acustico ed elettrico rispettivamente. Grazie al PE può essere studiato il percorso dello stimo lo dalla periferia al sistema nervoso centrale. I PE sono classificabili a seconda di:  sede del sistema nervoso che genera il campo elettrico:  risposte delle aree corticali (uditivi, visivi, somatosensoriali);  risposte dei nuclei intermedi (potenziali del tronco encefalico – brain stem responses);  tipo di stimolazione utilizzata:  PE acustici : click, burst;  PE somatosensoriali : impulsi elettrici applicati alla cute;  PE visivi : flash, immagini strutturate fisse, immagini strutturate alternanti (pattern revers al). Nella figura è riportata l’ampiezza in funzione del tempo di un PE ottenuto da immagini strutturate alternanti (pattern reversal). Le onde positive sono rappresentate verso il basso (P), quelle negative verso l’altro (N). =l numero indica la latenza caratteristica , cioè l’intervallo dall’inizio della presentazione dello stimolo. Su una risposta si misurano i valori di ampiezza e latenza dei picchi. Le componenti di un PE sono distinte in base alla latenza, ovvero in base all’intervallo temporale tra lo stimolo e la componente desiderata:  componenti precoci (≤20 msec ): relativi alle vie nervose ed al tronco encefalico;  componenti intermedie (20 -200 msec ): relativi alle aree corticali sensoriali;  componenti lente (fino oltre 300 msec ): relativi a processi corticali cognitivi. Questa distinzione ha un’importanza pratica: infatti, anche se uno stesso stimolo evoca tutti e tre i tipi di risposta in successione, per focalizzare una di queste si adottano diversi accorgimenti tecnici, circa: 1) il tip o di stimolo, 2) la posizione degli elettrodi, 3) il numero di ripetizioni, 4) la cadenza della ripetizione, 5) l’amplificazione, 6) la banda amplificata. Potenziali evocati visivi Sono potenziali di media latenza misurati a livello della corteccia visiv a occipitale . Si usano stimoli quali flash , ma lo stimolo più frequente è quello di pattern reversal , si presenta su un monitor una figura a scacchi bianchi e neri e l’inversione improvvisa dei colori rappresenta lo stimolo; il picco più significativo è il P100 . Potenziali evocati uditivi Si registrano da elettrodi al lobo dell’orecchio con elettrodo di riferimento al vertice del capo ed elettrodo di terra frontale; lo stimolo viene dato tramite cuffia ed è un burst (tono breve) o un click (impulso), ipsi -laterale o contro -laterale (misuro dallo stesso lato dove ho dato la stimolazione o dal lato opposto). Potenziali importanti dal punto di vista clinico sono quelli a breve latenza (entro 10 msec) relativi alla risposta dei nuclei nervosi presenti nel tronco encefalico (ABR, Auditory Brainstem Responses). La presenza di una risposta ABR indica oggettivamente il funzionamento del sistema uditivo ed anche più in generale una capacità di risposta del tronco encefalico (brainstem). Si disting uono 5 onde sig nificative da I e V; di queste sono importanti soprattutto le latenze: non è importante la loro ampiezza, quanto il fatto che effettivamente ci siano e si presentino a determinati intervalli. Potenziali evocati cognitivi Componenti lente (oltre 300 msec ) relative a processi corticali cognitivi . Il cervello elabora l’informazione: lo stimolo percepito viene elaborato e classificato, perciò stimoli diversi vengono distinti. Estrazione dei potenziali evocati In caso di SNR molto sfavorevole (es. EEG di fon do in mV copre il PE in μV), cioè quando segnale e rumore hanno contenuto il frequenza simile, non è possibile utilizzare filtri tradizionali. Sfruttiamo le diverse caratteristiche del segnale e del rumore: il rumore è stocastico e stazionario, il segnale è deterministico e transiente. La risposta è sempre la stessa se lo stimolo non cambia: posso usare l’ algoritmo della media sincrona per distinguerlo dal rumore. L’algoritmo della media sincrona sfrutta il fatto che uno stimolo causa una risposta sincronizzata allo stimolo stesso. Passo da un segnale y(t) funzione del tempo, in cui sono date N ripetizioni dello stimolo ai tempi ⊡ⵀ⏬⊡ⵁ⏬⏰ ⏬⊡ⵝ, a N segnali ⤬⤞(⤧⤉⤌), funzioni del tempo riferito all’istante dello stimolo ⊡ⵟⵢ (tempo post -stimolo), che descrivono le risposte del sistema dopo ciascuno stimolo. Modello: il potenziale ⥟⵴[⊛] del k-esimo stimolo è dato dalla somma di un segnale evocato deterministico ⊠⵴[⊛] e di un rumore casuale ⊤⵴[⊛] asincrono rispetto allo stimolo: ⊥⵴[⊛]= ⊠⵴[⊛]+ ⊤⵴[⊛]. Ipotesi del modello:  additività segnale -rumore: ⊥⵴[⊛]= ⊠⵴[⊛]+ ⊤⵴[⊛];  il contributo del segnale ad ogni singola ripetizione è lo stesso, cioè s non varia al variare dell a k - esima ripetizione: ⤦⤞[⤡]= ⤦[⤡];  il rumore è un processo casuale stazionario , scorrelato , a valore medio nullo e varianza Ⳗ⳦: ⤲{⥞[⥕]}= ╽⏬⥃⥈⥙ {⥞[⥕]}= ⑛ⵁ. Una stima di s[n]