Biomedical Engineering - Meccanica dei Continui e delle Strutture

Saint Venant

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Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint-Venant Paragrafo: 5.1Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant 1797-1886 Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoCarico Assiale e Momento Flettente Paragrafo: 5.2 Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoElemento prismatico con assi y e z principali d’inerzia. Se al meno un piano di simmetria coincidente con xy o xz è presente, y e z sono assi principali d’inerzia. Solido soggetto a azione assiale costante applicata nel baricentro della sezioneIl problema di Saint VenantCarico Assiale Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantRiassunto : Carico AssialeStato di sforzo monoassiale σ = ( σ 0 0 0 0 0 0 0 0 ) σ = N A costante nella sezioneIl carico assiale N deve essere applicato al baricentro della sezione Lo stato di deformazione risulta ϵ = 1 E σ 0 0 0 − ν σ 0 0 0 − ν σ Stato di deformazione puramente dilatazionale xzy&La distribuzione di sforzo in una sezione generica di un solido alla Saint Venant soggetto a carico assiale è uniforme Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantFlessione RettaElemento prismatico con assi y e z principali d’inerzia. Se al meno un piano di simmetria coincidente con xy o xz è presente, y e z sono assi principali d’inerzia. Solido soggetto a momento flettente costante in direzione z Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantFlessione Retta. Considerazioni Carico: I carichi applicati sulle basi del prisma hanno risultante nulla. Soltanto il loro momento attorno ad uno degli assi principali d’inerzia delle basi (asse z in figura) è diverso di zero. xyz 0 = ∫ A σ xxd A 0 = ∫ A τxyd A 0 = ∫ A τxzd A 0 = ∫ A (τxzy − τxyz)d A Equivalenza elastica 0 = ∫ A σ xxzd A M z = − ∫ A σ xxy d A Risultante delle forzeRisultante dei momenti σ = σ (y ,z) 0 0 0 0 0 0 0 0 Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantFlessione Retta. Considerazioni Il piano nel quale agisce il momento (piano xy in figura) è detto piano di sollecitazione. La sua traccia nel piano della generica sezione (asse y in figura) è detta asse di sollecitazione xzyyyzM z Cinematica: Il piano di flessione coincide con il piano di sollecitazionexyz Il solido di Saint-VenantPolitecnico di Milano1.El momento flettente M z risulta identico in ogni generica sezione del solido i.e., la flessione risulta uniforme lungo x 2.Tra l’applicazione del momento M , la linea AB , originalmente retta, si deforma nella linea A’B’. La linea A’B’ appartiene a una circonferenza con centro O . 3.La stessa osservazione applica per la linea CD che si deforma nella linea C’D’ 4.La linea AB si accorcia i.e., | A’B’||CD| Osservazioni:Il problema di Saint VenantFlessione Rettaxzyy Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoA’B’C ’ D ’ M z M z OIpotesi fondamentale della flessione retta:“A deformazione avvenuta, le sezioni del prisma si mantengono piane e ortogonali all’asse deformato”Per un momento flettente M z, le sezioni ruotano rispetto all’asse z. L'estensione del piano delle sezioni si interseca nell'asse O diretto come z, i.e., la direzione del momento flettenteIl problema di Saint VenantFlessione Retta Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoA’B’C ’ D ’ M z M z OIl problema di Saint VenantFlessione Retta. Analisi cinematico (deformazione)mnmnSi consideri un generico tronco infinitesimo del solido di lunghezza dx come mostrato in figura Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantFlessione Retta. Analisi cinematico (deformazione) A B O A ' B' PSuperficie Neutra. (Linea neutra nel piano xy)QxyRS ⇢yy Generico tronco in configurazione deformatamnm ’ n ’ zyGenerica sezione del solidoAsse NeutroIl sistema di riferimento viene posizionato in coincidenza con l’asse neutro che si assume baricentro y Analisi cinematicod'La lunghezza iniziale del tronco mnm’n’ coincide con la lunghezza de la linea neutra PQ , e risulta L PQ =dx L PQ = ρ d β La lunghezza del segmento RS a una distanza y del asse neutro è L R S = (ρ − y )d β Il cambio di lunghezza del segmento RS risulta Δ L R S = L R S − L P Q = − y d β L’allungamento unitario in direzione x ϵxx = − y d β ρ d β ϵxx = − y ρ = c1y Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantFlessione Retta. Analisi cinematico (deformazione)L’allungamento unitario , varia linearmente con la distanza y dall’asse neutro ϵ xx xyz ϵxx = − y ρ = c1y Il massimo, in valore assoluto, dell’allungamento unitario , si corrisponde con la fibra più lontana dall’asse neutro ϵ xx ϵxx Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantFlessione Retta. EquilibrioCome per il caso di carico assiale, risulta immediato verificare che questa forma del tensore degli sforzi sodisfa l’equazioni indefinite d’equilibrio visto che la componente + xx non dipende di x σ = σ (y ) 0 0 0 0 0 0 0 0 + non è costante nella sezioneSi propone un tensore di sforzi della formaTramite l’equazioni di legame si tiene σ (y ) = − E ρ y = E c1y ∂ σ xx ∂ x + ∂ τxy ∂ y + ∂ τxz ∂ z = 0 Per altro, la condizione al contorno sulla superficie laterale viene banalmente soddisfatta essendo τxy = τxz = 0 Essendo le deformazioni funzioni lineari di y, le relazioni di congruenza interna vengo soddisfate banalmente. Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantFlessione Retta. Equilibrio 0 = ∫ A σ xxd A 0 = ∫ A τxyd A 0 = ∫ A τxzd A 0 = ∫ A σ xxzd A M z = − ∫ A σ xxy d A 0 = ∫ A (τxzy − τxyz)d A Per trovare Il valor di c1, o , , in termini del carico esterno e delle proprietà geometriche della sezione facciamo uso del principio di equivalenza statica in una generica sezione del solido ⟹ Risultante delle forzeRisultante dei momentixyzM z xyz σ x x ≡ Il solido di Saint-VenantPolitecnico di Milano ∫ A σ xxzd A = − E ρ ∫ A z y d A = 0 ⟹ ∫ A y zd A = Iyz = 0 0 = ∫ A σ xxd A = − E ρ ∫ A y d A ⟹ S z = 0 ∫ A τxyd A = ∫ A τxzd A = 0 ∫ A (τxzy − τxyz)d A = 0 Banalmente soddisfateSodisfatta perché y e z sono assi principali d’inerziaIl problema di Saint VenantFlessione Retta. EquilibrioSodisfatta perché il sistema di riferimento è baricentro. Quindi, l’asse neutro coincide con l’asse z. − ∫ A σ xxy d A = E ρ ∫ A y 2d A = E ρ Izz = M z ⟹ E ρ = − E c1 = M z Izz Izz è il momento d’inerzia rispetto all’asse z Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantFlessione RettaxyM z M z Momento flettente positivoCurvatura positivaxyM z M z Momento flettente negativoCurvatura negativa 1 ρ = κ = M z E Izz + è la curvatura dell’asse deformato EI zz è la rigidezza flessionale del prisma Formula di Euler-Bernoulli Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantFlessione Retta. Riassunto σ = σ (y ) 0 0 0 0 0 0 0 0 σ (y ) = − M z Izz y Lo stato di sforzo di un solido alla Saint-Venant soggetto a flessione retta rispetto all’asse z risulta Lo sforzo normale varia linearmente con la distanza y dall’asse neutro Il massimo , in valore assoluto, si corrisponde con la fibra più lontana dall’asse neutro σ xx Si tratta di una soluzione esatta per un solido alla Saint-Venant soggetto a un momento flettente costante coincidente con l’asse z xyz σxx Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantFlessione Retta. Riassunto ϵ = 1 E σ (y ) 0 0 0 − ν σ (y ) 0 0 0 − ν σ (y ) Il campo di deformazioni risultaStato di deformazione puramente dilatazionale Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantFlessione Retta. Un po di storiaGalileo-Galilei 1564-16421638 - “ Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno a due nuove scienze” ABDCAB Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantFlessione Retta. Un po di storiaJacob Bernoulli 1654-1705Ha postulato l’ipotesi fondamentale della flessione: “le sezioni del prisma si mantengono piani e ortogonali alla Lina elastica”ABDFCrO Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantFlessione Retta. Un po di storia C y00 (1 + y02)3/2= M (x) Daniel Bernoulli 1700-1782 (nipote di Jacob Bernoulli)Leonhard Euler 1707-1783Basati nel lavoro di Jacob Bernoulli, pubblicano nel 1750, in modo indipendente, la formula della flessione (linea elastica) Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantFlessione Retta. Un po di storiaC’è stato il primo a risolvere la distribuzione degli sforzi in un solido soggetto a flessione retta (1819)Claude-Louis Navier 1785-1836 Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoCuriosità: La formula della flessione non è stata usata in applicazioni fino alla fine del 1800, più di 50 anni dopo che Navier trovasi la soluzioneIl successo ottenuto con la costruzione di queste strutture l'ha reso una delle colonne fondamentali dell’ingegneria strutturaleTorre Eiffel 1889 (Expo Mondiale di Parigi)Ferris Wheel 1893 (Expo Mondiale di Chicago)Gustave EiffelGeorge WheelIl problema di Saint VenantFlessione Retta. Un po di storia Il solido di Saint-VenantPolitecnico di Milano1400150016001700180019002000OggiJacob BernoulliD. Bernoulli & EulerPrima aplicazione in ingegneria strutturaleUna teoria con più di 300 anni di storia però tan attuale come la prima pagina del giornale di questa mattinaIl problema di Saint VenantFlessione Retta. Un po di storiaNavier Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantFlessione Retta. Analisi cinematico (deformazione)Un’altra curiosità ….Leonardo da Vinci 1452-1519Folio 84 di un manoscritto trovato in 1967 nei seminterrati della Biblioteca Nacional de España a MadridPresenta le stesse osservazioni fatti da Jacob Bernoulli riguardanti la flessione di un solido prismatico (200 anni prima!!)Codex Madrid Ihttp://www.bne.es/en/Colecciones/Manuscritos/Leonardo/ Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantFlessione Retta. La linea elasticaTornando alla relazione di Euler-Bernoulli κ = M z E Izz Per una curva piana della forma , la curvatura è data da y = f(x ) κ = y ′ ′ [1 + (y ′ )2]3/2 Sotto l’ipotesi di piccoli deformazioni e spostamenti, si tiene y ′ ≪ 1 ⟹ κ ≈ y ′ ′ ∴ y ′ ′ = M z E Izz Equazione della linea elasticaQuesta espressione riveste importanza fondamentale nello studio delle trave inflesse. Di questa espressione è possibile determinare la inflessione dell’asse baricentrico del prisma. Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantFlessione Retta. Momento in direzione y σ = σ (z) 0 0 0 0 0 0 0 0 σ (z) = M y Iyy z Lo stato di sforzo di un solido alla Saint-Venant soggetto a flessione retta rispetto all’asse y risulta Lo sforzo normale varia linearmente con la distanza z dall’asse neutro (coincidente con l’asse y) Il massimo , in valore assoluto, si corrisponde con la fibra più lontana dall’asse neutro σ xx Come nel caso precedente, si tratta di una soluzione esatta, in questo caso, per un solido alla Saint-Venant soggetto a un momento flettente costante coincidente con l’asse y Il cambio di segno obedisce al fatto che un momento M y positivo causa una curvatura negativa del solido Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoFlessione DeviataIl problema di Saint VenantElemento prismatico con assi y e z principali d’inerzia. Se al meno un piano di simmetria coincidente con xy o xz è presente, y e z sono assi principali d’inerzia. Solido soggetto a momenti flettenti costante in direzione y e z Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoLa soluzione al problema si trova mediante il principio di sovrapposizioneFlessione DeviataCome nel caso di flessione retta, lo stato di sforzo si assume monoassiale σ = σ (y ,z) 0 0 0 0 0 0 0 0 σ (y ,z) = − M z Izz y + M y Iyy z Il problema di Saint VenantContributo di M z Contributo di M y A differenza della flessione retta, l’asse neutro no coincide con uno degli assi coordinati y o z. Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoFlessione Deviata. La linea neutraSapendo che l’asse neutro si corrisponde con i punti che soddisfano , cioè il luogo delle fibre che non sono né compresse né tese. L’equazione è pertanto data da σ xx = 0 Il problema di Saint Venant σ (y ,z) = − M z Izz y + M y Iyy z = 0 ⟹ y = Izz Iyy M y M z z yzM z M y θ tan θ = Izz Iyy M y M z Asse neutro Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoFlessione Deviata. La linea neutraPer il caso di flessione deviata, il piano di flessione non coincide necessariamente con il piano di sollecitazione (l’asse neutro non coincide con la direzione del momento risultante)Il problema di Saint VenantyzM z M y θ tan θ = Izz Iyy M y M z Asse neutroyzM z M y α tan α = M y M z MCoincidono solo quando il momenti d’inerzia Izz e Iyy sono uguali. Asse di sollecitazionePiano di flessione Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantPreso-(o Tenso-) FlessioneElemento prismatico con assi y e z principali d’inerzia. Se al meno un piano di simmetria coincidente con xy o xz è presente, y e z sono assi principali d’inerzia. Solido soggetto a momenti flettenti costante in direzione y e z e azione assiale N Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoQuesto problema compare anche nel caso di una forza assiale eccentrica rispetto al baricentro della sezioneIl problema di Saint VenantPreso-(o Tenso-) Flessione ≡ Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantPreso-(o Tenso-) FlessioneLo stato di sforzo si assume monoassiale σ = σ (y ,z) 0 0 0 0 0 0 0 0 L’asse neutro: σ (y ,z) = N A − M z Izz y + M y Iyy z = 0 y = N A Izz M z + M y M z Izz Iyy z σ (y ,z) = N A − M z Izz y + M y Iyy z Facendo uso del principio di sovrapposizione Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantPreso-(o Tenso-) Flessione. L’asse neutro y = N A Izz M z + M yIzz M zIyy z tan θ = Izz Iyy M y M z yzM z M y θ Asse neutro N A Izz M z La pendenza dell’asse neutro è la stessa che per il caso di flessione deviata, però il carico assiale sposta l’asse neutro rispetto al baricentro Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoFlessione con taglio costante Paragrafo: 5.4, 5.4.2 (pag. 204-210) Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoElemento prismatico con al meno un piano di simmetria e soggetto a taglio costante e momento flettenteSoluzione approssimativa di JourawskiIl problema di Saint VenantTaglio Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoConsiderazioni:Il problema di Saint VenantTaglio•Asse y di simmetria •Carico di taglio diretto come y e baricentri (coincidente con asse y ) •Materiale elastico lineare isotropo Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoPer una sezione a una distanza x dell’origine si tiene:Il problema di Saint VenantTaglio σ xx = − M z(x ) Iz y Lo sforzo normale varia di sezione a sezione dovuto a che M z non è più costante Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantTaglioStato di sforzo: σ = σ xx(x ,y ) τxy(y ,z) τxz(y ,z) τxy(y ,z) 0 0 τxz(y ,z) 0 0 ∂ τxy ∂ y + ∂ τxz ∂ z = − T y Izz y , in V Equazioni d’equilibrio τxyn y + τxzn z = 0, in Γ 0 = ∫ A σ xxd A T y = ∫ A τxyd A 0 = ∫ A τxzd A 0 = ∫ A (τxzy − τxyz)d A Equivalenza statica 0 = ∫ A σ xxzd A M z(x ) = ∫ A σ xxy d A Soluzione esatta per un numero limitato di casi Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantTaglio. Soluzione approssimativa di JourawskySoluzione basata nell’equilibrio ¯τ x y = 1 b ( y ) ∫ b τ x y d z Considerazioni: •Una corda (definita perpendicolare alla linea di azione del taglio) a una distanza y dell’asse baricentrico z •Lo sforzo tangenziale sulla corda si assume costante e uguale al valore medio dello sforzo sulla corda τ xy ¯τ x y y Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantTaglio. Soluzione approssimativa di JourawskyConsiderare un tronco del prisma di lunghezza dx La relazione di equilibrio indefinito del concio di lunghezza dx risulta − M z(x + d x ) + M z(x ) − T y d x = 0 d M z d x = − T y Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantTaglio. Soluzione approssimativa di JourawskySezionando il concio con un piano parallelo al piano xz passante l¡per la corda b ( y ) Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantTaglio. Soluzione approssimativa di JourawskyLa somma delle forze in x risulta: ∫ A * | σ xx | (x )d A * − ∫ A * | σ xx(x + d x ) | d A * − τxyd x b (y ) = 0 Ricordando la soluzione per la flessione retta σ xx(x ) = − M z(x ) Izz y σ xx(x + d x ) = − M z(x + d x ) Izz y = − M z(x ) + dM z dx d x Izz y . Sostituendo e ricordando d M z /d x = − T y τxy = T y b (y )Izz ∫ A * y d A τxy = T yS *z b (y )Izz Soluzione approssimativa di Jourawsky τyx τyx Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantTaglio. Soluzione approssimativa di Jourawsky τxy = T yS *z b (y )Izz Soluzione approssimativa di Jourawsky τxy e il momento statico dell’area sopra la corda S *z = ∫ A * y d A Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoIl problema di Saint VenantTaglio. Soluzione approssimativa di JourawskyLa componente dello sforzo & xz lungo la corda si ottiene dall’equazioni d’equilibrio ∂ τxy ∂ y + ∂ τxz ∂ z = − T y Iz y Derivando rispetto di z ∂ 2τxz ∂ z 2 = 0 Quindi τxz = A z + B Costante B= 0 dovuto alla simmetria rispetto all’asse y. Costante A si ottiene delle condizioni al contorno agli estremi della corda, per esempio: τxzn z + τxyn y = 0, z = b (y )/2 − τxzn z + τxyn y = 0, z = − b (y )/2 Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoPerformance della formula di Jourawsky Problemi di Saint VenantElemento prismatico con al meno un piano di simmetria e soggetto a azione assiale costanteAzione AssialeCasi P P Azione AssialexyzS, S11A = 200 mm 2 P = 200000 N L = 100 mm (Acciaio)Useremo questo esempio per dimostrare il principio di equivalenza statica di Saint-Venant, e il concetto di lunghezza di estinzione Azione Assialelunghezza d i estinzione Mappa di colore della componente degli sforzi longitudinale Azione Assiale Azione AssialexyzS, S11 Azione AssialeS, S11 Azione AssialeS, S11 Azione AssialexyzS, S11S, S11 Azione AssialeS, S11S, S11 Azione AssialeS, S11S, S11 Azione AssialeS, S11xyzS, S11S, S11 Azione AssialeS, S11S, S11S, S11 Azione AssialeS, S11S, S11S, S11 Azione AssialeS, S11S, S11S, S11xyzS, S11 Azione AssialeS, S11S, S11S, S11S, S11 Azione AssialeS, S11S, S11S, S11S, S11lungheza di estinzione M M Problemi di Saint VenantElemento prismatico con al meno un piano di simmetria e soggetto a momenti fl ettenti uguali Flessione RettaCasi Flessione RettaS, S11 Problemi di Saint VenantFlessione deviataCasiElemento prismatico con al meno un piano di simmetria e soggetto a momenti fl ettenti uniformi, M y e M z Flessione DeviataS, S11S, S11Linea Neutra Flessione Deviata. Sezione non SimmetricaCarico distribuito uniforme lungo asse Y Flessione Deviata. Sezione non SimmetricaLa asimmetria della sezione caus a che la fl essione sia deviata in questo caso Proiezione Piano yzSforzo Piano yzFlessione Deviata. Sezione non SimmetricaLinea Neutrayz Flessione Deviata. Sezione non SimmetricaLa equazione generalizzata della fl essione per il caso di sezioni non simmetriche x= MzIy+MyIyz IzIyI2yz y+ MyIz+MzIyz IzIyI2yz z Note che se yz sono assi principali d’inerzia ricaviamo le relazione ottenute previamente a lezione x= Mz Izy+ My Iyz Problemi di Saint VenantPreso-/Tenso-FlessioneCasiElemento prismatico con al meno un piano di simmetria e soggetto a momenti fl ettenti uguali e azione assiale Tenso-/Preso-Flessione DeviataS, S11S, S11Tenso-Flessione DeviataPresso-Flessione Deviata Problemi di Saint VenantElemento prismatico con al meno un piano di simmetria e soggetto a taglio costante e momento fl ettente Ta g l i o Casi M 1 M 0 P P Ta g l i oxyS, S11La contribuzione del taglio in strutture snelle è relativamente piccolo rispetto al momento flettente Distribuzione dello sforzo S12 lungo il solido dov e si mostra la lunghezza di estinzione lunghezza d i estinzione S, S13S, S12 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 z/b 70 72 74 76 78 ! xy , MPa Soluzione Numerica Soluzione di Jourawski Ta g l i o -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 y /h 0 20 40 60 80 ! xy , MPa Soluzione Numerica Soluzione di Jourawski Tensione tangenziale Sxy, soluzione di Jourawski e soluzione numerica, lungo la linea indicata in arancio.Tensione tangenziale Sxy, soluzione di Jourawski e soluzione numerica, lungo la linea indicata in azzurro. Ta g l i oyzbh -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 z/b 60 65 70 75 80 ! xy , MPa h:b=1 h:b=2 h:b=4 Soluzione di Jourawski Tensione tangenziale Sxy, soluzione di Jourawski e soluzione numerica, lungo la linea indicata in giallo per alcuni rapporti h/b tra i lati della sezione. Problemi di Saint VenantElemento prismatico con al meno un piano di simmetria e soggetto a momenti torcenti ugualiTo r s i o n eCasi lunghezza d i estinzione xyzTorsione Sezione RettangolarePiano yzMappa di colore della componente di spostamento longitudinalelunghezza d i estinzione Torsione Sezione RettangolareIngobbamento fuori piano delle sezioni trasversaliMappa di colore della componente di spostamento longitudinale Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoTaglioxyS, S11La contribuzione del taglio in strutture snelle è, in generale, relativamente piccolo rispetto al momento flettente Distribuzione dello sforzo ! xy lungo il solido dove si mostra la lunghezza di estinzione lunghezza di estinzione τxz Il problema di Saint Venant τxy σxx Il solido di Saint-VenantPolitecnico di Milano -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 z/b 70 72 74 76 78 ! xy , MPa Soluzione Numerica Soluzione di Jourawski TaglioTensione tangenziale ! xy , soluzione di Jourawsky e soluzione numerica, lungo la linea indicata in azzurro.2xy2xyIl problema di Saint VenantSoluzione NumericaSoluzione di Jourawsky -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 y /h 0 20 40 60 80 ! xy , MPa Soluzione Numerica Soluzione di Jourawski Soluzione NumericaSoluzione di JourawskyTensione tangenziale ! xy , soluzione di Jourawsky e soluzione numerica, lungo la linea indicata in arancio. Il solido di Saint-VenantPolitecnico di MilanoTaglioyzbh -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 z/b 60 65 70 75 80 ! xy , MPa h:b=1 h:b=2 h:b=4 Soluzione di Jourawski Tensione tangenziale ! xy , soluzione di Jourawsky e soluzione numerica, lungo la linea indicata in giallo per alcuni rapporti h/b tra i lati della sezione.2xyIl problema di Saint VenantSoluzione di Jourawsky