Biomedical Engineering - Biomeccanica

Full exam

Esercizio 1 (8 punti) In figura è mostrato uno schema rappresentativo della spalla sinistra di un individuo che pratica tiro alla fune (P = 150 N). AB rappresenta il braccio, DF rappresenta il collo e DG rappresenta il primo tratto della colonna (DG = 50 cm). L’asta CE rappresenta il muscolo deltoide (CD = ED = 10 cm). 1. Fare l'analisi cinematica del sistema, individuare i gradi di iperstaticità e calcolare le reazioni vincolari (1 punto) 2. Proporre il sistema reale e fittizio utili a calcolare le azioni interne della struttura tramite il principio dei lavori virtuali, esplicitando le azioni interne in funzione dell’incognita iperstatica. (4 punti) 3. Utilizzare il principio dei lavori virtuali e impostare l’equazione per ricavare il valore dell'incognita iperstatica (senza ricavarla), trascurando la deformazione del collo (Led = 0), e assumendo che il muscolo si contragga in modo isometrico (modulo elastico infinito). (2 punti) 4. Sapendo che la forza sviluppata dal deltoide (espressa dall’incognita iperstatica X) è 19 N si calcolino le azioni interne nel tratto del collo ED e si rappresentino graficamente. (1 punto) 1 PARTE. Esercizio 2 [4 punti] Un paziente, caratterizzato da una pressione aortica riportata in Figura.a, presenta un aneurisma dell’aorta ascendente assimilabile ad una sfera cava (Figura.b), di diametro iniziale D i,0 e spessore iniziale s 0 al momento della diagnosi (t = 0). 1. Il paziente viene operato quando l’aneurisma raggiunge un diametro D i = 55 mm ed uno spessore s = 0.36 mm. Si determini lo sforzo massimo sulla parete al momento della chirurgia [1 punto]. 2. Sapendo che l’aneurisma ha un carico di rottura ������������ ������������ = 1.25 Mpa e una crescita nel tempo (misurato in anni), tale per cui via via che il diametro accresce, lo spessore della parete diminuisce, secondo le relazioni riportate in figura, si dimostri che la teoria dei recipienti sottili è applicabile nel tempo e si determini dopo quanto tempo dalla diagnosi l’aneurisma sarebbe andato incontro a rottura della parete [1.5 punti]. 3. Si determini il massimo spessore che un graft cilindrico di raggio 2 cm (Figura.c), da utilizzare per la ricostruzione del tratto ascendente, può avere affinché valga la legge di Laplace, e si calcoli lo sforzo circonferenziale massimo agente su un graft di tale spessore [1.5 punti]. Soluzione Per i punti (1) e (2), lo sforzo sulla sfera è dato dalla teoria dei recipienti sottili in pressione essendo s R= 0.046 al momento della diagnosi (t = 0). Si osservi che, poiché lo spessore diminuisce nel tempo ed il raggio aumenta nel tempo, tale rapporto è una funzione decrescente nel tempo, quindi la teoria rimane sempre applicabile. Punto (1) Lo sforzo massimo al momento della chirurgia (dato da una pressione sistolica di 130 mmHg) è: σ=pR 2s =662 kPa Punto (2) Per determinare il tempo necessario perché l’aneurisma vada incontro a rottura (t = t R) poniamo σ=������������ ������������ nell’espressione dello sforzo agente sulla parete di una sfera cava in pressione (a 130 mmHg): σr=pR ( t r) 2s( t r)=p 2 1 2� D i ,0 +at � s 0−ct =p 4 Di ,0 +at s 0−ct →4σ r p ( s0−ct) =D i,0 +at→�a+c4σ r p � t=�4σ r p s0− D i,0� t r=� 4σ rp s0− D i,0� �a+c4σ rp � = 11.18 anni≃11 anni e 2 mesi Punto (3) La legge di Laplace è applicabile se s R≤0.1, quindi lo spessore massimo è: s=0.1⋅R=2 mm Il corrispondente sforzo circonferenziale massimo (dato da una pressione sistolica di 130 mmHg) è: σ ϑϑ =pR s →σ ϑϑ,max =173 kPa 2 PARTE. Esercizio 1 [4 punti] La clavicola è connessa alla scapola tramite un sistema di quattro legamenti principali, mostrati in Figura.a e schematizzati in Figura.b. Si consideri un caso di lussazione della spalla di grado I (cioè senza rottura dei legamenti), dovuta ad una lesione del legamento trapezoidale tale per cui per metà della sua lunghezza (quella superiore, connessa alla clavicola), la sezione trasversale del legamento è ridotta rispetto a quella del legamento sano. Siano K CA, K AC, K T, K C rispettivamente le rigidezze dei legamenti coracoacromiale (CA), acromionclavicolare (AC), trapezoidale (T) e conoide (C). Sia K’ T la rigidezza equivalente del legamento trapezoidale lesionato, schematizzabile con due molle in serie K T1 e K T2, rappresentanti rispettivamente il tratto superiore del legamento di sezione pari al 60% del legamento sano e il tratto inferiore di sezione pari a quella del legamento sano, entrambi di lunghezza pari a metà di quella del legamento sano. 1) Si completi lo schema in Figura.b rappresentando con un opportuno modello a parametri concentrati il legamento lesionato [0.5 punti]. 2) Si ricavi la rigidezza equivalente del legamento trapezoidale lesionato K’ T in funzione di quella del legamento sano K T [0.5 punti]. 3) Si determini l’espressione della rigidezza equivalente dell’intero sistema in funzione delle sole variabili K CA, K AC, K T, K C [1 punto]. 4) Supponendo il modulo di Young sia lo stesso per tutti i legamenti; che sia K AC=K C=K T e che il legamento CA abbia una lunghezza pari a 3/2 del legamento T e una sezione trasversale pari a 3/5 di quella del legamento T si ricavi la rigidezza equivalente dell’intero sistema in funzione della sola rigidezza del legamento trapezoidale K T [1 punto] e si calcoli la forza agente sul legamento trapezoidale lesionato (rappresentato da K’ T), rispetto alla forza agente sull’intero sistema [1 punto]. Soluzione Punto 1 Punto 2 KT ′=K T1 KT2 KT1 + K T2 KT1 = ET( 0.6) A T LT 2=1.2K T,K T2 = ETAT LT 2=2K T  K T ′= KT1KT2 KT1+K T2 = 2.4K T 2 3.2K T= 3 4KT Punto 3 Keq =K CA KAC KCA + K AC +K T ′+K C=K CA KAC KCA + K AC +3 4 KT+ K C Punto 4 KCA =E ⋅3 5 A 3 2 L =2 5 KT, K AC =K ������������=K T K eq =2 5 KT 2 7 5KT + 3 4 KT+ K T=57 28 KT La forza che agisce sulla lesione è la forza che agisce sul ramo centrale K T ′ essendo le molle K T1 ,K T2 in serie. F les Ftot =K T ′Δ l K eqΔl =3 4 KT 57 28 KT = 7 19 =0.37 2 PARTE. Esercizio 2 [4 punti] Si consideri il flusso di sangue (ρ=1050 kg/m 3, μ=0.004 Pa·s) attraverso la valvola aortica, rappresentato in figura. Sono mostrati il tratto di uscita dal ventricolo sinistro (LVOT), la valvola ed un tratto di aorta ascendente (AAo). Il flusso subisce una contrazione dovuta al passaggio attraverso la valvola, che riduce progressivamente l’area utile di passaggio dal valore GOA, pari all'area geometrica dell'orifizio, sino ad un valore EOA, pari all'area della minima sezione trasversale del getto. La pressione in uscita dal ventricolo sinistro è p LVOT = 130 mmHg ed il sangue fluisce con una velocità v LVOT = 1.2 m/s. I diametri delle sezioni in figura sono i seguenti: D LVOT = 3 cm, D GOA = 1.6 cm, D EOA = 1.55 cm, D AAo = 2.5 cm. Ipotizzando che il sangue sia un fluido ideale si svolgano i seguenti punti: 1. Si calcolino le velocità in corrispondenza delle sezioni GOA, EOA e AAo [1 punto] 2. Si tracci un grafico dell’andamento della pressione in funzione della coordinata z tra la sezione LVOT e AAo, indicando i valori in corrispondenza delle sezioni GOA, EOA e AAo. [3 punti] Soluzione Punto (1) La velocità in corrispondenza delle sezioni nei punti OA, EOA e AAo può essere ricavata applicando l’equazione di conservazione della massa: A LVOT vLVOT =A GOA vGOA =A EOA vEOA =A AAo vAAo DLVOT 2 vLVOT =D GOA 2 vGOA =D EOA 2 vEOA =D AAo 2 vAAo da cui si ottiene: vGOA =4.22 m s,vEOA =4.5 m s,vAAo =1.73 m s. Punto 2 Applicando il teorema di Bernoulli si ottiene: p GOA =p LVOT +1 2 ρ �v LVOT2 − v GOA2 � + ρg( z LVOT −z GOA ) =8641 Pa=65 mmHg p EOA =p LVOT +1 2 ρ �v LVOT2 − v EOA2 � + ρg( z LVOT −z EOA ) =7324 Pa=55 mmHg p AAo =p LVOT +1 2 ρ �v LVOT2 − v AAo2 � + ρg( z LVOT −z AAo ) =16108 Pa=121 mmHg La pressione ha questo andamento: LVOTGOAEOAAAo 0 20 40 60 80 100 120 140 00.511.522.533.54 Pressione [mmHg] z [cm]