Biomedical Engineering - Analisi Matematica 2

First partial exam

15/04/19 A 1 ANALISI MATEMATICA II Ing. Biomedica Cognome: …............................................. Nome: ………………………………. Matricola: ……… ex 1 ex 2 ex 3 ex 4 teoria totale Istruzioni : Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. Non si accettano fogli di brutta. 1. La forma quadratica in è: (a) definita positiva, ( b) semidefinita positiva, (c) indefinita, (d) nessuna delle precedenti risposte è corretta. 2. Sia un insieme chiuso. Allora: (a) ogni punto è d’accumulazione per , (b) se non ha punti interni, ne segue che , (c) , (d) . 3. Siano e due curve equivalenti. Quale delle segu enti affermazioni è vera? (a) e possono avere sostegni diversi, (b) e hanno orientamento opposto, ( c) e hanno la ste ssa lunghezza, (d) e hanno, punto per punto, lo stesso vettore tangente. 1. De finizione di derivata direzionale di una in un punto . 2. Teorema di Fermat (enunciato e dimostrazione). (Scrivere sul retro del foglio ) 3R ( ) 2 2 3 2 , , y x z y x f + = nR  E E 0x E E E = EE EE= 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 :f → RR 0x 15/04/19 A 2 Ex 1 Sia data la funzione a) stabilire se è continua nell’origine si osserva che , se ; poiché non esiste, ne segue che la funzione non è continua nell’origine . b) dire per quali direzioni esiste sia con Questo limite esiste se e solo se , cioè , con . Ex 2 Sia dato il campo vettoriale . (a) Precisare il domi nio di e dire se il campo è irrotazionale Si osserva che , con . Posto e , segue: . Poiché , si può concludere che il campo è irrotazionale in . (b) Stabilire se il campo è conservativo in . Poiché è semplicemente connesso, s i può concludere, utilizzando la sola teoria, che il campo è conservativo in . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 1 , , 0, 0 , , 0, , 0, 0 xye xy f x y xy xy +  −  = +   =  f ( ) 2 11 0, yyee fy y y −− == 0 y ( ) 0 0 0 1 lim 0, lim lim sgn y y y y e f y y y → → → − == v ( ) 0, 0 Dfv ( ) , =v 22 1  = + = v ( ) ( ) ( ) 0 0 0 , 0, 0 1 lim lim lim t t t t f t t f e t t t t    + → → → − −+ == 0  +=  =−  11 , 22 =− u ( ) 0, 0 0 Df = u ( ) 2 2 2 2 ,6 11 xy x y x x y x y  = + + + − + −  F i j A F ( )A C1 F ( )   22 , : 1 A x y x y = +  ( ) 1 22 ,6 1 x F x y x xy =+ +− ( ) 2 22 , 1 y F x y xy = +− ( ) ( ) 32 1 22 , 1 F xy xy y xy  =−  +− ( ) ( ) 32 2 22 , 1 F xy xy x xy  =−  +− x F y F   =   2 1 A ( )   , : 0 B A x y x =   B B 15/04/19 A 3 Ex 3 Data la funzione (a) determinarne il dominio , il segno e i punti critici , per ; per o per ; I punti critici sono quindi tutti i punti con e . (b) trovare gli eventuali punti di massimo e minimo, relativ i e assoluti, di Dal segno della funzione, si deduce che: - è un punto di massimo relativo per - è un punto di minimo relativo per - è un punt o di sella per (c) scrivere l’equazione del piano tangente alla superficie grafico di nel punto e dire qual è la direzione di massim a crescita di nel punto ; stabilire quindi il massimo valore della derivata direzionale di in . Poiché la funzione è di classe almeno ne l suo dominio, è anche differenziabile quindi esiste certamente il piano tangente richiesto , , L’equazione del piano tangente è: Grazie alla differenziabil ità, vale la formula del gradiente. La direzione di massima crescita è quella del gradiente, cioè e il massimo valore della derivata direzionale è . ( ) ( ) ( ) 2 , 2 log f x y y x y = − − D ( ) 0, D = +  R ( ) ,0 f x y  log yx ( ) ,0 f x y = log yx= 2 y= ( ) ( )2 2 , x y f x y x − = ( ) ( )( ) , 2 2 log 3 2 yf x y y x y = − − + ( ) D y x   ,    = = 0 0 y x f f  ( )( ) 20 2 2 log 3 2 0 y y x y −=   − − + =  ( ) ,2 P  0   ( ) , 2 0 f  = f P 2 0 e  P 2e   P 2e  = f ( ) 1, 3, 3 − f ( ) 1, 3 f ( ) 1, 3 1C ( ) 1, 3 3 f =− ( ) 1, 3 1xf = ( ) 1, 3 7yf =− ( ) 3 1 7 3 17 7 z x y x y= − + − − − = + − ( ) 1, 7− 52 15/04/19 A 4 Ex 4 Si consideri la curva chiusa formata dall’arco di equazioni parametriche per e dal segmento che congiunge punto finale e punto iniziale dell’arco, e sia un filo di densità lineare di massa unitari a disposto lungo la curva . Calcolare la massa totale del filo . ; punto iniziale ; punto finale Segmento da ad : la sua lunghezza è . Poiché la massa è unitaria, Con cludendo, la massa totale è .  () ( ) 2 cos , 2 , 5 t t sent t = r   0, 2 t   G  G 2 cos :2 5 xt y sent zt  =   =   =    0, 2 t   ' 2 s ' 2 cos '5 x ent yt z =−   =   =  () ' 29t = r ( ) 2, 0, 0 A  ( ) 2, 0,10 B   2 0 29 2 29 m ds dt     = = = 1 B A 10  1 10 m  = 10 2 29 Gm  =+