Biomedical Engineering - Analisi Matematica 2

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An.II – Bio 5/02/20 20 1/5 Cognome …………………… Nome ………………… Matr. ………… Firma ……………… T Ex1 Ex2 Ex3 Ex4 Tot Consegnare solo questi fogli. Non si accettano fogli di brutta. 1. La forma quadratica è: (a) definita positiva, (b) definita negativa, (c) semid efinita positiva, (d) indefinita. 2. Sia una successione di numeri reali non negativi. Allora: (a) converge , (b) converge, (c) diverge , (d) è regolare. 3. Sia un insieme chiuso. Allora: (a) , (b) se non ha punti interni, ne segue che , (c) , (d) ogni punto è d’ac cumulazione per . Definizione di campo vettoriale conservativo. Espressione dell’integrale generale di un’equazione lineare omogenea del primo ordine in forma normale. (enunciato e dimostrazione ) ( ) 22 , 6 9 q x y x xy y = − +  na ( ) 1 1n n n a + = −   + =1n na  + =1n na  + =1n na nR  E EE= E E = EE E 0x E An.II – Bio 5/02/20 20 2/5 Ex 1 Data l’equazione differenziale a) calcolarne l ’integrale generale eq. caratt. , e integrale g enerale , b) c alcolare l’integrale generale dell’equazione - ricerca di una soluzione particolar e di , , → → , , quindi - ricerca di una soluzione particolare di , , → quindi - Per il principi o di sovrapposizione, , è una soluzione particolare dell’equazione data, il cui integ rale generale è quindi , c) determinare la soluzione di , tale che e infinitesima per L’equazione data ha integrale generale : La condizione implica , da cui . La condizione implica e quindi . La soluzione richiesta è . 0 15' 2'' = − + z z z 0 15 2 2 = − + r r 5 1 −= r 3 2= r ( ) x x e c ec xz 3 2 5 1 + = − R   2 1,c c x e x x y y y 3 2 8 19 15 15' 2'' − − = − + x x y y y 19 15 15' 2'' 2− = − + ( ) c bx ax x u + + = 2 1 ( ) b ax x u + =2 '1 ( ) a x u 2 ''1 = x x c bx ax b ax a 19 15 15 15 15 2 4 2 2 2 − = − − − + +    = − + −= − = − 0 15 2 2 19 15 4 15 15 c b a b a a 1−=a 1=b 0=c ( ) x x x u + −= 2 1 x e y y y 3 8 15' 2'' −= − + ( ) x kxe x u 3 2 = ( ) x x kxe ke x u 3 3 2 3 ' + = ( ) x x kxe ke x u 3 3 2 9 6 '' + = x x x x x x e kxe kxe ke kxe ke 3 3 3 3 3 3 8 15 6 2 9 6 −= − + + + 8 15 6 2 9 6 −= − + + + kx kx k kx k 1−=k ( ) x xe x u 3 2 −= ( ) x xe x x x u 3 2 − − −= ( ) x x x xe x x e c ec x y 3 2 3 2 5 1 − + − + = − R   2 1,c c x e y y y 3 8 15' 2'' −= − + ( ) 1 0 = y − →x ( ) x x x xe e c ec x y 3 3 2 5 1 − + = − ( ) 1 0 = y 1 2 1 = +c c 1 2 1 c c − = ( ) ( )   0 1 lim lim 3 3 1 5 1 = − − + = − −→ −→ x x x x x xe e c ec x y 0 1= c 1 2= c ( ) x x xe e x y 3 3 − = An.II – Bio 5/02/20 20 3/5 Ex 2 Sia data la funzione . a) Determinar e il dominio ed il segno di , in e in b) la funzione è derivabile nell ’origine? non e siste Quindi la funzione non è derivabile nell ’origine c) determinare g li event uali punti cr itici per Quindi se : , se : , Conclusio ne : i punti e sono critici. d) determinare tutti gli eventuali punti di estremo di nel suo dominio e specificarne la natura (massimi /minimi, relativi/assoluti). se , , , , ( ) 2 2 , y f x y e y x − =− f D = 2R ( ) 0 fC 2R 0 f ( )  2 \ , : A x y y x == 2R 0 f= ( )  2 ,:x y y x = ( ) ( ) 2 00 , 0 0, 0 lim lim 0 xx f x f x xx →→ − ==  ( ) 0, 0 0 xf = ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0, 0, 0 lim lim lim sgn y y y y y f y f ye ey yy − − → → → − == ( ) ( ) 2 2 , 2 sgn y xf x y xe y x − = − − 2 yx ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 , 2 sgn sgn 2 2 1 y y y yf x y ye y x e y x e y x x y y − − −  = − − + − = − − +  2 yx ( ) 2 ,2 y xf x y xe − =− ( ) ( ) 2 22 , 2 2 1 y yf x y e x y y − = − + ( ) 0 , =  y x f  22 0 2 2 1 0 x x y y =   − + =  0 1 2 x y =  =  2 yx ( ) 2 ,2 y xf x y xe − = ( ) ( ) 2 22 , 2 2 1 y yf x y e x y y − = − − + ( ) 0 , =  y x f  22 0 2 2 1 0 x x y y =   − + =  0 1 2 x y =  =−  1 0, 2 B  1 0, 2 C  −  f ( ) f C A   2 yx ( ) 2 ,2 y xxf x y e − =− ( ) 2 ,4 y xyf x y xye − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 , 2 2 2 1 2 4 4 4 6 2 y y y yyf x y ye x y y e x y e x y y y x − − − = − − + + − = − + − + 1 2 1 0, 2 0 2 xxfe −  = −   1 0, 0 2 xyf  =  1 2 1 0, 2 2 2 yyfe −  =−  An.II – Bio 5/02/20 20 4/5 il punto è un punto di mass imo . Poiché la funzi one non è superiorm ente limitata , si tratta di un massimo relativo . se , , , , il punto è u n punto di sella Inolt re, tutti i punti che appartengono alla parabola sono punti di minimo asso luto (conseguenza immediata del segno della funzione) Ex 3 Calcolare l ’integrale , dove è l ’arco di curva cartesiana , con . L’equazione della curva è : , da cui . Inoltre, r isulta . Perciò, la curva è regolare ed è ben definito il versore tangente, in q ualunq ue punto della curva. Il modul o del vettore è: Di conseguenza, 1 4 2 0, 0 2 f H e  =   1 0, 2 B  2 yx ( ) 2 ,2 y xxf x y e − = ( ) 2 ,4 y xyf x y xye − =− ( ) ( ) 2 2 2 3 2 , 4 4 6 2 y yyf x y e x y y y x − = − − + − + 1 2 1 0, 2 2 xxfe −  −=  1 0, 0 2 xyf  −=  1 2 1 0, 2 2 2 yyfe −  − = −  1 4 2 0, 0 2 f H e  = −    1 0, 2 C  −  2 yx= 2y ds tgx  y senx= ,42 t    ()t t sent =+ r i j () ' costt =+ r i j ( ) 1C rR () 't  r0 t R () 2 ' 1 costt =+ r ( ) 3 22 22 2 2 2 2 2 4 44 s 1 2 1 1 1 1 cos cos 1 cos 1 cos 1 1 2 3 3 2 6 y en t ds t dt sent t t dt t tgx tgt       = + = + = − + = − − − =     An.II – Bio 5/02/20 20 5/5 Ex 4 Dire qual è il comportamento, al variare del parametro reale , della serie e dare una maggiorazion e dell a somma per Soluzione Serie a termini positivi con ~ Risulta: Conclu dendo, se la serie converge per il criterio del rapporto, e di conseguenza converge anche la serie data per il criterio del confronto asintotico. Per i restanti valori del parametro, la diverge e diverge quindi anche la serie ini ziale. Se : e quindi a ( ) 2 1 3 1! n a n n n + = − +  1 a= ( ) 2 3 1! n n a n a n − = + ( ) 2 3 1! n n a n a n − = + ( ) 3 ! n n a b n = ( ) ( ) ( ) 1 1 ! 33 3 1 1! a n n a n a n n b b n n + + =  = +  +  ( ) 1 0, se 0 3 lim lim 3, se 0 1 , se 0 n nn a n a b a b n a + →+ →+    = = =  + +  0 a 1 n n b + = 1 n n b + = 1 a= 2 33 1 ! ! nn n nn −  + 2 3 11 33 1 1 ! ! nn nn n e nn + + == −  = − + 